Pojmovnik

Aksiomi geometrije prostora:

1. ​Kroz dvije različite točke prolazi točno jedan pravac.
2. Kroz tri točke koje ne leže na jednom pravcu prolazi točno jedna ravnina.
3. Pravac koji prolazi kroz dvije različite točke ravnine leži u toj ravnini.
4. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda se sijeku u pravcu.
5. Kroz svaku točku može se provući točno jedna paralela sa zadanim pravcem. Uvjet: točka i zadani pravac leže u istoj ravnini.

Zapis kompleksnog broja $z=a+bi$ nazivamo algebarski zapis kompleksnog broja, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica.

Apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja $z=x+yi$ je realan broj

$\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Jednadžba oblika $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ naziva se bikvadratna jednadžba.

Centralna simetrija preslikavanje je prostora koje točku $A$ preslika u točku $A\text{'}$ tako da vrijedi:

• točke $A,A\text{'}\mathrm{i}O$ leže na istom pravcu
• vrijedi $\left|AO\right|=\left|A\text{'}O\right|$.

Točku $O$ nazivamo središte simetrije.

Kvadratna jednadžba sadrži kvadratni član, linearni član i slobodni član.

Logaritam po bazi $10$ naziva se dekadski ili Briggsov logaritam i označava​ $\log y$.

Diskriminanta kvadratne jednadžbe $a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$ je broj

${\mathbf{D=b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{ac}$.

Eksponencijalna funkcija s bazom $a$ je realna funkcija $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ zadana s $f\left(x\right)=a^x$, gdje je $a>0$ i $a\ne 1$, a $x$ bilo koji realan broj.

Jednadžbu u kojoj je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalna jednadžba.

Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe.

Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Strane poliedra mnogokuti su koji omeđuju poliedar.

Bridovi poliedra stranice su mnogokuta koji omeđuju poliedar.

Vrhovi poliedra vrhovi su mnogokuta koji omeđuju poliedar.

Zbroj broja vrhova i broja strana za svaki poliedar za dva je veći od broja njegovih bridova, tj. vrijedi Eulerova formula

$V+S-B=2$

Svaki kvadratni trinom može se zapisati u obliku

$a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$,

gdje su $x_1$ i $x_2$ rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe $a{x}^2+bx+c=0.$

Kvadratna jednadžba oblika ​ $a{x}^2+bx+c=0$, gdje su $a,b,c\in \mathbb{R},a\ne \mathrm{0,}$ ima rješenja

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Geometrija (mjerstvo) grana je matematike koja se bavi prostornim odnosima i oblicima.

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2$ u smjeru osi $x$ za $x_0$ udesno ako je $x_0>0$, to jest ulijevo ako je $x_0<0$ . ​

Točku $T\left(x_0,0\right)$ nazivamo tjeme parabole $y=a{\left(x-x_0\right)}^2$. Ako je $a>0$, parabola je otvorena prema gore, dok je za $a<0$ otvorena prema dolje.

Os simetrije je pravac $x=x_0$.

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2+y_0$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2$ u smjeru osi $x$ za $x_0$ i u smjeru osi $y$ za $y_0$.

Tjeme parabole je u točki $T \left(x_0,y_0\right)$. Ako je $a>0$, tjeme je najniža točka parabole (njegova ordinata je najmanja vrijednost funkcije), a ako je $a<0$, tjeme je najviša točka parabole (njegova ordinata je najveća vrijednost funkcije).

Os simetrije je pravac $x=x_0$.

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2+y_0$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2$ u smjeru osi $y$ za $y_0$ prema gore ako je $y_0>0$, odnosno prema dolje ako je $y_0<0$.

Točku $T\left(0,y_0\right)$ nazivamo tjeme parabole $y=a{x}^2+y_0$. Ako je $a>0$, parabola je otvorena prema gore, dok je za $a<0$ otvorena prema dolje.

Os simetrije je pravac $x=0$ (jednadžba osi ordinate).

Grafovi inverznih funkcija međusobno su simetrični s obzirom na simetralu 1. i 3. kvadranta, odnosno pravac $y=x$.

Ako točka $\left(x,y\right)$ pripada grafu funkcije $f$, tada točka $\left(y,x\right)$ pripada grafu funkcije $f^{-1}$.

Neka je $S$ istaknuta točka u prostoru (središte homotetije).

Homotetija je preslikavanje koje točki $A$ pridružuje točku $A\text{'}$ takvu da vrijedi:

• točke $S,A\mathrm{i}A\text{'}$ leže na istom pravcu (kolinearne su)
  
• $\left|SA\text{'}\right|=\left|k\right|·\left|SA\right|$ 
• za $k>0$ točke $A\mathrm{i}A\text{'}$ leže na istom polupravcu određenom točkom $S$ 
• za $k<0$ točke $A\mathrm{i}A\text{'}$ leže na različitim polupravcima određenim točkom $S$.

Broj $k$ naziva se koeficijent homotetije.

Horizontalnim testom provjeravamo je li funkcija injekcija. Funkcija je injekcija ako pravac usporedan s osi apscisa siječe graf funkcije u najviše jednoj točki.

Imaginarna jedinica $$ i ima svojstvo da je $i^2=-1$.

Imaginarni broj je broj oblika $\mathit{bi}$, gdje je $b$ realni broj, a $i$ imaginarna jedinica.

Ako je funkcija $f:D\to R$ injekcija, gdje je skup $D$ domena, a skup $R$  slika funkcije, tada je funkcija $f^{-1}:R\to D$ za koju vrijedi da je

• $f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x,\mathrm{za}\mathrm{svaki}x\in D$ 
• $f\left(f^{-1}\left(y\right)\right)=y,\mathrm{za}\mathrm{svaki}y\in R$
  

inverzna funkcija funkcije $f$.

Funkcija $f:D\to K$ je injekcija ako za svaka dva različita elementa iz domene funkcije $\left(x_1,x_2\in D\right)$ vrijedi:

$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2$.

Može se pokazati da je ovo ekvivalentno sljedećoj tvrdnji:

$x_1\ne x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.

Jednadžbe u kojima je nepoznanica pod znakom korijena nazivamo iracionalne jednadžbe. Prvi korak u njihovu rješavanju je potenciranje.

Dvije piramide koje imaju baze jednakih površina i jednake visine, imaju i jednak obujam.

U kvadratnoj jednadžbi $a{x}^2+bx+c=0$ brojeve $a,b$ i $c$ zovemo:

• $$KVADRATNI ILI VODEĆI KOEFICIJENT $a$,
• LINEARNI KOEFICIJENT $b$,
• SLOBODNI KOEFICIJENT $c$.

Sve točke koje leže na istom pravcu su kolinearne.

Za razliku od kolinearnih točaka nekolinearne točke ne leže na istom pravcu.

Točke koje leže u jednoj ravnini su komplanarne.

Točke koje ne leže u jednoj ravnini su nekomplanarne.

Kompleksni broj je broj oblika $a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica.

Broj $a$ naziva se realni dio kompleksnog broja, a broj $b$ imaginarni dio kompleksnog broja.

Konveksni mnogokut (poligon) omeđeni je skup u ravnini dobiven kao presjek konačno mnogo poluravnina.

Konveksni poliedar omeđeni je skup u prostoru dobiven kao presjek konačno mnogo poluprostora.

Konveksno geometrijsko tijelo je omeđeni dio prostora čije spojnice bilo kojih dviju njegovih točaka pripadaju tom tijelu.

Ako je $z=a+b\mathrm{i,}$ onda broj $\bar{z}=a-bi$ zovemo konjugirano kompleksnim brojem broja $z$. Simbol konjugiranja je crta iznad broja koji se konjugira.

Piramida je kosa ako nije uspravna. 

Krnji stožac je geometrijsko tijelo koje nastaje presjecanjem stošca ravninom usporednom s ravninom osnovke i odbacivanjem manjeg stošca.

Kugla polumjera $R$ sa središtem u točki $S$ jest skup svih točaka $A$ u prostoru za koje vrijedi $\left|SA\right|\le R$.

Točke kugle za koje vrijedi $\left|SA\right|=R$ čine sferu.

Sfera $\left(S,R\right)$ omeđuje kuglu $\left(S,R\right)$.

Ako se ravnine​ $\pi$ i $\rho$ sijeku po pravcu $p$, onda kroz točku ​ $A\in p$, okomito na pravac $p$, prolazi jedinstvena okomica $a$ sadržana u $\pi$ i jedinstvena okomica $b$ sadržana u $\rho$. Manji od kutova koje zatvaraju te dvije okomice kut je između ravnina $\pi$ i $\rho$.

Kut pravca i ravnine jest kut između pravca i njegove ortogonalne projekcije na ravninu.

Kvadar je prizma čije su stranice i baze pravokutnici. Po dvije suprotne strane sukladne su i paralelne.

Na slikama su prikazani kvadar i njegova mreža.

Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja je funkcija  $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$  definirana formulom $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.

Koeficijenti ​ $a,b \mathrm{i }c$ su realni brojevi te vrijedi $a\ne 0$.

Svaka jednadžba oblika $a{x}^2+bx+c=\mathrm{0,}$ gdje su $a$, $b$,  $c$ realni brojevi i gdje je $a\ne 0$, zove se kvadratna jednadžba.

Uvjet $a\ne 0$ osigurava da jednadžba sadrži $x^2$.

Za $a=0$ jednadžba prelazi u linearnu jednadžbu.

Ako je linearni koeficijent u kvadratnoj jednadžbi jednak nuli, tj. $b=0,$ onda kvadratna jednadžba ima oblik:

$a{x}^2+c=0$.

Kada je slobodni koeficijent jednak nuli, $c=0,$kvadratna jednadžba poprima oblik:

$a{x}^2+bx=0.$

Kvadratna nejednadžba je nejednadžba oblika

• $a{x}^2+bx+c<0$ ili
• $a{x}^2+bx+c>0$ ili
• $a{x}^2+bx+c\le 0$ ili
• $a{x}^2+bx+c\ge 0$,

gdje je $a\ne 0$.

Logaritam po pozitivnoj bazi ( $a\ne 1$) od nekog pozitivnog broja $y$ označavamo ${\log }_{a}y$, a čitamo "logaritam broja $y$ po bazi $a$". To je jedinstveni eksponent $x$, kojim treba potencirati bazu $a$ da bi se dobilo $\mathrm{y.}$ Matematički zapisano: ${\log }_{a}y=x\iff a^x=y$. $$

Ako je $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}f\left(x\right)=a^x,a>0,a\ne 1$ eksponencijalna funkcija, tada je $f^{-1}:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}{f}^{-1}\left(x\right)={\log }_{a}x$ logaritamska funkcija.

Domena logaritamske funkcije je $D_{f^{-1}}={\mathbb{R}}^{+}$.

Slika logaritamske funkcije je $R_{f^{-1}}=\mathbb{R}$.

Logaritamska jednadžba je jednadžba koja se može svesti na oblik ${\log }_{a}x=b$, gdje je $x$ nepoznanica.

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba kod koje je nepoznanica argument ili baza logaritma.

Dvije ravnine u prostoru mogu biti ili paralelne ili je njihov presjek pravac. Pritom paralelnost uključuje slučaj kad se ravnine podudaraju.

Pravac i ravnina u prostoru su ili paralelni ili se sijeku u jednoj točki. Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad pravac leži u ravnini.

Sustav kvadratne i linearne jednadžbe rješavamo metodom supstitucije i to tako da:

1. iz linearne jednadžbe izrazimo jednu nepoznanicu ​
2. taj izraz uvrstimo u kvadratnu jednadžbu i riješimo je po drugoj nepoznanici
3. izračunatu vrijednost druge nepoznanice uvrstimo u nađeni izraz za prvu nepoznanicu i izračunamo odgovarajuću vrijednost.

Dva su pravca mimoilazna ako ne leže u istoj ravnini.

Za dva kompleksna broja $z_1=x_1+y_{1}i$ te $z_2=x_2+y_{2}i$ vrijedi:

$z_1·z_2=x_1·x_2-y_1·y_2+\left(x_1·y_2+x_2·y_1\right)i.$

Kvadratnu jednadžbu zapisanu u obliku $x^2+px+q=0$ nazivamo normirani oblik kvadratne jednadžbe.

Nultočka kvadratne funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ je točka $\left(x,f\left(x\right)=0\right)$ presjeka grafa funkcije i osi apscisa.

Apscisa nultočke, tj. vrijednost varijable $x$ za koju je $f\left(x\right)=0$ naziva se nulište funkcije.

Vrijednost nulišta kvadratne funkcije računamo tako da riješimo kvadratnu jednadžbu $a{x}^2+bx+c=0$.

Obujam krnjeg stošca s polumjerima baza $r_v\mathrm{i}{r}_m$ te visinom $h$  dan je formulom $V=\frac{h\pi }{3}\left({r_v}^2+r_v{r}_m+{r_m}^2\right)$.

Obujam krnje piramide površina baza​ $B_v$ i $B_m$ i s visinom ​ $h$ iznosi $\begin{array}{c}V=\frac{h}{3}\left(B_v+\sqrt{B_v{B}_m}+B_m\right)\end{array}$.

Piramida s površinom baze $B$ i visinom $h$ ima obujam​ $V=\frac{B·h}{3}$.

Obujam stošca polumjera baze $r$ i visine $h$  jednak je $V=\frac{1}{3}{r}^2\pi h$.

Obujam valjka polumjera baze $r$ i visine $h$  jednak je $V=r^2\pi h$.

Iz prvog aksioma imamo uvjet određenosti pravca.

Pravac je određen dvjema točkama.

Za dva kompleksna broja $z_1=x_1+y_{1}i$ te $z_2=x_2+y_{2}i$ vrijedi: $z_1-z_2=\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_2\right)i$.

Ravnina $\pi$  okomita je na ravninu $\rho$ ako sadrži pravac koji je okomit na ravninu $\rho$. Pišemo: $\pi \perp \rho$.

Pravac $p$ koji siječe ravninu $\pi$ okomit je na nju ako je okomit na svaki pravac koji prolazi probodištem pravca i ravnine i leži u toj ravnini. Pišemo: $p\perp \pi$.

Ako je $\alpha \perp \pi$ i $\beta \perp \pi$, onda je i presječni pravac $p=\alpha \cap \beta$ okomit na $\pi$.

U pravokutnom trokutu su vrijednosti sinusa i kosinusa šiljastih kutova uvijek iz intervala​ $⟨\mathrm{0,\; 1}⟩$, a vrijednosti tangensa i kotangensa iz intervala $⟨0,+\infty ⟩$, tj.

• $0<\sin \alpha <1$,
• $0<\cos \alpha <1$,
• $\mathrm{tg}\alpha >0$,
• $\mathrm{c}\mathrm{tg}\alpha >0$.

Oplošje krnje piramide površina baza $B_v$ i $B_m$ i površine plašta $P$ iznosi $O=B_v+B_m+P$.

Oplošje piramide površine baze $B$ i površine pobočja $P$ jednako je $O=B+P$.

Baze prizme su sukladni $n$-terokuti, a pobočje čini $n$ pravokutnika.

Oplošje prizme je zbroj površina baza i pobočja.

$O=2B+P$

Površine baze računamo s pomoću formula za površinu mnogokuta. Za površinu pobočja moramo izdvojiti i izračunati površine svih pravokutnika (paralelograme - kod prizmi koje nisu uspravne) i zbrojiti ih.

Oplošje uspravnog stošca polumjera baze $r$ i duljine izvodnice $s$ jednako je $O=r\pi \left(r+s\right)$.

Oplošje uspravnoga krnjeg stošca s polumjerima baza $r_v\mathrm{i}{r}_m$ te izvodnicom $s$ dano je formulom: $O={r_v}^2\pi +{r_m}^2\pi +s\pi \left(r_v+r_m\right)$ .

Oplošje uspravnog valjka polumjera baze $r$ i visine $h$  jednako je $O=2r\pi \left(r+h\right)$.

Ortogonalna projekcija preslikavanje je koje će svaku točku $T$ prostora preslikati u točku $T_1$ ravnine na način da kroz točku $T$ povučemo okomicu na ravninu. Probodište okomice i ravnine tražena je točka $T_1$.​

Ako je pravac okomit na ravninu, njegova ortogonalna projekcija je samo jedna točka $T$ (sjecište pravca i ravnine).

Ortogonalna projekcija točke na ravninu je točka.

Graf kvadratne funkcije nazivamo parabola, s jednadžbom $y=a{x}^2+bx+c$.

Dvije su ravnine paralelne ako nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je ravnina paralelna sama sa sobom.

Dva su pravca paralelna ako leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je svaki pravac paralelan sam sa sobom.

Pravac i ravnina su paralelni ako nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je pravac paralelan s ravninom koja ga sadrži.  

Funkcija drugi korijen (i svaki parni korijen) nije definirana za negativne brojeve i uvijek je nenegativan realan broj.

Piramida je poliedar (vrsta geometrijskog tijela) kojem je baza konveksni poligon, a sve ostale strane (pobočke) su trokuti sa zajedničkim vrhom, koji se zove vrh piramide. Sve pobočke zajedno tvore pobočje piramide.

Planimetrija je grana geometrije koja se bavi geometrijskim likovima u ravnini i njihovim odnosima.

Funkciju oblika $\begin{array}{c}f\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_{0 }\end{array}$, gdje su $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1$, $a_0\in \mathbb{R}$, $a_n\ne 0$ nazivamo polinom jedne varijable n-tog stupnja (čitaj: entog stupnja).

$n$ je stupanj polinoma, dok $a_n$ nazivamo vodeći koeficijent. Polinomi su definirani za svaki realni broj $x$  pa je domena tih funkcija skup realnih brojeva.

Pravci u prostoru mogu se nalaziti u dvama položajima:

• pravci leže u istoj ravnini
• pravci ne leže u istoj ravnini
  

Dva pravca u ravnini mogu se naći u sljedećim položajima:

1. ​pravci se podudaraju
2. pravci nisu istovjetni i sijeku se
3. pravci se ne sijeku.

Pravac i parabola mogu se naći u trima položajima:

1. ​parabola i pravac se ne sijeku
2. parabola i pravac imaju jednu zajedničku točku; pravac je tangenta parabole
3. parabola i pravac sijeku se u dvjema točkama; pravac je sekanta parabole.
   

Tri ravnine u prostoru mogu biti u jednom od pet mogućih položaja:

1. postoji samo jedna točka zajednička za sve tri ravnine
2. sve tri ravnine sijeku se duž jednog pravca
3. po dvije se ravnine sijeku u trima paralelnim pravcima
4. dvije su ravnine paralelne, a treća ih siječe duž dvaju paralelnih pravaca
5. sve su tri ravnine paralelne.

Poluprostor je skup svih točaka prostora koje se nalaze s iste strane neke ravnine tog prostora.

Poluravnina je skup svih točaka ravnine koje se nalaze s jedne strane nekog pravca te ravnine.

Neka je $P$ površina mnogokuta,  $P_1$ površina njegove ortogonalne projekcije, a $\alpha$ kut koji zatvara ravnina lika s ravninom projekcije. Tada vrijedi ​ $P_1=P·\cos \alpha$.

Piramida je pravilna ako joj je baza pravilni mnogokut i ako je uspravna (ortogonalna projekcija vrha na ravninu baze pada u središte opisane kružnice baze).

Uspravna prizma je pravilna ako su njezine baze pravilni mnogokuti.

Mnogokut kojemu su sve stranice jednake i svi kutovi jednaki zove se pravilni mnogokut.

Geometrijsko (konveksno) tijelo koje je omeđeno sukladnim pravilnim mnogokutima i kojemu iz svakog vrha izlazi jednak broj bridova zove se pravilni poliedar.

Pridruživanje

$z=x+yi\to \left(x,y\right)$ 

je jednoznačno.

Svakom kompleksnom broju jednoznačno je pridružena točka i svakoj je točki jednoznačno pridružen kompleksni broj.

Logaritam kojem je baza Eulerov broj, $e$, naziva se prirodni ili Napierov logaritam i označava $\ln x$.​

Prizma je geometrijsko tijelo omeđeno s dva međusobno sukladna $n$–terokuta (koji pripadaju međusobno usporednim ravninama, a nazivamo ih bazama ili osnovkama prizme) te s $n$ paralelograma koje nazivamo pobočkama i koji čine pobočje prizme. Baze i pobočke jednim imenom nazivamo stranama prizme.

Matematički prikaz raznih problema iz svakodnevnog života ili struke često se svodi na kvadratne jednadžbe ili sustave linearnih i kvadratnih jednadžbi. Takvi problemi nazivaju se problemi drugog stupnja.

Rotacijska tijela su tijela koja nastaju rotacijom krivulje (geometrijskog lika) oko zadane osi rotacije.

Simetralna ravnina dužine $\overline{AA\text{'}}$ ravnina je koja prolazi polovištem $P$ te dužine i okomita je na pravac $AA\text{'}$.

Kod sličnih tijela duljine stranica, visine i ostali elementi koji određuju duljine su u omjeru $k$, površine baze, pobočki i oplošje su u omjeru $k^2$, a obujmi u omjeru $k^3$.

Stereometrija je grana geometrije koja proučava geometrijska tijela i njihove odnose u trodimenzionalnom prostoru.

Stožac je najmanji konveksni skup koji sadržava krug i točku izvan ravnine kruga.

Sustav kvadratne i linearne jednadžbe je sustav koji se sastoji od linearne jednadžbe oblika $kx+ly+m=0$ i kvadratne jednadžbe oblika $\begin{array}{c}a{x}^2+b{y}^2+cxy+dx+ey+f=0,\end{array}$ gdje su $a,b,c,d,e,f,k,l,m$ realni brojevi.

Linearna jednadžba mora imati barem jedan linearan član ( $k\ne 0$ ili $l\ne 0$ ), a kvadratna jednadžba barem jedan kvadratni član ( $a\ne 0$ ili $b\ne 0$ ili $c\ne 0$).

Rješenje sustava je svaki uređeni par brojeva​ $\left(x,y\right)$ koji zadovoljavaju obje jednadžbe.

Eksponencijalna funkcija $f\left(x\right)=a^x,a\in {\mathbb{R}}^{+},a\ne 1$ ima sljedeća svojstva.

• Funkcija je definirana za sve realne brojeve, $D_f=\mathbb{R}$.
• Slika funkcije su pozitivni realni brojevi, $R_f=⟨0,+\infty ⟩$.
• Za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$ vrijedi $a^{x_1}·a^{x_2}=a^{x_1+x_2}$.
• Za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$ vrijedi ${\left(a^{x_1}\right)}^{x_2}=a^{x_1·x_2}$.
• Zajednička točka svim krivuljama je $\left(0,1\right),a^0=1$.
• Ako je $a>1$, funkcija je rastuća, $x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_1}$  za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$.
• Ako je $0<a<1$,  funkcija je padajuća, $x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}>a^{x_1}$  za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$
• Asimptota eksponencijalne funkcije je os apscisa, $y=0$.
• Funkcije $f\left(x\right)=a^{x}if\left(x\right)=a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ su simetrične s obzirom na os ordinatu.

Ako je $a^{x_1}=a^{x_2}$, tada vrijedi $x_1=x_2$. To se svojstvo naziva injektivnost funkcije.

Za kompleksne brojeve $z,z_1\mathrm{i}{z}_2$ vrijedi:

1. modul umnoška: $|z_1·z_2|=\left|z_1\right|·\left|z_2\right|$
2. modul potencije: $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$
3. modul kvocijenta: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}$, gdje je $z_2\ne 0$.

1. Ako je baza $a>1$, onda vrijedi: ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right)$.
2. Ako za bazu vrijedi $0<a<1$, onda: ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right)$.

Pritom moramo uvažiti da je logaritamska funkcija definirana samo za $f\left(x\right)>0$ i $g\left(x\right)>0$.

Paralelnost pravaca i paralelnost ravnina tranzitivne su relacije. To znači da imaju svojstva:

Ako je ​ $a\parallel b$  i ako je $b\parallel c$ onda je i $a\parallel c$.

Ako je​ $\pi \parallel \rho$  i ako je $\rho \parallel \sigma$ onda je $\pi \parallel \sigma$.

Sinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu nasuprotne katete i hipotenuze, oznaka je $\sin \alpha .$

Kosinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu priležeće katete i hipotenuze, oznaka je $\cos \alpha$.

Tanges šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu nasuprotne i priležeće katete, oznaka je $\mathrm{tg}\alpha$.

Kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu priležeće i nasuprotne katete, oznaka je $\mathrm{ctg}\alpha$.

Udaljenost mimosmjernih pravaca udaljenost je paralelnih ravnina u kojima leže ti mimosmjerni pravci.

Udaljenost pravca $q$ od njemu paralelnog pravca $p$ udaljenost je između bilo koje njegove točke $T$ od tog pravca. Ako se pravci sijeku, udaljenost je $0$.

Udaljenost pravca  $p$ od njemu paralelne ravnine udaljenost je bilo koje njegove točke  $T$ od te ravnine. Ako pravac siječe ravninu, udaljenost je $0$.

Udaljenost točke $T$ od pravca $p$ udaljenost je točke $T$ od njezine ortogonalne projekcije​ $T_1$ na pravac $p$. Točka $T_1$ sjecište je pravca $p$ i pravca okomitog na $p$ kroz $T$.

Udaljenost točke  $T$ od ravnine  $\pi$ udaljenost je točke  $T$ od njezine ortogonalne projekcije  $T_1$ na ravninu $\pi$.

Piramida čijoj se bazi može opisati kružnica i nožište visine pada u središte te kružnice naziva se uspravnom piramidom.

Prizma je uspravna ako su pobočke prizme okomite na ravninu baze. Pobočke uspravne prizme su pravokutnici.

Valjak je najmanji konveksni skup koji sadržava dva paralelna sukladna kruga.

Za rješenja  $x_1$ i $x_2$ kvadratne jednadžbe $a{x}^2+bx+c=0$, $a, b, c \in \mathbb{R}$, $a\ne 0$ vrijedi da je:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1·x_2=\frac{c}{a}$.

Navedene formule nazivamo Vièteove formule.

Visina piramide je udaljenost vrha piramide $V$ od ravnine baze. Na slici je označena kao dužina $\overline{V{V}_1}$, gdje je $V_1$ ortogonalna projekcija vrha $V$ na ravninu baze.

Ako je površina baze prizme $B$, a visina prizme $h$, tada volumen prizme računamo kao umnožak površine baze $B$ i visine prizme $h$ .

$V=B·h$ 

Za dva kompleksna broja $z_1=x_1+y_{1}i$ te $z_2=x_2+y_{2}i$ vrijedi:

$z_1+z_2=\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)i.$

Neka je zadana ravnina $\sigma$. Točki $A$ pridružimo točku $A\text{'}$ tako da vrijedi:

• točke su jednako udaljene od ravnine, tj. ako točka $P$, polovište dužine $\overline{AA\text{'}}$, pripada ravnini, tada vrijedi $\left|AP\right|=\left|A\text{'}P\right|$
• pravac $AA\text{'}$ okomit je na danu ravninu.

Tada preslikavanje $A\mapsto A\text{'}$ zovemo zrcalna simetrija.