4.2 Trigonometrijske vrijednosti šiljastih kutova veličina 30°, 45° i 60°

Trigonometrijske vrijednosti kuta veličine $30°$

Zadatak 1.

Ponovimo jednakostranični trokut.

Nacrtajmo u bilježnicu jednakostraničan trokut i označimo ga kao na slici.

Zadatak 2.

Ponovimo trigonometrijske omjere pravokutnog trokuta $ANC$ s obzirom na kut od $30°.$

Iz pravokutnog trokuta $ANC$ riješimo do kraja trigonometrijske omjere s obzirom na kut od $30°.$ Iz prethodnog zadatka imamo omjere, sredimo dvojni razlomak i uvrstimo za $\mathrm{v }= \frac{a\sqrt{3}}{2}.$

$\sin \mathrm{ 30}°=\frac{\cancel{a}·1}{2·\cancel{\mathrm{a }}}= \frac{1}{2}$

$\cos 30°=\frac{\cancel{a}\sqrt{3}·1}{2·\cancel{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg} 30°=\frac{\cancel{2}·\cancel{a}}{\cancel{2}·\cancel{a}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

$\mathrm{ctg} 30°=\frac{\cancel{2}·\cancel{a}\sqrt{3}}{\cancel{2}·\cancel{a}}=\sqrt{3}$

Trigonometrijske vrijednosti kuta veličine $60°$

Zadatak 3.

Ispišite u bilježnicu trigonometrijske omjere stranica trokuta $ANC,$ ali s obzirom na drugi šiljasti kut, $60°.$

Jesmo li mogli i brže dobiti trigonometrijske vrijednosti kuta od $60°?$

Zadatak 4.

Prisjetite se još nekih činjenica o kutovima pravokutnog trokuta.

Poznavajući trigonometrijske vrijednosti kuta od $30°$ odmah smo mogli zaključiti što vrijedi za omjere stranica s obzirom na kut od $60°.$

• $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

• $\cos 60°=\frac{1}{2}$
  

• $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$
  

• $\mathrm{ctg}60°=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

Povezani sadržaji

Trigonometrija pravokutnog trokuta često je neizbježni dio računa u planimetrijskim zadatcima. Pogledajmo primjer.

Jednakokračni trapez unutrnjeg kuta $\mathrm{\alpha }= 60°$ i osnovice $\mathrm{c }= 2$ je tangencijalni četverokut kružnici polumjera $\mathrm{r }= \sqrt{3}.$ (Pogledajte Matematika 1, Krug i kružnica.) Izračunajte površinu trapeza. Kolika je visina trapeza?

U takvim zadatcima pronađimo, ako je moguće, pravokutni trokut i primijenimo trigonometrijske omjere.

Tangencijalni četverokut je četvrokut kojemu je kružnica upisana pa je visina trapeza jednaka polumjeru kružnice.

$\sin 60°=\frac{\mathrm{nasuprotna}\mathrm{k.}}{\mathrm{hipotenuza}}=\frac{2r}{b}=\frac{2\sqrt{3}}{b}\Rightarrow b=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$

Duljinu $\left|AN\right|$ možemo dobiti s pomoću Pitagorina poučka ili još jednoga trigonometrijskog omjera.

$\mathrm{tg} 60°=\frac{\mathrm{nasuprotna}\mathrm{k.}}{\mathrm{priležeća}\mathrm{k.}}=\frac{2r}{\left|AN\right|}\Rightarrow \left|AN\right|=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$

$a=c+2·\left|AN\right|=2+2·2=6$

$P=\frac{a+c}{2}·v=\frac{6+2}{2}·2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$

Trigonometrijske vrijednosti kuta veličine $45°$

Zadatak 5.

Prisjetite ste što ste u osnovnoj školi učili o kvadratu pa odgovorite na pitanja.

Nacrtajte u bilježnicu kvadrat i označite ga kao na slici.

Zadatak 6.

Odredite trigonometrijske omjere kuta od $45°$ iz pravokutnog trokuta $ABC$.

Sistematizirajmo dobivene podatke u tablicu i zapamtimo ih. Često će nam trebati.

Primijenimo tablične vrijednosti

Primjer 1.

Izračunajmo vrijednost izraza.

1. $\sin 60°+\cos 30°-\mathrm{tg}60°=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=0$
2. $\frac{2\sin 30°+1}{2\mathrm{tg}\mathrm{45}°-1}=\frac{\cancel{2}·\frac{1}{\cancel{2}}+1}{2·1-1}=\frac{2}{1}=2$
3. $\frac{{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{30}\mathrm{°}\mathrm{+}\mathrm{2}{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{45}\mathrm{°}}{\mathrm{3}{\cos }^{\mathrm{2}}\mathrm{30}\mathrm{°}\mathrm{-}{\cos }^{\mathrm{2}}\mathrm{45}\mathrm{°}}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2·{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}{3·{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\frac{1}{4}+1}{\frac{9}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{5}{7}$

Zapamtimo!

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^2\\ {\cos }^2\alpha ={\left(\cos \alpha \right)}^2\\ {\mathrm{tg}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\alpha =}{\left(\mathrm{tg\alpha }\right)}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{c}{\mathrm{tg}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\alpha =}{\left(\mathrm{c}\mathrm{tg\alpha }\right)}^{\mathrm{2}}\end{array}$

Zadatak 7.

 Pronađite rješenje sljedećim trigonometrijskim izrazima.

$\frac{5{\mathrm{tg}}^{2}30°+{\mathrm{ctg}}^{2}45°}{{\sin }^{2}60°-2{\cos }^{2}45°}=$  ​	$1$  ​
$4\sin 30°\cos 30°\mathrm{tg}30°=$	$0$  ​
$\frac{6\sin 45°}{\cos 60°+\sin 30°}=$	$-\frac{32}{3}$  ​
$\frac{1-4{\sin }^{2}30°}{1+4{\cos }^{2}30°}=$  ​	$3\sqrt{2}$  ​

null

null

Primjer 2.

Na primjeru kuta $30°$ provjerimo sljedeće identitete.

1. $\sin \mathrm{2}\mathrm{\alpha =}\mathrm{2}sin\alpha cos\alpha$
2. $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
3. $\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{ctg}\alpha =1$

Kutak za znatiželjne

Identitet ili istovjetnost je jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti varijabla koje sudjeluju u toj jednakosti. Na primjer, jednakost $c^2=a^2+b^2$ poznata je kao Pitagorin poučak i vrijedi za sve pozitivne realne brojeve $a,b\mathrm{i}c$  koji mogu biti stranice pravokutnog trokuta.

Dokazati identitet ne znači uvrstiti jednu vrijednost i dobiti istinitost tvrdnje. U prethodnom primjeru nismo dokazali da identiteti vrijede za sve šiljaste kutove pravokutnog trokuta (i šire). Samo smo naslutili da bi to mogla biti točna tvrdnja. Prve dvije tvrdnje dokazivat ćete u trećem razredu (vrijede za bilo koji realan broj), a treću tvrdnju za šiljaste kutove već u sljedećoj jedinici.

Zadatak 8.

Riješite zadatke.

b. Odredite visinu romba sa stranicom $4$ te jednim kutom od $30°.$ Kako glasi formula za visinu romba ako je zadana stranica duljine $a$?

c. Jednakostranični trokut sa stranicom duljine $4$ podijelite visinom na stranicu na dva pravokutna trokuta. Izračunajte visinu na hipotenuzu dobivenoga pravokutnog trokuta. Kako glasi formula te visine ako je zadana stranica jednakostraničnog trokuta duljine $a$ ?