6.6 Rotacija

Rotacija, preslikavanje u ravnini

Rotacija, vrtnja i zakretanje nazivi su za istu pojavu.

U matematici se koristi naziv rotacija.

Rotirati znači nacrtati ili izvršiti rotaciju za zadani kut oko zadanog središta rotacije.

Rotacija je preslikavanje u ravnini.

Neka je $\mathrm{S }$zadana čvrsta točka ravnine i $\mathrm{A }$bilo koja točka te ravnine. Preslikavanje ravnine koje točki $\mathrm{A }$pridružuje točku $B,$ tako da je $\left|SB\right|=\left|SA\right|$ i mjera kuta $\measuredangle ASB$ jednaka zadanom kutu $\alpha ,$ zove se rotcija (zakretanje, vrtnja) ravnine oko točke $S,$ za  kut $\alpha .$ Točka $\mathrm{S }$zove se središte ili centar rotacije, a kut  $\alpha$ kut rotacije.

Video prikazuje značenje zakretanja u pozitivnom i negativnom smjeru.

Pozitivan smjer rotacije je sdesna ulijevo (obrnuto od smjera vrtnje kazaljke na satu).

Negativan smjer rotacije je slijeva udesno (u smjeru vrtnje kazaljke na satu).

Preslikavanje točke rotacijom

Primjer 1.

Preslikajmo rotacijom točku $A$ oko središta rotacije $S$ za kut $30°$ u točku $A\text{'}.$

Često se preslikavanje rotacija zadaje i ovakvim tekstom:

Rotirajmo točku $A$ oko središta rotacije $S$ za kut $30°.$

Točka $A$ je rotacijom preslikana u točku $A\text{'}$ oko središta rotacije $S$ za kut $30°.$

Primjer 2.

Preslikajmo rotacijom točku $A$ oko središta rotacije $S$ za kut $-30°$ u točku $A\text{'}.$

Točka $A$ je rotacijom preslikana u točku $A\text{'}$ oko središta rotacije $S$ za kut $-30°.$

Zadatak 1.

Na crtu povuci ispravan odgovor.

Ako točku $A$ preslikamo rotacijom u točku $A\text{'}$ za kut $\alpha$ onda se točka $A\text{'}$ preslika rotacijom u točku $A$ za kut $-\alpha$ oko istog središta rotacije.

Zadatak 2.

Odredite za koliko je stupnjeva preslikana točka $A$ u točku $A\text{'}$ s obzirom na središte rotacije $S.$

Zadatak 3.

Označite točan odgovor. Svaki dio na koji je podijeljen krug na slici iznosi $15°.$

Preslikavanje dužine rotacijom

Primjer 3.

Nacrtajmo dužinu​ $\overline{AB}$ i preslikajmo je rotacijom za $30°$ oko središta rotacije $S$.

Rotirat ćemo posebno točku $A$ i posebno točku $B.$

Njihove slike su $A\text{'}$ i $B\text{'}.$

Na slici su bojom istaknuti kutovi rotacije za svaku od točaka $A$ i $B$.

Primjer 4.

U  interakciji koja slijedi rotirajte dužinu  $\overline{AB}.$ Odredite položaj središta rotacije odabirom tipke: Izvan dužine, Točka $A$ ili Točka $B.$ Također, odaberite kut rotacije, pozitivan ( $+$) ili negativan( $-$).

Rotacije dužine i sukladnost dužina

Primjer 5.

Dužina $\overline{AB}$ i njezina rotirana slika $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ jednakih su duljina.

Zadatak 4.

Odgovorite je li na slici prikazana rotacija dužine ili ne.

Rotacija likova

Primjer 6.

Prvi lik koji ćemo zarotirati je trokut.

Središte rotacije $S$ može biti izvan trokuta, u jednom vrhu trokuta i unutar trokuta.

Primjer 7.

Primjer 8.

 U interakciji koja slijedi proučite rotaciju trokuta za zadani kut oko središta rotacije.

• Kut rotacije možete mijenjati.
• Položaj središta rotacije možete mijenjati.
• Dimenzije trokuta mogu se mijenjati.​

Primjer 9.

U interakciji koja slijedi proučimo rotaciju peterokuta. Odredite položaj središta rotacije odabirom tipke: Izvan lika, Točka $A,$ Točka $B,$ Točka $C,$ Točka $D$ ili Točka $E.$ Također, odaberite kut rotacije, pozitivan ( $+$) ili negativan ( $-$).

Lik rotiramo tako da rotiramo njegove vrhove oko istog središta rotacije za isti kut.

Zadatak 5.

Odredite za koliko je stupnjeva rotiran zadani trokut.

Zanimljivost

Zadan je trokut $ABC.$

Nacrtajmo njegovu rotiranu sliku $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ za $90°$ oko točke $A.$

Zatim nacrtajmo rotiranu sliku trokuta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ za $90°$ oko vrha $A\text{'}.$

Taj trokut nazovimo $A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}.$

Što uočavamo?

Dvije rotacije zaredom za kut od $90°$ ili $-90°$ s istim središtem rotacije daju centralnu simetriju.

Isto bismo dobili da smo odmah zarotirali za​ $180°$  ili $-180°.$

Primjer 10.

Promotrimo jednakostranični trokut na slici. Odredimo za koliko se najmanje stupnjeva jednakostranični trokut rotacijom preslika sam u sebe i gdje se nalazi središte takve rotacije.

Najmanji iznos kuta rotacije iznosi

$360°:3=120°$

Na slici je trokut $△ABC$ rotiran za $-120°$ oko središta rotacije $S.$

Središte rotacije je ujedno i središte trokutu opisane kružnice.

Primjer 11.

Promotrimo kvadrat na slici. Odredimo za koliko se najmanje stupnjeva kvadrat rotacijom preslika sam u sebe i gdje se nalazi središte takve rotacije.

Najmanji iznos kuta rotacije iznosi

$360°:4=90°$

Na slici je kvadrat $ABCD$ rotiran za $90°$ oko središta rotacije $S$.

Središte rotacije je ujedno i središte kvadratu opisane kružnice.

Zadatak 6.

Izračunajte iznos kuta rotacije i odredite njegov smjer za pojedini pravilni mnogokut na slici.

Odredite odgovarajuće kutove rotacije pravilnog mnogokuta na slici. 45°-72° -45° -60° -51.43° 60°

 ​ -45°-72° 60° -51.43° -60° 45°

 ​ -72° -60° 45° -51.43° -45° 60°

 ​ -60°-72° 60° -45° -51.43° 45°

 ​

Pomoć:

Središnji kutovi pravilnih mnogokuta su sukladni.

Postupak:

 Podijelite 360°s brojem vrhova pravilnog mnogokuta. Dobiti ćete mjeru kura rotacije. Smjer rotacije ovisi smjeru naznačenog kuta.

Pravilni se mnogokuti s $n$ vrhova, $n\in \mathbb{N}$ rotiraju sami u sebe oko središta njima opisane kružnice.

Najmanji iznos kuta rotacije $\alpha =360°:n$  jednak je središnjem kutu pravilnog mnogokuta koji pripada karakterističnom trokutu. ​

Rotiraju se sami u sebe za svaki ​iznos kuta $k·\alpha ,$ gdje je $k\in \mathbb{Z},$ a $\alpha$ središnji kut mnogokuta koji pripada karakterističnom trokutu mnogokuta.

Zanimljivost

Pahulja snijega je kristal izuzetne ljepote i simetrije.

Uvijek ima broj vrhova koji je višekratnik broja tri.

Najčešće su pahulje s $3,$ $6$ ili $12$ vrhova i ne postoje dvije iste.

Ako promatramo preslikavanje rotacijom, na prikazu pahulje vidimo da se ova preslikava sama u sebe za kutove, $60°,120°,180°$ . . .  ili $-60°,-120°,-180°,...$

Općenito za $60°·k,$ gdje je $k\in \mathbb{Z}.$

Rotacija u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Primjer 12.

Na slici je prikaz pravokutnog trokuta $△ABC$ rotiranog uzastopno za $90°$ oko ishodišta koordinatnog sustava.

Pogledajmo koordinate vrhova rotiranih slika $△A\text{'}B\text{'}C\text{'},△A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}i△A\text{'}\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}\text{'}.$

Uočimo pravilnost.

Odredimo koordinate ostalih rotiranih vrhova.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 7.

Riješite sljedeće zadatke koristeći primjer, koordinatni sustav i znanje o rotaciji.

1. U pravokutnom koordinatnom sustavu zadan je pravokutni trokut. Vrhovi trokuta imaju cjelobrojne koordinate. Odredite koordinate vrhova, $A\text{'},$ $B\text{'}$ i $C\text{'},$ njegove slike dobivene rotacijom oko ishodišta za kut od $90°.$
   

   

     $A\text{'}\left(-1,1\right)$ 

     $B\text{'}\left(-1,5\right)$

     $C\text{'}\left(-4,1\right)$

   

   Pomoć:

   $A\text{'}\left(-1,-1\right)$
   

   Postupak:

   $A\text{'}\left(-1,-1\right),$ $B\text{'}\left(-1,5\right),$ $C\text{'}\left(-4,1\right)$

   

2. U pravokutnom koordinatnom sustavu zadan je pravokutnik.
   Vrhovi pravokutnika imaju cjelobrojne koordinate.
   Odredite koordinate vrhova, $A\text{'},$ $B\text{'},$ $C\text{'}$ i $D\text{'}$ njegove slike dobivene rotacijom oko ishodišta za kut od $90°.$
   

   

     $A\text{'}\left(6,2\right)$

    

     $B\text{'}\left(6,5\right)$

     $C\text{'}\left(1,5\right)$

     $D\text{'}\left(1,2\right)$

   

   Pomoć:

     $A\text{'}\left(6,2\right)$ 
   

   Postupak:

   

     $A\text{'}\left(6,2\right)$ , $B\text{'}\left(6,5\right),$ $C\text{'}\left(1,5\right)$ , $D\text{'}\left(1,2\right)$

   
   

3. U pravokutnom koordinatnom sustavu zadan je kvadrat. Vrhovi kvadrata imaju cjelobrojne koordinate. Odredite koordinate vrhova njegove slike dobivene rotacijom oko ishodišta za kut od $90°.$
   
   

   

     $A\text{'}\left(0,0\right)$

     $B\text{'}\left(-3,-3\right)$

     $C\text{'}\left(-3,3\right)$

     $D\text{'}\left(-6,0\right)$

   

   Pomoć:

   $B\text{'}\left(-3,-3\right)$
   

   Postupak:

     $A\left(0,0\right),$ $B\text{'}\left(-3,-3\right),$ $C\text{'}\left(-3,3\right),$ $D\text{'}\left(-6,0\right)$

   

4. U pravokutnom koordinatnom sustavu zadan je trokut. Vrhovi trokuta imaju cjelobrojne koordinate. Odredite koordinate vrhova njegove slike dobivene rotacijom oko ishodišta za kut od $90°.$

   

     $A\text{'}\left(-4,0\right)$

     $B\text{'}\left(0,-2\right)$

    

     $C\text{'}\left(0,2\right)$

   

   Pomoć:

     $A\text{'}\left(-4,0\right)$
   

   Postupak:

     $A\text{'}\left(-4,0\right),$ $B\text{'}\left(-2,0\right),$ $C\text{'}\left(0,2\right)$
   

   

Zadatak 8.

U interakciji koja slijedi napravite rotaciju zadanu na lijevoj slici. Rotirane dijelove odabirete klikom na kvadratiće na desnoj slici. Klikom na Provjerite dobiti ćete povratnu informaciju o točnosti. Ukoliko niste točno naprvili pokazati će vam se točan odabir kvadratića.

Zatvori

Ljepota i izazovi rotacije

Skup točaka u ravnini koji se uvijek rotira sam u sebe s obzirom na svoje središte je kružnica, odnosno krug.

Sve što napravimo koristeći kružnicu, odnosno krug, vrlo lako rotiramo.

Zadatak 9.

U sljedećem kvizu zadana vam je okrugla ogrlica složena od kružića.

Položaj je početne ogrlice fiksan.

Rotacija u umjetnosti i arhitekturi

 ​

Konstrukcija rotacije točke, dužine, lika

Do sada smo preslikavanje rotacijom promatrali i izvodili u mreži kružnica i lukova, (svojevrsnom polarnom koordinaatnom sustavu koji vama nije stran jer ste ga vidjeli u geografiji - sustav meridijana i paralela).

Preslikavanje objekata rotacijom možemo i konstruirati u ravnini.

Sljedeća će nam animacija pokazati kako konstruirati sliku $A\text{'}$ točke $A$ rotacijom za $45°$ s obzirom na središte rotacije $S.$

Primjer 13.

U animaciji je prikazan postupak konstrukcije rotacije točke.

Zadatak 10.

Zadana je točka $A$ u ravnini i središte rotacije $S.$

Konstruirajte na papiru rotaciju točke $A$ s obzirom na središte simetrije $S$ za kut $-\alpha .$

• Zabodemo šestar u točku $S$ i nacrtamo luk u smjeru vrtnje kazaljke na satu kroz točku $A.$
• Prenesemo nacrtani luk na zadani kut.
• Zabodemo šestar u vrh zadanog kuta i nacrtamo luk.
• U šestar uzmemo duljinu $l,$ zabodemo šestar u točku $A$ i naneseno duljinu $l$ na nacrtani luk.
• Presjek je točka $A\text{'},$ slika točke A nastale rotacijom za kut $-\alpha$ s obzirom na središte rotacije $S.$

Pogledajmo kako konstruirati rotaciju dužine u negativnom smjeru.

Zadatak 11.

Zadana je dužina​ $\overline{AB}$ središte rotacije $S$ i proizvoljan kut.

Konstruirajte na papiru sliku $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ dužine ​ $\overline{AB}$ nastalu rotacijom za zadani kut u negativnom smjeru s obzirom na središte rotacije $S.$

Dužinu $\overline{AB}$ rotirat ćemo tako da rotiramo njezine krajeve, točke $A$ i $B.$

Rotacija točke $A.$

• Zabodemo šestar u točku $S$ i nacrtamo luk u smjeru vrtnje kazaljke na satu kroz točku $A.$
• Prenesemo nacrtani luk na zadani kut.
• Zabodemo šestar u vrh zadanog kuta i nacrtamo luk.
• U šestar uzmemo duljinu $l,$ zabodemo šestar u točku $A$ i nanesemo duljinu $l$ na nacrtani luk.
  
• Presjek je točka $A\text{'},$ slika točke $A$ nastale rotacijom za kut $-\alpha$ s obzirom na središte rotacije $S.$
  

Rotacija točke $B.$

• Zabodemo šestar u točku $S$ i nacrtamo luk u smjeru vrtnje kazaljke na satu kroz točku $B.$
• Prenesemo nacrtani luk na zadani kut.
• Zabodemo šestar u vrh zadanog kuta i nacrtamo luk.
• U šestar uzmemo duljinu $k$, zabodemo šestar u točku  $B$ i nanesemo duljinu  $k$ na nacrtani luk.
• Presjek je točka $B\text{'},$ slika točke $B$ nastale rotacijom za kut s obzirom na središte rotacije $S.$

Dužina $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ je slika dužine​ $\overline{AB}$ nastale rotacijom za zadani kut u negativnom smjeru, s obzirom na središte rotacije $S.$

Sada kada smo vidjeli kako konstruirati rotaciju dužine u negativnom smjeru, pogledajmo kako konstruirati rotaciju dužine u pozitivnom smjeru.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 12.

Zadana je dužina​ $\overline{AB}$ središte rotacije $S$ i proizvoljan kut.

Konstruirajte na papiru sliku $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ dužine​ $\overline{AB}$ nastalu rotacijom za zadani kut u pozitivnom smjeru s obzirom na središte rotacije $S.$

Rješenje

Dužinu $\overline{AB}$ rotirat ćemo tako da rotiramo njezine krajeve, točke $A$ i $\mathrm{B.}$

Rotacija točke $A.$

• Zabodemo šestar u točku $S$ i nacrtamo luk u smjeru obrnutom od vrtnje kazaljke na satu kroz točku $A$
• Prenesemo nacrtani luk na zadani kut.
• Zabodemo šestar u vrh zadanog kuta i nacrtamo luk.
• U šestar uzmemo duljinu $l,$ zabodemo šestar u točku $A$ i nanesemo duljinu $l$ na nacrtani luk.

Presjek je točka $A\text{'},$ slika točke $A$ nastale rotacijom za kut $\alpha$ s obzirom na središte rotacije $S.$

Rotacija točke $B.$

• Zabodemo šestar u točku $S$ i nacrtamo luk u smjeru obrnutom od vrtnje kazaljke na satu kroz točku $B.$
• Prenesemo nacrtani luk na zadani kut.
• Zabodemo šestar u vrh zadanog kuta i nacrtamo luk.
• U šestar uzmemo duljinu $k,$ zabodemo šestar u točku $B$ i nanesemo duljinu $k$ na nacrtani luk.

Presjek je točka $B\text{'},$ slika točke $B$ nastale rotacijom za kut $\alpha$ s obzirom na središte rotacije $S.$

Dužina $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ je slika dužine $\overline{AB}$ nastale rotacijom za zadani kut u pozitivnom smjeru,

$\alpha ,$ s obzirom na središte rotacije $S.$

---

Zadatak 13.

U interakciji koja slijedi proučite rotaciju trokuta oko zadanog središta rotacije $O,$ kojem možete mijenjati položaj za odabrani kut rotacije $\alpha .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 14.

Grupa mladih osnovala je svoju udrugu ¨Veza¨ i dobila prostor na korištenje i održavanje od lokalne zajednice.

Žele iznad ulaza napisati ime svoje udruge kao na slici.

Napravite na papiru konstrukciju koja bi im pomogla.

Rješenje

Postupak

• Konstruirati pravilni dvanaesterokut te raditi samo na gornjem dijelu koji se sastoji od šest $\left(4+2\right)$ sukladnih dijelova. Četiri slova i po jedan "prazan" dio sa svake strane.
• Odabrati stranice mnogokuta i nad njima konstruirati pravokutnike - oni su zarotirani jedan u odnosu na drugog za $30°,$ odnosno $-30°.$
• U pravokutnicima stilizirati slova kao na slici.

---

Zadatak 15.

Odaberite jedno polje. Zatim odredite drugo odgovarajuće polje koje predstavlja rotaciju prvog za zadani kut s obzirom na istaknuto središte rotacije.

Zadatak 16.

Odaberite jedno polje. Zatim odredite drugo odgovarajuće polje koje predstavlja rotaciju prvog za zadani kut s obzirom na istaknuto središte rotacije.

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 17.

Odaberite jedno polje. Zatim odredite drugo odgovarajuće polje koje predstavlja rotaciju prvog za zadani kut s obzirom na istaknuto središte rotacije.

Zadatak 18.

Odaberite jedno polje. Zatim odredite drugo odgovarajuće polje koje predstavlja rotaciju prvog za zadani kut s obzirom na istaknuto središte rotacije.

Zadatak 19.

Odaberite jedno polje. Zatim odredite drugo odgovarajuće polje koje predstavlja rotaciju prvog za zadani kut s obzirom na istaknuto središte rotacije.

Zatvori