x
Učitavanje

6.5 Centralna simetrija

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Proučite slike.

Opišite ih.

U koji par šalica možemo uliti čaj? U koji ne?

Slika prikazuje dvije osnosimetrično postavljene šalice

Prepoznajte preslikavanja.

Osna simetrija ili zrcaljenje s obzirom na os.



​​

Slika prikazuje dvije  šalice translatirane za zadani vektor

Translacija ili paralelni pomak za vektor v .

Slika prikazuje dvije centralnosimetrično postavljene šalice s obzirom na istaknutu točku

Treća nas slika uvodi u novo preslikavanje, centralnu simetriju s obzirom na točku S - centar ili središte simetrije.

Centralnosimetrična slika točke s obzirom na središte simetrije S

Primjer 1.

Slika prikazuje : A' je centralna simentrija točke A s obzirom na središte simetrije S

Centralnosimetrična slika točke A s obzirom na centar simetrije ​ S je točka A ' .

Točke A , S i A ' pripadaju istom pravcu. One su kolinearne. ​

Udaljenost je centralnosimetričnih točaka od centra simetrije jednaka, A S = A ' S .

Centralnosimetrična slika točke je točka.

Ako je točka A ' centralnosimetrična točki A s obzirom na centar simetrije ​ S , onda je i točka A centralnosimetrična točki A ' s obzirom na isti centar simetrije ​ S .

Kažemo da su točke A i A ' centralnosimetrične s obzirom na centar simetrije ​ S .

Centralnosimetrične točke pripadaju istom pravcu, kolinearne su. Centralnosimetrične točke jednako su udaljene od središta simetrije.

Centralna simetrija je preslikavanje ravnine ili prostora takvo da je zadana točka S , središte centralne simetrije, polovište spojnice bilo koje točke i njezine slike.

Primjer 2.

Slik prikazuje točke na pravcu A i M centralnosimetrične s obzirom na točku S

Zadana je točka A i središte simetrije S .

Odredimo koja joj je od ponuđenih točaka centralnosimetrična s obzirom na središte simetrije S .

Centralnosimetrična točka točki A je točka M jer:

  1. točke A , S i M pripadaju istom pravcu
  2. točke A i M su jednako udaljene od središta simetrije S , A S = M S .

Primjer 3.

Slika prikazuje središte simetrije S i parove centralnosimetričnih  točaka A i C te E i F. Ostali parovi točaka nisu centralnosimetrični.

Točka S je središte simetrije.
Odredimo parove centralnosimetričnih točaka s obzirom na središte simetrije S .

Tražimo parove točaka koji:

  • zajedno sa središtem centralne simetrije pripadaju istom pravcu, tj. kolinearne su.
  • su jednako udaljeni od središta centralne simetrije S .

Te uvjete zadovoljavaju parovi točaka: A i C te E i F .

Te uvjete ne zadovoljavaju parovi točaka I i J te G i H .

Točke I i J :

  • zajedno sa središtem centralne simetrije pripadaju istom pravcu, tj. I  , J i S su kolinearne.
  • nisu jednako udaljene od središta centralne simetrije S .

Točke G i H :

  • ne pripadaju istom pravcu kao i središte centralne simetrije, tj. nisu G  , H   i S   nisu kolinearne.

Zadatak 1.

Odaberi slike na kojima su točke E i D centralnosimetrične s obzirom na središte simetrije S .

Odredite točan odgovor.

Na slici su točke D, S  i E na pravcu, S je u sredini i D i E su jednako udaljene od S

Na slici su točke D, S  i E na pravcu, S je u sredini i D i E nisu jednako udaljene od S

Na slici su točke D, S  i E koje nisu na istom pravcu

Na slici su točke D, S  i E na pravcu, S je u sredini i D i E su jednako udaljene od S

Pomoć:

Točke S   E i D moraju pripadati istom pravcu i biti jednako udaljene od središta centralne simetrije S .

null

Centralnosimetrična slika dužine s obzirom na središte simetrije S

Primjer 4.

Slika prikazuje centralnosimetrične dužine AB i A'B' s obzirom na središte centralne simetrije S

Centralnosimetrična slika dužine A B ¯ s obzirom na centar simetrije ​ S je dužina A ' B ' ¯ .

Za točku A :

točke A , S i A ' pripadaju istom pravcu. One su kolinearne.

Udaljenost je centralnosimetričnih točaka od centra simetrije jednaka, A S = A ' S .

Za točku B :

Točke B , S i B ' pripadaju istom pravcu. One su kolinearne.

Udaljenost je centralnosimetričnih točaka od centra simetrije jednaka, B S = B ' S .

Centralnosimetrična slika dužine je dužina.

Ako je dužina A ' B ' ¯ centralnosimetrična dužini A B ¯ s obzirom na centar simetrije S ,

onda je i dužina A B ¯ centralnosimetrična dužini A ' B ¯ s obzirom na isti centar simetrije S .

Kažemo da su dužine A B ¯ i A ' B ' ¯ centralnosimetrične s obzirom na centar simetrije ​ S .

Primjer 5.

Slika prikazuje centralnosimetrične dužine MN i M'N'

Promotrimo sliku centralnosimetričnih dužina​ M N ¯ i M ' N ' ¯ .

Dužine M N ¯ i M ' N ' ¯ su sukladne, tj. jednakih duljina M N = M ' N ' .

Dužine​ M N ¯ i M ' N ' ¯ su paralelne (usporedne), ​ M N ¯ M ' N ' ¯ .

Kutak za znatiželjne

Slika prikazuje kako pokazati da su centralnosimetrične dužine sukladne? Istaknuti su elementi koji sukladnost dokazuju.

Kako pokazati da su centralnosimetrične dužine sukladne odnosno jednakih duljina?

Uočimo trokute S M N i SM'N' .

Svi su vršni kutovi jednake mjere, M S N M ' S N ' .

Točke​ M i M '   su centralnosimetrične pa su jednako udaljene od središta simetrije, S M = S M ' .

Točke​ N i N ' su centralnosimetrične pa su jednako udaljene od središta simetrije, S N = S N ' .

Prema poučku SKS (Ako su dvije stranice jednake duljine, a kutovi između njih jednake mjere, trokuti su sukladni.) trokuti S M N i SM'N' su sukladni.

To znači da su im sve stranice jednake duljine pa su dužine M N ¯ i M ' N ' ¯ sukladne, tj. jednakih duljina M N = M ' N ' .

 ​

Centralnosimetrične dužine su sukladne i paralelne.

Zadatak 2.

Odaberite slike na kojima su dužine C D ¯ i E F ¯ centralnosimetrične s obzirom na središte simetrije S .

 Odredite točne odgovore.

Na slici su dvije sukladne usporedne  dužine CD i EF i točka S između njih

Na slici su dvije sukladne dužine DC i EF koje nisu usporedne i točka S između njih

Na slici su dvije sukladne usporedne  dužine CD i EF i točka S između njih

Na slici su dvije su usporedne  dužine CD i EF koje nisu sukladne i točka S između njih

Pomoć:

 Centralnosimetrične dužine su usporedne i jednake duljine.

null

Centralnosimetrični likovi

Primjer 6.

Slika prikazuje centralnosimetrične trokute ABC i A'B'C'

Promotrimo trokute na slici.

Vrhovi su trokuta centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije S .

Stranice su trokuta centralnosimetrične s obzirom na središte simetrije S .

Trokuti su centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije S .

Centralnosimetrični trokuti su sukladni.

Likovi koji su jedan drugom centralnosimetrični, su sukladni.

Zadatak 3.

Odaberi slike na kojima su likovi centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije S .

Odredite točne odgovore.


Na slici su dva sukladna četverokutas s paralelnim odgovarajućim stranicama i između njih točka S

Na slici su dva sukladna četverokutas s paralelnim odgovarajućim stranicama i između njih točka S

Na slici su dva sukladna četverokutas s paralelnim samo nekim odgovarajućim stranicama i između njih točka S

Na slici su dva sukladna osnosimetrična četverokuta sa jednim vrhom zajedničkim  i točkom S u drugom vrhu

Na slici su dva sukladna četverokutas s paralelnim odgovarajućim stranicama i između njih točka S

Pomoć:

 Centralnosimetrični likovi s obzirom na središte simetrije su sukladni.

null

Zanimljivost

Slika pokazuje kako dvije uzastopne osne simetrije s okomitim osima simetrije daje jednu centralnu simetriju

Nacrtali smo dva međusobno okomita pravca p i t , p t .

Lik A B C D  smo osnosimetrično preslikali preko osi p i dobili sliku A ' B ' C ' D ' .

Dobivenu smo sliku A ' B ' C ' D '  osnosimetrično preslikali preko osi t i dobili sliku A ' ' B ' ' C ' ' D ' ' .

Likovi A B C D i A ' ' B ' ' C ' ' D ' '   su centralnosimetrični s obzirom na središte simetrije S , sjecište okomitih pravaca p i t .


Zadatak 4.

Odaberite likove koji su centralnosimetrični.

  1. Je li nacrtani lik centralnosimetričan?

    Na slici je lik za koji treba ispitati je li centralnosimetričan

    null
    null
  2. Je li zadano slovo centralnosimetrično?

    Simetrija Z

    null
    null
  3. Je li nacrtani lik centralnosimetričan?

    simetrija polukružnice

    null
    null
  4. Je li nacrtani lik centralnosimetričan?

    Simetrija trokut

    null
    null
  5. Je li nacrtani lik centralnosimetričan?

    Na slici je lik za koji treba ispitati je li centralnosimetričan

    null
    null
  6. Je li nacrtani lik centralnosimetričan?

    Na slici su dva sukladna kvadrata spojeni u jednom vrhu s jednim parom dijagonala na istom pravcu kojemu su četvrtine unakrsno isto obojane

    null
    null
  7. Je li nacrtana krivulja centralnosimetrična?

    Na slici je veliko tiskano slovo S

    null
    null

Likovi koji su sami sebi centralnosimetrični

Primjer 7.

Proučimo kvadrat.

Pokažimo da je centralnosimetričan sam sebi, odnosno da se preslikava sam u sebe s obzirom na središte simetrije S .

Središte centralne simetrije S , kojom se kvadrat preslikava u samog sebe, sjecište je dijagonala kvadrata.

  1. Nasuprotni vrhovi kvadrata su centralnosimetrični, A i C te B i D .

    • Dijagonale kvadrata se raspolavljaju.
    • Nasuprotne su točke jednako udaljene od središta centralne simetrije S .
  2. Nasuprotne su stranice kvadrata centralnosimetrične, A B ¯ i C D ¯ te B C ¯ i A D ¯ .

    Kvadrat je vrsta paralelograma jer ima:

    • nasuprotne stranice jednake duljine
    • nasuprotne stranice paralelne. 

Centralnosimetrični likovi se preslikavaju sami u sebe.

Zadatak 5.

Odredite koji su od ponuđenih četverokuta centralnosimetrični s obzirom na sjecište dijagonala.

 Odaberite točne odgovore.

Na slici je pravokutnik ABCD

Na slici je romb NOPQ

Na slici je paralelogram RVTU

Na slici je jednakokračni trapez ABCD

Na slici je deltoid EFGH

Pomoć:


Na slici je jednakokračni trapez s istaknutim dijagonalama
Na slici je deltoid s istaknutim dijagonalama


 Dijagonale jednakokračnog trapeza i deltoida ne raspolavljaju se.


null

Svi paralelogrami su centralnosimetrični s obzirom na sjecište dijagonala.

Zanimljivost

Slika prikazuje pravilne mnogokute n=3, 5,,6, 7, 8 kako bi se proučilo koji su centralnosimetrični

 Koji su od pravilnih mnogokuta centralnosimetrični?

 Centralnosimetrični su samo pravilni mnogokuti s parnim brojem vrhova.

Sklika prikazuje krug s puno promjera kako bi se pokazalo zašto je centralnosimetričan s obzirom na svoje središte.

Krug je sam sebi centralnosimetričan s obzirom na svoje središte.

Povucite na satu u obliku kruga parove brojeva na međusobno centralnosimetrične pozicije.

Povucite brojeve na sliku.

Na slici je prikaz okruglog brojčanika sata s mjestima za postavljenje brojeva

2

3

6

12

9

8

null
null

Primjer 8.

Slika prikazuje centralnosinetrične točke s obzirom na ishodište zadane koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu

U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini točke su D i E centralnosimetrične s obzirom na ishodište.

Promotrimo njihove koordinate.

Koordinate apscisa su suprotni brojevi.

- 2 = 2  

Koordinate ordinata su suprotni brojevi.

3 = - 3  

Neka su A i B centralnosimetrične točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini s obzirom na ishodište.

Njihove koordinate su oblika​ A x , y i B - x , - y , gdje su ​ x , y R .  

Zadatak 6.

Slika prikazuje koordinatni sustav s centralnosimetričnim trokutima s obzirom na ishodište

Je li nacrtani lik u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini centralnosimetričan s obzirom na ishodište? Koordinate vrhova cu cjelobrojne.

Slika prikazuje koordinatni sustav s centralnosimetričnim trokutima s obzirom na ishodište.  Istaknute koordinate vrhova trokuta.

Treba odrediti koordinate točaka i provjeriti jesu li u parovima centralnosimetričnih točaka suprotne.

Nacrtani likovi su centralnosimetrični.

Koordinate su odgovarajućih točaka suprotne.


Zadatak 7.

Slika prikazuje koordinatni sustav s centralnosimetričnim trokutima s obzirom na ishodište

Je li nacrtani lik u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini centralnosimetričan s obzirom na ishodište? Koordinate su vrhova cjelobrojne.

Slika prikazuje koordinatni sustav s centralnosimetričnim trokutima s obzirom na ishodište.  Istaknute koordinate vrhova trokuta.

Treba odrediti koordinate točaka i provjeriti jesu li u parovima centralnosimetričnih točaka suprotne.

Nacrtani su likovi centralnosimetrični.

Koordinate su odgovarajućih točaka suprotne.


Zadatak 8.

Slika prikazuje trapez u koordinatnom sustavu. Središte simetrije unutar trapeza.

Odredi koordinate vrhova centralnosimetričnog lika zadanog s obzirom na ishodište pravokutnog koordinatnog sustava u ravnini.

Koordinate vrhova centralnosimetričnog lika su:

A ' 4 , 3 , B ' - 4 , 3 , C ' - 2 , - 2 , D ' 2 , - 2 .


Zadatak 9.

Slika prikazuje trokut u koordinatnom sustavu. Središte simetrije-ishodište unutar trokuta

Odredi koordinate vrhova centralnosimetričnog lika zadanog s obzirom na središte simetrije S .

Koordinate vrhova centralnosimetričnog lika zadanog s obzirom na središte simetrije S su A ' 2 , 0 , B ' 9 , 4 , C ' 0 , 8 .


Zadatak 10.

Nik je napisao svoje ime i ispravno ga preslikao centralnosimetrično s obzirom na središte simetrije S . Koja slika prikazuje taj centralnosimetrični zapis?

 Odredite točan odgovor.

Na slici je motiv u kvadratnoj mreži za koji treba odrediti je li centralnosimetričan

Na slici je motiv u kvadratnoj mreži za koji treba odrediti je li centralnosimetričan

Na slici je motiv u kvadratnoj mreži za koji treba odrediti je li centralnosimetričan

null
null

Projekt

Napiši svoje ime u kvadratnoj mreži i preslikaj ga centralnosimetrično s obzirom na središte centralne simetrije koje sam odabereš.

Zadatak 11.

Odredi koje vrijeme na digitalnom satu ima centralnosimetrične brojke.

 Odaberite točan odgovor.

Na slici je vrijeme 23:32 zapisano na digtalnom satu za koje treba odrediti je su li brojke centralnosimetrične

Na slici je vrijeme 15:51zapisano na digtalnom satu za koje treba odrediti je su li brojke centralnosimetrične

Na slici je vrijeme 28:82 zapisano na digtalnom satu za koje treba odrediti je su li brojke centralnosimetrične

Na slici je vrijeme 20:02 zapisano na digtalnom satu za koje treba odrediti je su li brojke centralnosimetrične

Na slici je vrijeme18:81 zapisano na digtalnom satu za koje treba odrediti je su li brojke centralnosimetrične

null
null

Zadatak 12.

Odaberi motive koji su centralnosimetrični.

 Odaberi točan odgovor.

Na slici je morska zvijezda s 9 krakova

Na slici je pravilna zvijezda s 6 krakova

Na slici je pravilna zvijezda s 9 krakova

Na slici je cvijet s 5 latica

Na slici je cvijet sa 7 latica

Na slici je djetelina s 3 licsta

Na slici je djetelina s 4 licsta

Na slici je zastava Jamajke

Na slici je hrvatska zastava

Na slici je paukova mreža s patnim brojem dijelova

null
null

Konstrukcija centralnosimetrične točke, dužine, lika

Konstrukcija je crtanje geometrijskih oblika korištenjem ravnala i šestara ili dvaju trokuta i šestara.

Primjer 9.

Do sada smo preslikavanje centralnom simetrijom promatrali i izvodili u kvadratnoj mreži.

Preslikavanje objekata centralnom simetrijom možemo i konstruirati u ravnini bez kvadratne mreže.

Sljedeća će nam animacija pokazati kako konstruirati centralnosimetričnu sliku točke ravnalom i šestarom.

Zadatak 13.

Slika prikazje točku A i središte centralne simetrije S

U bilježnici odaberite točku A u ravnini i središte centralne simetrije S .

Konstruirajte centralnosimetričnu sliku točke A s obzirom na središte simetrije S .

Slika prikazuje konstrukciju centralno simetrične točke A' točke A s obzirom na središte centralne simetrije S

Nacrtajmo pravac koji sadrži točke A i S .

Smjestimo iglu šestara u središte S i uzmimo u šestar udaljenost od točke  A do točke S , središta simetrije.

Prenesimo tu udaljenost na pravac A S s druge strane središta simetrije.

Presjek luka i pravca A S je točka A ' , centralnosimetrična slika točke  A s obzirom na središte simetrije S .


U ovoj interakciji uvježbajte određivanje centralnosimetrične slike zadane točke. Kad točno riješite pokazati će vam se imena centralnosimetričnih slika A ' , B ' i C ' točaka A , B i C .

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 10.

Sada kada smo vidjeli kako konstruirati centralnosimetričnu sliku točke, pogledajmo kako se konstruira centralnosimetrična slika dužine.

Zadatak 14.

Slika prikazuje dužinuAB i središte simetrije S

Nacrtajte u bilježnicu dužinu A B ¯   i središte centralne simetrije S . ​

Konstruirajte centralnosimetričnu sliku dužine A B ¯   s obzirom na središte simetrije S .

Slika prikazuje dužinu AB i njezinu centralnosimetričnu sliku, dužinu A'B' s obzirom na središte simetrije S

Nacrtajmo pravac koji sadrži točke A i S .

Smjestimo iglu šestara u središte S i uzmimo u šestar udaljenost od točke  A do točke S , središta simetrije.

Prenesimo tu udaljenost na pravac A S s druge strane središta simetrije.

Presjek luka i pravca A S je točka A ' , centralnosimetrična slika točke  A s obzirom na središte simetrije S .

Nacrtajmo pravac koji sadrži točke B i S .

Smjestimo iglu šestara u središte S i uzmimo u šestar udaljenost od točke B do točke S , središta simetrije.

Prenesimo tu udaljenost na pravac B S s druge strane središta simetrije.

Presjek luka i pravca B S je točka B ' , centralnosimetrična slika točke B s obzirom na središte simetrije S .

Dužina A ' B ' ¯ je centralnosimetrična slika dužine A B ¯ s obzirom na središte simetrije S .


Centralnosimetrična slika lika

Sada kada smo naučili preslikavati točku i dužinu centralnom simetrijom, možemo preslikavati likove.

U ovoj interakciji uvježbajte određivanje centralnosimetrične slike trokuta.

Centralnosimetričnu sliku trokuta dobijemo preslikavajući centralnosimetrično njegove vrhove.

Povećaj ili smanji interakciju

Kutak za znatiželjne

 U ovoj interakciji možete:

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 15.

Zadana je figura. Oboji sve parove polja kako bi figura postala centralnosimetrična s obzirom na istaknuto sjecište dijagonala najvećeg kvadrata.

Zadatak 16.

Zadana je figura. Oboji sve parove polja kako bi figura postala centralnosimetrična s obzirom na istaknuto sjecište dijagonala najvećeg kvadrata.

Zadatak 17.

Zadana je figura. Oboji sve parove polja kako bi figura postala centralnosimetrična s obzirom na istaknuto središte kruga.

Zadatak 18.

Zadana je figura. Oboji sve parove polja kako bi figura postala centralnosimetrična s obzirom na istaknuto sjecište dijagonala najvećeg kvadrata.

...i na kraju

Naučili smo novo preslikavanje u ravnini - centralnu simetriju.

Povećaj ili smanji interakciju

Idemo na sljedeću jedinicu

6.6 Rotacija