Matematika 8 - 4.9 Primjena Pitagorina poučka na trapez

Na početku...

Slika prikazuje prozor oblika jednakokračnog trapeza kojemu je dulja osnovica dolje, a kraća gore.

Nestašna braća u nedjeljno su jutro igrala nogomet. U jednom je trenutku lopta završila u susjedovu tavanskom prozoru i razbila ga. Kako roditelji ne bi doznali što su učinili, odlučili su sami nadoknaditi štetu. Izmjerili su dimenzije prozora: duljine horizontalnih stranica iznose $140 cm$ i $80 cm,$ a obje kose stranice duljine su $72 cm .$

U zajedničkoj blagajni imali su ukupno $145 kn,$ a cijena jednoga kvadratnog metra stakla iznosi $167 kn .$

Hoće li dječaci uspjeti nadoknaditi štetu susjedu a da ne zatraže dodatni novac od roditelja? Kolika je cijena stakla za susjedov prozor?

Staklena ploha u obliku je jednakokračnog trapeza. Duljine njegovih osnovica iznose $140 cm$ i $80 cm,$ a krakova $72 cm .$ Za rješavanje ovog zadatka potrebno je izračunati površinu stakla, a za računanje površine trapeza potrebna je i udaljenost između njegovih paralelnih stranica ‒ duljina visine.

No taj podatak nisu znali, a nisu ga ni izmjerili! Mogu li izračunati površinu stakla ako ne znaju visinu?

Trapez je četverokut koji ima najmanje jedan par paralelnih stranica.

Paralelne stranice osnovice su trapeza, a druge dvije stranice krakovi su trapeza. Udaljenost između dviju paralelnih stranica trapeza jest njegova visina.

Zanimljivost

Trapez je četverokut koji ima barem jedan par paralelnih stranica, što znači da u skupinu trapeza pripadaju i paralelogrami (četverokuti imaju dva para paralelnih stranica), a onda i pravokutnici i kvadrati (posebne vrste paralelograma).

U svakodnevnom govoru pod pojmom trapez uglavnom prvo podrazumijevamo trapez „u užem smislu”, odnosno četverokut koji ima (točno) jedan par paralelnih stranica.

Naučili ste da površinu trapeza s osnovicama duljine $a$ i $c$ i visinom duljine $v$ računamo prema formuli:

$p = \frac{a + c}{2} \cdot v .$

Podjela trapeza

Uočite da crtanjem okomica iz vrhova kraće osnovice na dulju osnovicu svaki trapez možemo podijeliti na pravokutnik te na jedan ili dva pravokutna trokuta.

Promotrite još jedanput podjelu trapeza na pravokutnik i pravokutne trokute.

Rastavljanje trapeza na pravokutnik i pravokutne trokute

Primjer 1.

Kako odrediti duljinu visine i površinu trapeza na temelju poznatih podataka o duljinama svih njegovih stranica?

Pravokutni trapez

Najjednostavniji je slučaj pravokutnog trapeza, tj. trapeza kojemu je kraći krak okomit na osnovice. U tom slučaju duljina visine trapeza jednaka je duljini kraćeg kraka pa njegovu površinu računamo kao

$p = c \cdot v + \frac{1}{2} (a - c) \cdot v$

ili primjenjujući izravno formulu za površinu trapeza

$p = \frac{a + c}{2} . v .$

Na slici je jednakokračni trapez podijeljen na pravokutnik i dva sukladna pravokutna trokuta.

Jednakokračan trapez

Ako je trapez jednakokračan, tj. ako je $b = d,$ podjela trapeza je simetrična, tj. pravokutni trokuti međusobno su sukladni.

U tom slučaju površinu trapeza računamo kao

$p = c \cdot v + 2 \cdot \frac{x \cdot v}{2}$

$p = c \cdot v + x \cdot v,$

pri čemu je $x = \frac{a - c}{2} .$ U konačnici, nakon sređivanja izraza, dobivamo istu formulu za površinu trapeza $p = \frac{a + c}{2} \cdot v .$

Pri određivanju visine trapeza na istaknute ćemo pravokutne trokute primjenjivati Pitagorin poučak.

Zadatak 1.

Uočite istaknute pravokutne trokute i zapišite u bilježnicu simbolima Pitagorin poučak uz oznake kao na slikama.

Na slici su pravokutni trapez i jednakokračni trapez s istaknutim visinama, dobivenim pravokutnicima i pravokutnim trokutima.

Za oba je trokuta simbolički zapis isti:

$b^{2} = v^{2} + x^{2}$

ali drukčije je značenje oznake $x .$

Riješimo trapez

Primjer 2.

Izračunajmo duljinu kraka jednakokračnog trapeza s osnovicama duljine $a = 50 cm,$ $c = 18 cm$ i visinom $v = 3 dm .$ Koliki je opseg tog trapeza?

Na slici je jednakokračni trapez s ucrtanim visinama iz vrhova kraće osnovice. Istaknut je jedan od dvaju dobivenih sukladnih pravokutnih trokuta. Duljine kateta tog trokuta označene su v i x, a duljina hipotenuze s b. Pri tome x je jednak polovini razlike duljina osnovica a i c.

Uz oznake kao na slici dobivamo da je:

$x = \frac{50 - 18}{2}$

$x = \frac{32}{2}$

$x = 16 cm .$

Primijenimo li Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut, dobit ćemo $b^{2} = x^{2} + v^{2} .$ Nakon uvrštavanja zadanih podataka dobivamo redom:

$b^{2} = 16^{2} + 30^{2}$

$b^{2} = 256 + 900$

$b^{2} = 1 156$

pa je

$b = 34 cm .$

Opseg tog trapeza jednak je zbroju duljina svih njegovih stranica, dakle $o = a + 2 b + c$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $136 cm .$

Primjer 3.

Izračunajmo duljinu visine jednakokračnog trapeza s osnovicama duljine $a = 43 cm,$ $c = 15 cm$ i krakom duljine $b = 265 mm$ . Kolika je površina tog trapeza?

Uz oznake kao na slici dobivamo da je:

$x = \frac{43 - 15}{2}$

$x = \frac{28}{12}$

$x = 14 cm .$

Primijenimo li Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut, dobit ćemo $b^{2} = x^{2} + v^{2} .$ Nakon uvrštavanja zadanih podataka dobivamo redom:

${26.5}^{2} = 14^{2} + v^{2}$

$v^{2} = 702.25 - 196$

$v^{2} = 506.25$

pa je

$v = 22.5 cm .$

Površinu tog trapeza računamo prema formuli $p = \frac{a + c}{2} \cdot v$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $652.5 {cm}^{2} .$

Primjer 4.

Izračunajmo duljinu osnovice $a$ jednakokračnog trapeza ako je duljina osnovice $c = 12 dm,$ duljina kraka $b = 3.7 m$ i duljina visine $v = 35 dm$ .

Primijenimo li Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut, dobit ćemo

$b^{2} = x^{2} + v^{2} .$

Nakon uvrštavanja zadanih podataka dobivamo redom:

$37^{2} = x^{2} + 35^{2}$
$x^{2} = 1 369 - 1 225$
$x^{2} = 144$

pa je

$x = 12 dm .$

Dalje je prema oznakama na slici $a = c + 2 x$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $a = 36 dm .$

Zanimljivost

Trapez kao dio ljudskog tijela?

Trapezni mišić

Trapezni mišić (m. trapesius) polazi sa zatiljne kosti i trnastih nastavaka svih prsnih kralježaka, a hvata se na greben lopatice i lateralni kraj ključne kosti. Gornji dio mišića podiže rame ili pregiba glavu na svoju stranu; ako je obostrana kontrakcija, mišić radi ekstenziju glave. Srednji dio mišića primiče lopatice (kao kod stava „mirno”), a donji obrće lopaticu i pomaže pri podizanju ruke iznad vodoravnog položaja.

Taj mišić, koji u većoj ili manjoj mjeri sudjeluje kao pomoć pravilnu držanju kralježnice, zbog stresa i sjedenja često je bolan i napet.

Trapezna i trapezoidna kost

Trapezna i trapezoidna kost kosti su šake iz niza zapešćajnih kostiju.

Trapezi oko nas

Zanimljivost

Na slic je dio dio hokejskog igrališta na kojemu se primjenjuje tzv. trapezno pravilo.

Trapez u sportu

Na igralištima za hokej na ledu (u profesionalnoj hokejaškoj ligi NHL-u) istaknut je dio igrališta iza gola u kojem se primjenjuje tzv. trapezno pravilo.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Svjetiljka čije je sjenilo sastavljeno od četiri sukladne plohe. Svaka od njih oblika je jednakokračnog trapeza.

Studentica Marta odlučila je urediti staru svjetiljku koju je dobila od bake. Svjetiljka izgleda kao na slici. Sve četiri strane sjenila svjetiljke međusobno su sukladne i u obliku su jednakokračnog trapeza. Marta je izmjerila rubove sjenila i njihove su dimenzije prikazane na slici.

Koliko najmanje materijala Marta mora kupiti kako bi obložila cijelu svjetiljku?

Na slici je jednakokračan trapez koji prikazuje jednu stranu zaslona svjetiljke.

Svaka od četiriju strana svjetiljke u obliku je jednakokračnog trapeza.

Uz oznake kao na slici uz primjenu Pitagorina poučka na istaknuti trokut vrijedi:

$x = 3.75 cm$

$v^{2} = {14.2}^{2} - {3.75}^{2}$

$v^{2} = 187.5775$

pa je

$v \approx 13.7 cm .$

Površinu svakog trapeza računamo kao umnožak polovine zbroja duljina osnovica ( $8 cm$ i $15.5 cm$ ) i duljine visine trapeza (približno $13.7 cm$ ).

Približna površina potrebnog materijala jednaka je

$p \approx 4 \cdot \frac{8 + 15.5}{2} \cdot 13.7$

$p \approx 644 {cm}^{2} .$

Zadatak 5.

Na slici je voćnjak oblika pravokutnog trapeza. Uz dulji krak tog trapeza je cesta.

Djed Mirko odlučio je ograditi svoj voćnjak zasađen uz cestu na zemljištu u obliku pravokutnog trapeza. Djed je izmjerio duljine triju rubova zemljišta, no zbog sigurnosti nije mjerio duljinu ruba uz cestu. Mjere su zapisane na slici. Budući da je djed želio ogradu postaviti oko cijelog voćnjaka, našao se pred problemom kako će izračunati duljinu zemljišta uz cestu?

Možete li pomoći djedu Mirku da izračuna duljinu potrebne ograde?

Na slici je pravokutni trapez podijeljen na pravokutnik i pravokutni trokut.

Promotrimo sliku. Voćnjak je podijeljen okomicom na pravokutnik (sa stranicama duljine $33 m$ i $40 m$ ) i pravokutni trokut (s katetama duljine $33 m$ i $15 m$ ). Za rješenje djedova problema nedostaje podatak o duljini dijela voćnjaka uz cestu, na slici označen $d$ .

Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobiva se da je $d^{2} = 33^{2} + 15^{2} = 1 314,$ odnosno da je duljina nepoznate stranice voćnjaka $d \approx 36.25 m .$

Djed Mirko treba nabaviti najmanje $40 + 33 + 55 + 36.25 = 164.25$ metara žice.

Zadatak 6.

Na slici je pješčanik oblka šesterokuta. Šesterokut je sastavljen od dva sukladna jednakokračna trapeza sa zajedničkom duljom osnovicom.

U dvorištu dječjeg vrtića postavljen je veliki bazen za pijesak izgrađen u obliku šesterokuta. Sve stranice šesterokuta jednake su duljine od $3$ metra. Najdulja dijagonala pješčanika duga je $8$ metara i ona dijeli pješčanik na dva sukladna trapeza.

Kolika je površina pješčanika?

Na slici je polovina pješčanika. Taj dio je oblika jednakokračnog trapeza i podijeljen je na pravokutnik i dva sukladna pravokutna trokuta.

Uz oznake kao na slici dobivamo da je $x = 2.5 m .$ Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobiva se visina trapeza $v \approx 1.66 m .$

Površina trapeza približno je $9.13 m^{2},$ a površina cijelog pješčanika dvostruko je veća od površine trapeza i iznosi približno $18.26 m^{2}$

Zatvori

Zanimljivost

Na slici je trapezni navoj kakav se koristi u strojarstvu. — Trapezni navoj

Slika prikazuje poprečni presjek trapeznog remena. U strojarstvu trapezni se remen često naziva klinasti remen. — Poprečni presjek trapeznog (klinastog) remena

Trapez u strojarstvu i brodogradnji

Trapezni navoj je navoj s jednakokračnim temeljnim trokutom, kutom profila od $30 °$ i temeljnim profilom u obliku jednakokračnoga trapeza. Upotrebljava se za pričvršćivanje samo na onim vijcima koji služe za naročito opterećene vijčane spojeve ili one koji se često rastavljaju (trapezni navoji manje se troše).

Trapezni ili klinasti remen je remen poprečnog presjeka u obliku trapeza ili klina. Osnovna funkcija klinastog remenja jest prijenos snage ili okretnog momenta preko remenica s jedne osovine na drugu.

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Slika fotonaponske ćelije oblika jednakokračnog trapeza

Fotonaponske ćelije pretvaraju solarnu energiju u električnu energiju. Jedan je satelit potpuno prekriven solarnim pločama koje imaju oblik jednakokračnog trapeza. Duljine osnovica tog trapeza iznose $70 cm$ i $54 cm,$ a duljina je krakova $1 m .$

Kolika je površina jedne takve solarne ploče?

Na slici je jedna solarna ploča oblika jednakokračnog trapeza. Podijeljena je na pravokutnik i dva sukladna pravokutna trokuta.

Uz oznake kao na slici prvo se dobiva da je

x = 8 cm .

Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobiva se da je visina trapeza (solarne ploče)

v \approx 99.7 cm

pa je površina jedne takve solarne ploče približno

6 181.4 {cm}^{2} .

Zadatak 8.

Koje su od sljedećih tvrdnji o trapezu istinite?

Duljina kraka jednakokračnog trapeza mora biti veća od duljine kraće osnovice.

Da

Ne

Pomoć:

Duljina kraka ne ovisi samo o duljini kraće osnovice.

null
Duljina visine jednakokračnog trapeza može biti veća od duljine kraka.

Da

Ne

Pomoć:

Krak je hipotenuza, a visina kateta pravokutnog trokuta. Kateta mora biti kraća od hipotenuze.

null
Duljina visine trapeza uvijek je kraća od duljine kraka trapeza.

Da

Ne
Kod pravokutnog trapeza visina i kraći krak su jednakih duljina.

null

Zatvori

Zanimljivost

Na slici je zastava države Trinidad i Tobago. — zastava Trinidada i Tobaga

Na slici je zastava Republike Kongo — zastava Republike Kongo

Na slici je zastava Demokratske republike Kongo — zastava Demokratske Republike Kongo

Na slici je zastava države Kuvajt — zastava države Kuvajt

Većina zemalja na svojim zastavama ima neke geometrijske oblike. Najčešće su to pravokutnici i pravokutni trokuti, a samo je nekoliko zemalja na svijetu koje na zastavi imaju paralelogram ili trapez. Tako su paralelogrami zastupljeni na zastavama država Trinidad i Tobago te Republike Kongo, zastava Demokratske Republike Kongo osim paralelograma i trokuta sadržava i dva trapeza, a Kuvajt na zastavi ima jedan jednakokračni i dva pravokutna trapeza.

Kutak za znatiželjne

Zastava Kuvajta sadržava jedan jednakokračni trapez (crne boje) i dva pravokutna trapeza (crvene i zelene boje). Omjer duljine i širine zastave jest $2 : 1,$ pruge su jednake širine, a visina jednakokračnog trapeza četiri je puta manja od duljine zastave. Kolika je površina jednakokračnog trapeza u odnosu prema širini zastave? Koliki se dio površine zastave odnosi na jednakokračni trapez?

Označimo li širinu zastave $x$ , onda je duljina $2 x .$ Širina je svake pruge $\frac{1}{3} x,$ a visina jednakokračnog trapeza je $\frac{1}{4} \cdot 2 x = \frac{1}{2} x .$ Duljine osnovica trapeza jesu $x$ i $\frac{1}{3} x .$

Površina trapeza tada je

$p = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot v$

$p = \frac{1}{2} \cdot (x + \frac{1}{3} x) \cdot \frac{1}{2} x$

$p = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} x \cdot \frac{1}{2} x$

$p = \frac{1}{3} x^{2} .$

Budući da je površina zastave jednaka $x \cdot 2 x = 2 x^{2},$ to znači da površina jednakokračnog trapeza zauzima šestinu cijele zastave.

$a = 3 dm,$ $b = 25 cm,$ $v = 24 cm$	$c = 16 cm$
$a = 127 mm,$ $c = 31 mm,$ $p = 4 345 {mm}^{2}$	$v = 55 mm$
$a = 28 cm,$ $b = 41 cm,$ $c = 10 cm$	$o = 120 cm$
$o = 37.4 cm,$ $b = 97 mm,$ $v = 72 mm$	$d = 15.5 cm$

4.9 Primjena Pitagorina poučka na trapez

Na početku...

Zanimljivost

Podjela trapeza

Zadatak 1.

Riješimo trapez

Zanimljivost

Vježbajmo!

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Trapezi oko nas

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zanimljivost

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

4.10 Modeliranje problemskih situacija Pitagorinim poučkom