Matematika 8 - 9.2 Oplošje i obujam piramide

Od mreže do piramide

Zadatak 1.

Promotrite piramide na slikama. Na papiru nacrtajte i dopunite tablicu.

Naziv piramide	Broj vrhova	Broj bridova	Broj strana



pravilna $n$ -terostrana

Slika prikazuje pravilnu trostranu piramidu izrađenu od štapića i kuglica.

Slika prikazuje pravilnu četverostranu piramidu izrađenu od štapića i kuglica.

Slika prikazuje pravilnu peterostranu piramidu izrađenu od štapića i kuglica.

Prikazane piramide nazivaju se redom: pravilna trostrana piramida, pravilna četverostrana piramida i pravilna peterostrana piramida.

Naziv piramide	Broj vrhova	Broj bridova	Broj strana
pravilna trostrana	$4$	$6$	$4$
pravilna četverostrana	$5$	$8$	$5$
pravilna peterostrana	$6$	$10$	$6$
pravilna n-terostrana	$n + 1$	$2 n$	$n + 1$

Mreža geometrijskoga tijela ravninski je prikaz svih ploha koje omeđuju to tijelo.

Razrežemo li $n$ -terostranu piramidu duž $n$ bridova (od kojih je najmanje jedan pobočni brid) pa sve nastale likove razvijemo u ravninu, dobit ćemo mrežu piramide.

Mreža $n$ -terostrane piramide ravninski je prikaz pobočja i baze piramide.

Primjer 1.

Na slikama je prikazano nekoliko različitih mreža pravilne četverostrane piramide.

Primjer 2.

Na sljedećim su slikama prikazane mreže nekih pravilnih piramida.

Zadatak 2.

Mreža svake uspravne piramide može se prikazati na više različitih načina. Promotrite slike i odgovorite na pitanja.

Oplošje piramide

Podsjetimo se: Piramida je geometrijsko tijelo omeđeno jednim mnogokutom (koji nazivamo bazom ili osnovkom piramide) te s $n$ trokuta (koje nazivamo pobočkama i koji čine pobočje piramide).

Piramida je uspravna ako su pobočni bridovi jednakih duljina, tj. ako su njezine pobočke jednakokračni trokuti.

Bazu i pobočke jednim imenom nazivamo stranama piramide.

Oplošje geometrijskoga tijela zbroj je površina svih strana (likova) koje omeđuju to tijelo.

Označimo li površinu baze piramide $B$ , a površinu njezina pobočja $P,$ onda ćemo oplošje te piramide izračunati tako da zbrojimo površinu baze i površinu pobočja.

$O = B + P .$

Primjer 3.

Izračunajmo oplošje piramide ako je površina njezine baze $35.5 {cm}^{2},$ a površina njezina pobočja iznosi $42.3 {cm}^{2} .$

Oplošje piramide računamo prema formuli $O = B + P,$ pa uvrštavanjem dobivamo $O = 35.5 + 42.3 = 77.8 {cm}^{2}$ $.$

Primjer 4.

Oplošje je neke piramide $7 866 {mm}^{2},$ a površina njezine baze $37.75 {cm}^{2} .$ Kolika je površina pobočja te piramide?

Oplošje piramide računamo prema formuli $O = B + P,$ pa uvrštavanjem dobivamo $78.66 = 37.75 + P,$ odakle je $P = 78.66 - 37.75 = 40.91 {cm}^{2}$ $.$

Primjer 5.

Oplošje je neke piramide $615.7 {cm}^{2},$ a površina njezina pobočja $2.33 {dm}^{2} .$ Kolika je površina baze te piramide?

Oplošje piramide računamo prema formuli $O = B + P,$ pa uvrštavanjem dobivamo $615.7 = B + 233,$ odakle je $B = 615.7 - 233 = 382.7 {cm}^{2}$ $.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Primjenjujući formulu za oplošje piramide $(O = B + P),$ izračunajte i na crtu upišite odgovarajući broj.

Površina baze piramide iznosi $57.4 {cm}^{2},$ a površina njezina pobočja $82.3 {cm}^{2}$ $.$ Oplošje te piramide iznosi ${cm}^{2} .$

null

null
Oplošje je piramide $5 884 {cm}^{2},$ a površina njezina pobočja $2 372 {cm}^{2} .$ Površina je baze te piramide ${cm}^{2} .$

null

null
Oplošje je piramide $78 620 {mm}^{2},$ a površina njezine baze $308.5 {cm}^{2} .$ Površina je pobočja te piramide ${cm}^{2} .$

null

null

Zadatak 4.

Uz pomoć interakcije uvježbajte računanje oplošja piramide.

Zatvori

Obujam (volumen) piramide

Obujam (volumen) geometrijskoga tijela mjera je prostora koju zauzima to tijelo. Osnovna je mjerna jedinica za obujam (volumen) kubni (kubični) metar $(1 m^{3}) .$ Obujam tijela mjerimo brojem jediničnih kocaka koje sadrži to tijelo.

Primjer 6.

Promotrimo prizmu i piramidu koje imaju sukladne baze i jednake visine. Prema slici i modelima zaključujemo da veći obujam ima prizma.

U kakvu su odnosu volumen te prizme i piramide?

Omjer obujma prizme i obujma piramide s jednakom površinom baze i jednakom visinom moguće je provjeriti eksperimentalno, koristeći odgovarajuće modele prizme i piramide.

Eksperimentalni izvod formule za volumen piramide pogledajmo u videoisječku.

Odnos obujma prizme i piramide sa sukladnom bazom i visinom jednake duljine

Pogledajte sljedeći videoisječak. U kojem su odnosu volumen prizme i piramide jednakih visina i sukladnih baza?

Na temelju video-isječka eksperimenta s prelijevanjem vode zaključujemo da je volumen piramide tri puta manji od volumena odgovarajuće prizme, tj. da je $V (piramide) = \frac{1}{3} V (prizme) .$

Budući da volumen uspravne prizme s bazom površine $B$ i visinom $h$ računamo prema formuli $V = B h,$ onda je volumen piramide s istom površinom baze i istom visinom jednak $V = \frac{1}{3} B h .$

U sljedećoj animaciji pogledajte kako rastaviti kocku na tri piramide jednakih volumena. Baza prizme (kocke) i svake piramide sukladne su te su visina prizme (kocke) i visine piramida jednakih duljina.

Primjer 7.

Izračunajmo volumen piramide kojoj je površina baze jednaka $24.6 {cm}^{2},$ a visina $3.4 cm.$

Volumen piramide računamo prema formuli $V = \frac{1}{3} B h,$ pa uvrštavanjem dobivamo $V = \frac{1}{3} \cdot 24.6 \cdot 3.4 = 27.88 {cm}^{3} .$

Primjer 8.

Izračunajmo površinu baze piramide kojoj je volumen jednak $94.5 {cm}^{3},$ a visina $42 mm .$

Volumen piramide računamo prema formuli $V = \frac{1}{3} B h,$ pa uvrštavanjem dobivamo $94.5 = \frac{1}{3} \cdot B \cdot 4.2,$ odakle je $4.2 \cdot B = 283.5,$ odnosno $B = 67.5 {cm}^{2} .$

Primjer 9.

Izračunajmo visinu piramide kojoj je obujam jednak $4.41 {dm}^{3},$ a površina baze $210 {cm}^{2} .$

Volumen piramide računamo prema formuli $V = \frac{1}{3} B h,$ pa uvrštavanjem dobivamo $4.41 = \frac{1}{3} \cdot 2.1 \cdot h,$ odakle je $2.1 \cdot h = 13.23,$ odnosno $h = 6.3 dm .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Primjenjujući formulu za volumen piramide ( $V = \frac{1}{3} B h$ ), izračunajte i na crtu upišite odgovarajući broj.

Površina je baze piramide $51.6 {cm}^{2}$ , a visina te piramide $7 cm .$ Volumen je te piramide ${cm}^{3} .$

null

null
Površina je baze piramide $37.8 {cm}^{2}$ , a volumen je te piramide $154 980 {mm}^{3}$ . Visina je te piramide $cm .$

null

null
Volumen je neke piramide $711.48 {cm}^{3},$ a duljina je njezine visine $14.7 cm .$ Površina je baze te piramide ${cm}^{2} .$

null

null

Zadatak 6.

Uz pomoć interakcije uvježbajte primjenjivati formulu za volumen (obujam) piramide.

Zatvori

Zanimljivost

Nutricionisti, znanstvenici i liječnici često govore o piramidi zdravih namirnica. Na poveznici je dostupan članak na engleskome jeziku sa savjetima o zdravoj prehrani.

Piramide oko nas

Fotografija prikazuje piramide u Egiptu. — Piramide u Egiptu

Fotografija prikazuje piramide u Nubiji. — Piramide u Sudanu

Fotografija prikazuje piramide u Kambodži. — Piramide u Kambodži

9.2 Oplošje i obujam piramide

Na početku...