Matematika 8 - 6.7 Povezivanje preslikavanja

Na početku...

Upoznali ste translaciju, osnu i centralnu simetriju te rotaciju. Koje od tih preslikavanja prepoznajete na ovoj slici?

Primjer 1.

Promotrimo jednostavniju situaciju i pokušajmo odrediti koje od navedenih preslikavanja povezuje trokute na ovoj slici?

Osna simetrija?

Ne!

Translacija?

Ne!

Centralna simetrija?

Ne!

Provjerite to i u sljedećoj animaciji:

Povezivanje preslikavanja

Na temelju pokušaja (i pogrešaka) slutimo da je riječ o uzastopnoj primjeni dvaju različitih preslikavanja.

Trebamo li zrcaliti lik dobiven translacijom? Ili translatirati lik dobiven zrcaljenjem? Ili zrcaliti lik dobiven centralnom simetrijom? Ili nešto četvrto?

Zanimljivost

Na slici su otisci ljudskih stopala - primjer preslikavanja koje se često naziva klizno zrcaljenje.

Ovo je tipična slika nastala kliznim zrcaljenjem.

Na slici je prikazano klizno zrcaljenje raznostraničnog trokuta.

Preslikavanje ravnine definirano kao uzastopna kombinacija zrcaljenja (osne simetrije) i translacije za vektor paralelan s osi simetrije naziva se klizno zrcaljenje (engl. glide reflection).

Slike prikazuju dva načina izvođenja kliznog zrcaljenja i ukazuju na svojstvo da redoslijed izvođenja osne simetrije i translacije nije važan

Za ovu vrstu preslikavanja nije važno je li lik prvo preslikan osnom simetrijom pa translatiran za vektor paralelan s osi simetrije ili je prvo translatiran za neki vektor, pa onda preslikan osnom simetrijom s obzirom na pravac paralelan vektoru translacije.

Ponovimo

Zanimljivost

Prije rješavanja zadataka u kojima će trebati napraviti dvije uzastopne transformacije, pomoću slikovitih objašnjenja, primjera i interaktivnih zadataka podsjetite se translacije, osne simetrije i rotacije. Svoje prepoznavanje ovih preslikavanja možete provjeriti rješavanjem jednostavne igrice. Svi su ovi materijali na engleskome jeziku.

Zadatak 1.

Za svaki zadatak dobro pogledajte sliku pa ga riješite.

Lik $L$ je

preslikan na lik $L' .$

null

null
Lik $L$ na lik $L'$ preslikan je osnom simetrijom.

Da

Ne

null

null
Lik $L$ preslikan je na lik $L' .$ Koje je preslikavanje korišteno?

translacija

rotacija

centralna simetrija

osna simerija

null

null
Lik $L'$ dobiven je

lika $L .$

null

null

Povežimo preslikavanja

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Koristeći interakciju, istražite povezana preslikavanja. Redoslijed preslikavanja odabirete i mijenjate sami!

Zadatak 3.

Na slici je šesterokut nacrtan u mreži kvadtatića i dva vektora čije su rubne točke u čvorovima mreže.

Lik nacrtan u mreži kvadratića translatirajte za vektor $\vec{a},$ a zatim dobivenu sliku translatirajte za vektor $\vec{b} .$

Na slici je šesterokut nacrtan u mreži kvadtatića i dva vektora čije su rubne točke u čvorovima mreže. Šesterokut je translatiran prvo za jedan, a onda je njegova slika translatirana za drugi zadani vektor.

Zadatak 4.

Slika prikazuje traženje mogućnosti zamjene dviju translacija drugim, nepoznatim preslikavanjem.

Postoji li preslikavanje kojim se iz prvoga lika izravno dobiva treći?

Slika otkriva da je "zamjensko preslikavanje" translacija za zbroj zadanih vektora.

Postoji izravno preslikavanje - to je translacija za zbroj $\vec{a} + \vec{b}$ zadanih vektora.

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Na slici je četverokut nacrtan u mreži kvadratića, istaknuta je točka S i vektor c. Nacrtani četverokut treba preslikati kompozicijom centralne simetrije i translacije.

Zadani lik preslikajte centralnom simetrijom s obzirom na točku $S$ kao centar simetrije, a zatim dobivenu sliku translatirajte za zadani vektor $\vec{a} .$

Na slici je četverokut nacrtan u mreži kvadratića, istaknuta je točka S i vektor a. Četverokut je preslikan kompozicijom centralne simetrije i translacije.

Zadatak 6.

Na slici je četverokut nacrtan u mreži kvadratića, istaknuta je točka S i vektor c. Nacrtani četverokut preslikan je kompozicijom centralne simetrije i translacije. Traži se "zamjensko preslikavanje".

Postoji li izravno preslikavanje koje preslikava prvi lik u treći? Ako postoji, o kojem je preslikavanju riječ?

Na slici je prikazano kako je kompozicija centralne simetrije i translacije zamijenjena jednim preslikavanjem - centralnom simetrijom oko točke dobivene translacijom za polovinu zadanog vektora.

Budući da se pravci određeni vrhom lika i njegovom slikom nakon oba preslikavanja sijeku u istoj točki $S'$ , treći se lik iz prvoga može dobiti centralnom simetrijom oko točke $S' .$

Točka $S'$ dobivena je translacijom točke $S$ za vektor $\frac{1}{2} \vec{a} .$

Zadatak 7.

Na slici je četverokut nacrtan u mreži kvadratića, istaknuta je točka S i vektor c. Nacrtati četverokut treba preslikati kompozicijom translacije i centralne simetrije.

Provjerite kako na kompoziciju centralne simetrije i translacije djeluje zamjena redoslijeda preslikavanja. Zadani lik prvo translatirajte za vektor $\vec{a},$ a zatim dobivenu sliku preslikajte centralnom simetrijom s obzirom na točku $S$ kao centar simetrije.

Dobiveno se rješenje razlikuje, dakle mora se paziti na redoslijed kojim preslikavanja treba obaviti.

Zatvori

Dvije osne simetrije

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadana su dva međusobno okomita pravca $a$ i $b$ . Odredite osnosimetričnu sliku $A' B' C'$ trokuta $A B C$ s obzirom na os $a,$ a zatim osnosimetričnu sliku $A'' B'' C''$ trokuta $A' B' C'$ s obzirom na os $b .$

Na slici je trokut i dva međusobno okomita pravca. Potrebno je napraviti uzastopne osne simetrije s obzirom na dvije okomite osi.

Na slici je trokut i dva međusobno okomita pravca. Trokut je preslikan s dvije uzastopne osne simetrije s obzirom na dvije okomite osi.

Zadatak 9.

Zadana su dva međusobno paralelna pravca $a$ i $b$ . Odredi osnosimetričnu sliku $A' B' C'$ trokuta $A B C$ s obzirom na os $a,$ a zatim osnosimetričnu sliku $A'' B'' C''$ trokuta $A' B' C'$ s obzirom na os $b$ .

Na slici je trokut i dva međusobno usporedna pravca. Potrebno je napraviti uzastopne osne simetrije s obzirom na dvije usporedne osi.

Na slici je trokut i dva međusobno usporedna pravca. Trokut je preslikan s dvije uzastopne osne simetrije s obzirom na dvije usporedne osi.

Zadatak 10.

Zadani su ukršteni pravci $a$ i $b$ (koji nisu okomiti). Odredi osnosimetričnu sliku $A' B' C'$ trokuta $A B C$ s obzirom na os $a$ , a zatim osnosimetričnu sliku $A'' B'' C''$ trokuta $A' B' C'$ s obzirom na os $b$ .

Na slici je trokut i dva ukrštena ali ne međusobno okomita pravca. Potrebno je napraviti uzastopne osne simetrije s obzirom na te osi.

Na slici je trokut i dva ukrštena ali ne međusobno okomita pravca. Trokut je preslikan uzastopnim osnim simetrijama s obzirom na te osi.

Zadatak 11.

U interakciji odaberite kao preslikavanja dvije osne simetrije. Namjestite položaj pravaca, za svaku od gore opisanih situacija (međusobnih položaja dviju osi simetrije) provjerite postoji li neko preslikavanje koje izravno preslikava trokut $A B C$ na trokut $A'' B'' C''$ .

Ako postoji, o kojem je preslikavanju riječ?

Zatvori

Dvije uzastopne osne simetrije s obzirom na međusobno okomite osi možemo zamijeniti rotacijom za kut od $180$ stupnjeva (centralnom simetrijom).

Dvije uzastopne osne simetrije s obzirom na međusobno paralelne osi možemo zamijeniti translacijom za vektor koji je okomit na osi, a duljina vektora dvostruko je veća od udaljenosti između paralelnih pravaca.

Dvije uzastopne osne simetrije s obzirom na međusobno ukrštene osi (koje nisu okomite) možemo zamijeniti rotacijom za kut koji je dvostruko veći od kuta između tih pravaca.

Kutak za znatiželjne

Koristeći interakciju odaberite neka (bilo koja) dva od ponuđenih preslikavanja. Istražite razna složena preslikavanja i otkrijte njihova svojstva.

Zadatak 12.

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

uzastopno preslikavati zadane likove

pronaći najkraći postupak preslikavanja između dvaju nacrtanih objekata

riješiti problemski zadatak primjenom preslikavanja.

Za kraj, možete riješiti još nekoliko zadatka.

Zanimljivost

Ako želite, možete odigrati igru u kojoj vježbate kompoziciju osne simetrije i rotacije (na engleskome jeziku) ili igricu u kojoj morate odabrati odgovarajuću os simetrije.

Zadatak 14.

Lik $A$ preslikan je na lik $B,$ a lik $B$ na lik $C .$ Koja su moguća preslikavanja i kojim su redom korištena?

Dva puta osna simetrija.

Osna pa centralna simetrija.

Rotacija pa translacija.

Rotacija pa osna simetrija.

null

null
Lik $A$ preslikan je osnom simetrijom na lik $B,$ a lik $B$ rotacijom na lik $C .$ Koje još preslikavanje ili kompozicija preslikavanja preslikavaju lik $A$ na lik $C ?$

translacija

osna simetrija

centralna simetrija

redom kompozicija osne simetrije i translacije

redom kompozicija translacije i osne simetrije

null

null

6.7 Povezivanje preslikavanja

Na početku...

Zanimljivost

Ponovimo

Zanimljivost

Zadatak 1.

Povežimo preslikavanja

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Dvije osne simetrije

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 12.

Prepoznajte kombinaciju preslikavanja

Zadatak 13.

...i na kraju

Zanimljivost

Zadatak 14.