Matematika 8 - 9.4 Pravilna šesterostrana piramida

Oplošje pravilne šesterostrane piramide

Slika prikazuje piramidu, njezinu mrežu te te formule za površinu strana pravilne šesterostrane piramide.

Baza je pravilne šesterostrane piramide pravilni šesterokut sa stranicom duljine $a,$ pa je površina baze jednaka $B = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Pobočke pravilne šesterostrane piramide sukladni su jednakokračni trokuti s osnovicama duljine $a$ i visinom na osnovicu duljine $v,$ pa je površina svakoga od njih jednaka $p_{1} = \frac{1}{2} a .$

Površina pobočja pravilne šesterostrane piramide jednaka je $P = 6 \cdot p_{1} = 6 \cdot \frac{1}{2} a v,$ tj. $P = 3 a v .$

Oplošje pravilne šesterostrane piramide (kao i svake uspravne piramide) računa se prema formuli $O = B + P .$

Primjer 3.

Opseg je baze pravilne šesterostrane piramide $24 cm,$ a duljina je visine pobočke te piramide $11 cm .$

Koliko je oplošje te piramide?

Slika prikazuje pravilnu šesterostranu piramidu, njezinu bazu te pobočku.

Baza je te piramide pravilni šesterokut pa je njegov opseg šest puta dulji od stranice. Dakle, duljina je osnovnog brida te piramide $a = o : 6 = 24 : 6,$ tj. $a = 4 cm .$

Površina baze tada se računa kao $B = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4},$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $B = 6 \cdot \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4}$ tj. $B = 24 \sqrt{3} \approx 41.57 {cm}^{2} .$

Površina pobočja računa se kao $P = 3 a v$ i jednaka je $P = 3 \cdot 4 \cdot 11 = 132 {cm}^{2} .$

Tada je oplošje piramide jednako $O = B + P .$

Uvrštavanjem dobivamo da je $O = (24 \sqrt{3} + 132) {cm}^{2},$ tj. približno $173.57 {cm}^{2} .$

Zadatak 1.

Duljina je osnovnoga brida pravilne šesterostrane piramide $10 cm,$ a duljina je bočnoga brida $13 cm .$ Koliko je oplošje ove piramide?

Baza je pravilne šesterostrane piramide pravilni šesterokut sa stranicom duljine $a$ , pa je površina baze jednaka $B = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Uvrštavanjem dobivamo da je $B = 6 \cdot \frac{10^{2} \sqrt{3}}{4} = 150 \sqrt{3} {cm}^{2}$ $,$ što je približno $259.81 {cm}^{2} .$

Primjenom Pitagorina poučka na polovinu jednakokračnog trokuta (pobočke), uz oznake kao na slici, dobivamo $v^{2} = b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} .$ Uvrštavanjem zadanih podataka dobivamo da je $v = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144},$ tj. $v = 12 cm .$

Površinu pobočja računamo kao $P = 3 a v,$ pa nakon uvrštavanja dobivamo da je ta površina $P = 3 \cdot 10 \cdot 12 = 360 {cm}^{2} .$

Oplošje je te piramide $O = (150 \sqrt{3} + 360) {cm}^{2},$ što je približno $619.81 {cm}^{2} .$

Obujam (volumen) pravilne šesterostrane piramide

Slika prikazuje pravilnu šesterostranu prizmu i piramidu sukladnih baza i jednakih visina.

Volumen pravilne šesterostrane piramide računamo (kao i volumen svake uspravne piramide) kao trećinu umnoška površine baze i duljine visine, tj. prema formuli $V = \frac{1}{3} B h .$

Primjer 4.

Duljina je osnovnog brida pravilne šesterostrane piramide $6 cm,$ a duljina njezine visine $7.5 cm .$ Koliki je volumen ove piramide?

Površina baze računa se kao $B = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4},$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $B = 6 \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = 54 \sqrt{3} {cm}^{2},$ što je približno $93.53 {cm}^{2} .$

Uvrštavanjem odgovarajućih podataka u izraz za volumen piramide $V = \frac{1}{3} B h$ dobivamo da je $V = \frac{1}{3} \cdot 54 \sqrt{3} \cdot 7.5 = 135 \sqrt{3} {cm}^{3},$ što je približno $233.83 {cm}^{3} .$

Kutak za znatiželjne

Presjeci pravilne šesterostrane piramide

Pravilnu šesterostranu piramidu možemo presjeći ravninom koja prolazi njezinim vrhom i dvama nasuprotnim vrhovima baze. Dobiveni će presjek biti jednakokračni trokut s osnovicom duljine $2 a$ i krakovima duljine $b$ . Visina na osnovicu tog trokuta je i visina promatrane piramide.

Takav presjek sadrži najdulju dijagonalu baze pa ga zovemo (najveći) dijagonalni presjek pravilne šesterostrane piramide.

Sljedeća interakcija prikazuje presjek pravilne šesterostrane piramide ravninom koja prolazi njezinim vrhom i dvama nasuprotnim vrhovima baze. Rotirajte piramidu kako biste bolje uočili nastali presjek. Interakcija će vam pomoći u rješavanju zadataka koji slijede.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Duljina je osnovnog brida pravilne šesterostrane piramide $12 cm .$ Ta je piramida presječena ravninom koja prolazi njezinim vrhom i dvama nasuprotnim vrhovima baze. Površina je dobivenog presjeka $600 {cm}^{2} .$ Koliki je volumen te piramide?

Površina presjeka pravilne šesterostrane piramide koji prolazi vrhovima piramide i dvama nasuprotnim vrhovima baze računa se prema formuli $p = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot h,$ tj. $p = a h .$ Iz toga slijedi da je $12 h = 600$ i $h = 50 cm .$

Površina baze piramide iznosi $B = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} = 216 \sqrt{3} {cm}^{2},$ a obujam $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \cdot 216 \sqrt{3} \cdot 50 = 3 600 \sqrt{3} {cm}^{3} .$

Zadatak 6.

Najveći je dijagonalni presjek pravilne šesterostrane piramide jednakostraničan trokut čija je površina jednaka $144 \sqrt{3} {cm}^{2} .$ Izračunajte volumen te piramide.

Slika prikazuje najveći dijagonalni presjek pravilne šesterostrane piramide pri čemu je presjek jednakostraničan trokut

Formula za površinu najvećeg dijagonalnog presjeka pravilne piramide u obliku jednakostraničnog trokuta je $p_{d p} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Iz toga slijedi da je $144 \sqrt{3} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4},$ a zatim $4 a^{2} = 576$ i $a = 12 cm .$

Visina te piramide jednaka je visini jednakostraničnog trokuta presjeka te piramide, tj. $h = \frac{(2 a) \sqrt{3}}{2} .$ Stoga je $h = \frac{24 \sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} cm .$

Volumen pravilne šesterostrane piramide računa se prema formuli $V = \frac{1}{3} B h,$ tj. $V = \frac{1}{3} \cdot 216 \sqrt{3} \cdot 12 \sqrt{3} = 2 592 {cm}^{3}$

Zatvori

Pravilnu šesterostranu piramidu možemo presjeći ravninom koja prolazi njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze. Dobiveni će presjek biti jednakokračni trokut s osnovicom duljine $2 v_{a}$ i krakovima duljine $v .$ Visina na osnovicu tog trokuta je i visina promatrane piramide.

Sljedeća interakcija prikazuje presjek pravilne šesterostrane piramide ravninom koja prolazi njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze. Rotirajte piramidu kako biste bolje uočili nastali presjek. Interakcija će vam pomoći u rješavanju zadatka koji slijedi.

Zadatak 7.

Površina je pobočja pravilne šesterostrane piramide $30 \sqrt{3} {cm}^{2},$ a duljina visine njezine pobočke $5 cm .$ Ta je piramida presječena ravninom koja je određena njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze. Kolika je površina tog presjeka?

Slika prikazuje presjek pravilne šesterostrane piramide ravninom koja prolazi njezinim vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze

Formula za pobočje pravilne šesterostrane prizme je $P = 3 a v .$

Iz toga slijedi $30 \sqrt{3} = 3 \cdot a \cdot 5$ i $a = 2 \sqrt{3} cm .$

Visina karakterističnog trokuta baze iznosi $v_{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 cm .$

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji povezuje visinu pobočke, visinu piramide i visinu karakterističnog trokuta baze, dobivamo $h = \sqrt{v^{2} - {v_{a}}^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 cm.$

Površina dijagonalnog presjeka iznosi $p_{d p} = \frac{1}{2} h (2 v_{a}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (2 \cdot 3) = 12 {cm}^{2} .$

Primijenite naučeno

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Slika prikazuje čašu oblika pravilne šesterostrane piramide.

Čaša za sladoled ima oblik pravilne šesterostrane piramide. Duljina je osnovnog brida čaše 6 cm, a duljina bočnog brida 10 cm. Koliki je volumen čaše?

Slika prikazuje presjek pravilne šesterostrane piramide ravninom koja prolazi njezinim vrhom i dvama nasuprotnim vrhovima baze.

Visina je te piramide $h^{2} = \sqrt{v^{2} - a^{2}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 cm .$

Baza piramide iznosi $B = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = 54 \sqrt{3} {cm}^{2}$ te je volumen $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \cdot 54 \sqrt{3} \cdot 8 = 144 \sqrt{3} {cm}^{3},$ što je približno $249.42 {cm}^{3} .$

Zadatak 9.

Slika prikazuje sjenilo svjetiljke oblika pravilne šesterostrane piramide.

Sjenilo svjetiljke ima oblik pravilne šesterostrane piramide s osnovnim bridom duljine $20 cm$ i bočnim bridom duljine $26 cm .$ Kolika je površina materijala potrebna za njegovu izradu?

Površina materijala jednaka je površini pobočja.

Primjenom Pitagorina poučka na polovicu trokuta pobočke dobivamo $v = \sqrt{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{26^{2} - 10^{2}} = 24 cm .$

Površina pobočja jednaka je $P = 3 a v = 3 \cdot 20 \cdot 24 = 1 440 {cm}^{2} .$

Zatvori

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

opisati pravilnu šesterostranu piramidu
nacrtati pravilnu šesterostranu piramidu i njezinu mrežu
primijeniti izraze za oplošje i obujam (volumen) pravilne šesterostrane uspravne piramide
riješiti problemski zadatak koristeći mjerljiva obilježja pravilne uspravne šesterostrane piramide.

Za kraj, riješite sljedeći zadatak:

Zadatak 10.

Slika prikazuje šesterokutnu kulu s krovom oblika pravilne šesterostrane piramide.

Krov je kule u obliku pravilne šesterostrane piramide. Pobočke su te piramide jednakokračni trokuti, pri čemu je duljina osnovice svakoga od tih trokuta jednaka $250 cm,$ dok je duljina njihovih krakova $400 cm .$ Kolika je površina krova?

Primjenom Pitagorina poučka na polovinu jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine $250 cm$ i krakovima duljine $400 cm$ dobivamo da je duljina visine jednakokračnog trokuta (pobočke piramide) jednaka $v = \sqrt{400^{2} - 125^{2}} = \sqrt{160 000 - 15 625} = \sqrt{144 375},$ tj. $v \approx 380 cm .$

Površina svakog od tih trokuta jednaka je približno $p_{1} \approx \frac{1}{2} \cdot 250 \cdot 380 = 47 500 {cm}^{2}$ pa je površina cijelog krova približno $P = 6 p_{1} \approx 6 \cdot 47 500 = 285 000 {cm}^{2} = 2.85 m^{2} .$

9.4 Pravilna šesterostrana piramida

Na početku...

U mreži pravilne šesterostrane piramide