Matematika 8 - 10.2 Stožac

Na početku...

Slika prikazuje papirnate kape oblika (plašta) stošca.

Ivan s majkom priprema proslavu svog rođendana i želi da njegovi prijatelji kući ponesu šeširić od šarenog papira. Odlučio je da neće kupiti gotove šeširiće nego će ih napraviti sam. Kakva su oblika šeširići koje je htio napraviti? Možete li i sami napraviti takav šeširić?

Zanimljivost

Prije izrade šeširića pogledajte videoisječak!

Ivan je želio napraviti šeširić oblika stošca.

Zadatak 1.

Ivan je izmjerio opseg svoje glave i na papiru konstruirao jednakokračni trokut kojemu je duljina osnovice jednaka opsegu njegove glave. Izrezao je papir, svinuo ga, spojio krakove i – ostao razočaran! Zašto?

Slika prikazuje neuspjelu kapu napravljenu od jednakokračnog trokuta.

Slika prikazuje neuspjelu kapu napravljenu od jednakokračnog trokuta, drugi pogled.

Kad je Ivan svinuo izrezani jednakokračni trokut i spojio krakove, donji rub njegova šeširića nije izgledao kao onaj na kupovnim šeširićima. Morat će malo doraditi svoj model i „zaobliti“ njegov donji rub!

Zanimljivost

Na poveznici pogledajte zanimljiv videoisječak o izradi (plašta) različitih stožaca pri čemu se plašt uvijek izrezuje iz krugova jednakih polumjera, no razlikuju se središnji kutovi kružnih isječaka koji određuju plašt.

Stožac

Stožac je oblo geometrijsko tijelo omeđeno jednim krugom koji nazivamo bazom ili osnovkom stošca te dijelom zakrivljene plohe koju nazivamo plaštem stošca.

Os stošca je pravac koji prolazi njegovim vrhom i središtem baze.

Stožac je uspravan ako je njegova os okomita na ravninu baze.

Ako os stošca nije okomita na njegovu bazu, taj je stožac kos. Mi ćemo proučavati samo uspravne stošce.

Zanimljivost

Slika prikazuje djevojčicu koja u rukama drži stožac sa slatkišima.

Slatki „školski stožac“

Tradicija „školskog stošca“ datira još iz ranog 19. stoljeća. Pojavila se u Njemačkoj, no brzo je svoju popularnost doživjela i preko njezinih granica. „Schultüte“, u kojem su se nalazili slatkiši, prvoga se dana nastave darivao „prvašićima“ kako bi se taj dan učinio „slađim“ i manje stresnim.

U početku se slatki stožac djeci nije davao izravno, već bi djedovi i bake ili kumovi donosili lijepo zapakirane stošce s imenima prvašića u školu i postavljali ih na posebno metalno „stablo“ („Schultüten-Baum“) s kojega je svako dijete „ubralo“ svoj slatki stožac. Priča koja se vezuje uz tu tradiciju kaže da u svakoj školi raste stablo sa slatkim školskim stošcima, a kad su plodovi „zreli i dovoljno veliki“ – vrijeme je da se prvi put krene u školu.

Danas se u slatkim „školskim stošcima“ širom svijeta osim slatkiša mogu pronaći i školski pribor, male igračke pa čak i knjige i odjeća. Sve to čini prvi dan nastave zabavnijim.

Stošci oko nas!

Slika prikazuje bambus u ukrasnim posudicama.

Slika prikazuje crkveni toranj. — Katedrala u gradu Maringa, Brazil

Slika prikazuje skulpturu u obliku stošca. — Cone Art-Christchurch Chalice, Christchurch, Novi Zeland

Osnovni pojmovi

Izvodnica stošca je dužina koja pripada plaštu stošca i spaja vrh stošca s nekom točkom na rubu baze. Sve su izvodnice uspravnog stošca jednakih duljina $(s) .$

Visina uspravnog stošca je udaljenost njegova vrha od ravnine baze, tj. od središta baze. Duljinu visine stošca označavamo s $h$ .

Na slici desno istaknuta je os $V S$ te izvodnice $\bar{V A},$ $\bar{V B},$ $\bar{V C},$ $\bar{V D},$ $\bar{V E},$ $\bar{V F}$ i $\bar{V G} .$

Slika prikazuje pravokutni trokut čija je duljina jedne katete jednaka radijusu stošca, duljina druge katete jednaka visini stošca, a duljina hipotenuze jednaka duljini izvodnice stošca.

Uočite na slici pravokutni trokut $A S V .$ Njegove su katete visina $\bar{V S},$ $|V S| = h$ i polumjer baze $\bar{S A},$ $|S A| = r$ dok je njegova hipotenuza izvodnica $\bar{V A},$ $|V A| = s .$

Uz oznake kao na slici, primjenom Pitagorina poučka dobivamo da vrijedi $s^{2} = h^{2} + r^{2} .$

Dakle, ako su zadana bilo koja dva od tih triju podataka, nije teško izračunati treći podatak!

Primjer 1.

Duljina je polumjera baze stošca $2.4 dm,$ a njegova visina $7 cm .$ Kolika je duljina izvodnice tog stošca?

Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo $s^{2} = r^{2} + h^{2} .$

Uvrštavanjem dobivamo $s^{2} = 24^{2} + 7^{2} = 576 + 49 = 625,$ odakle slijedi da je $s = \sqrt{625} = 25 cm .$

Primjer 2.

Visina je uspravnog stošca $4.5 dm,$ a duljina njegove izvodnice $53 cm .$ Koliki je polumjer baze tog stošca?

Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo $s^{2} = r^{2} + h^{2} .$

Uvrštavanjem dobivamo $r^{2} = 53^{2} - 45^{2} = 2 809 - 2 025 = 784,$ odakle slijedi da je $r = \sqrt{784} = 28 cm .$

Osni presjek stošca je jednakokračni trokut koji nastaje kad se stožac presiječe ravninom koja sadrži os stošca i promjer njegove baze.

Njegova je površina jednaka umnošku duljine polumjera baze i duljine visine stošca, tj. $p = r h .$

Ako je osni presjek stošca jednakostranični trokut $($ tj. ako je $s = 2 r),$ onda kažemo da je taj stožac jednakostranični stožac.

Primjer 3.

Duljina je promjera baze stošca $9 cm,$ a duljina je njegove izvodnice $7.5 cm .$ Kolika je površina osnog presjeka tog stošca?

Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo $s^{2} = r^{2} + h^{2} .$

Uvrštavanjem dobivamo $h^{2} = {7.5}^{2} - {4.5}^{2} = 56.25 - 20.25 = 36,$ odakle slijedi da je $h = \sqrt{36} = 6 cm .$

Površina se osnog presjeka računa kao $p = \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot h = r h$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $p = 4.5 \cdot 6 = 27 {cm}^{2} .$

Primjer 4.

Uspravni stožac presječen je ravninom koja prolazi vrhom i promjerom baze. Površina je nastalog presjeka $p = 420 {cm}^{2},$ a duljina je polumjera baze $21 cm .$ Kolika je visina tog stošca?

Površina se osnog presjeka računa kao $p = \frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot h = r h$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $420 = 21 \cdot h,$ odakle je $h = 20 cm .$

Zadatak 2.

Koristeći se vezom duljine polumjera baze, izvodnice i visine stošca, riješite zadatke.

Mreža stošca

Razrežemo li stožac duž jedne izvodnice i ruba baze pa dobiveno razvijemo u ravninu, dobit ćemo mrežu stošca.

Mreža stošca sastoji se od baze – kruga s polumjerom $r$ i plašta – kružnog isječka s polumjerom $s,$ pri čemu je duljina kružnog luka tog isječka jednaka opsegu baze.

Zadatak 3.

Dobro pogledajte slike i procijenite na kojoj je duljina kružnog luka plašta stošca jednaka opsegu njegove baze.

Koja od slika prikazuje mrežu uspravnog stošca?

null

Oplošje stošca

Označimo li s $B$ površinu baze stošca (površinu kruga polumjera $r$ ), nju ćemo računati prema formuli $B = r^{2} π .$

Površinu plašta označavamo s $P$ (plašt je kružni isječak polumjera s kojemu je duljina pripadnog luka jednaka opsegu baze, tj. $l = 2 r π$ ).

Zanimljivost

Izvod formule za površinu plašta te za oplošje stošca možete (na engleskom jeziku) pogledati npr. na ovoj poveznici.

Kutak za znatiželjne

Duljina kružnog luka i površina kružnog isječka s polumjerom duljine $s$ proporcionalne su veličini središnjeg kuta $α,$ tj. vrijedi

$l_{α} = \frac{α}{360 °} \cdot 2 s π = \frac{s π α}{180 °}$ i
$p_{α} = \frac{α}{360 °} \cdot s^{2} π = \frac{s^{2} π α}{360 °} = \frac{s}{2} \cdot \frac{s π α}{180 °} .$

Uvrštavanjem izraza za duljinu kružnog luka u izraz za površinu kružnog isječka (uz uvažavanje činjenice da mora biti $l = 2 r π$ ) dobit ćemo da vrijedi

$p_{α} = \frac{s}{2} \cdot l_{α} = \frac{s}{2} \cdot 2 r π = s \cdot r π .$

Površinu plašta uspravnoga kružnog stošca računamo prema formuli $P = r s π .$

Oplošje stošca izračunat ćemo prema formuli $O = B + P,$ pri čemu je s $B$ označena površina baze, a s $P$ površina plašta stošca.

Primjer 5.

Izračunajmo oplošje uspravnog stošca ako je duljina polumjera njegove baze $r = 8 cm,$ a duljina izvodnice $s = 11 cm .$

Površina se baze tog stošca računa prema formuli $B = r^{2} π$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $B = 64 π {cm}^{2}$ (što je približno $200.96 {cm}^{2}$ ).

Površina se plašta tog stošca računa prema formuli $P = r s π$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $P = 8 \cdot 11 \cdot π = 88 π {cm}^{2}$ (što je približno $276.32 {cm}^{2}$ ).

Oplošje stošca računamo kao $O = B + P$ pa uvrštavanjem dobivamo $O = 64 π + 88 π = 152 π {cm}^{2},$ što je približno $477.28 {cm}^{2} .$

Primjer 6.

Opseg je baze stošca $12 π cm,$ a duljina je njegove visine $45 mm .$ Koliko je oplošje tog stošca?

Opseg baze stošca (opseg kruga) računamo kao $o = 2 r π$ pa na temelju zadanog podatka uvrštavanjem dobivamo da je polumjer baze $r = 6 cm .$

Površina se baze tog stošca računa prema formuli $B = r^{2} π$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $B = 36 π {cm}^{2}$ (što je približno $113.04 {cm}^{2}$ ).

Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo $s^{2} = r^{2} + h^{2} .$ Uvrštavanjem dobivamo $s^{2} = 6^{2} + {4.5}^{2} = 36 + 20.25 = 56.25,$ odakle slijedi da je $s = \sqrt{56.25} = 7.5 cm .$

Površina se plašta tog stošca računa prema formuli $P = r s π$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $P = 6 \cdot 7.5 \cdot π = 45 π {cm}^{2}$ (što je približno $141.3 {cm}^{2}$ ).

Oplošje stošca računamo kao $O = B + P$ pa uvrštavanjem dobivamo $O = 36 π + 45 π = 81 π {cm}^{2},$ što je približno $254.34 {cm}^{2} .$

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Plašt stošca razvijen u ravninu kružni je isječak kojemu pripada središnji kut veličine $120 ° .$ Površina je tog isječka $12 π {cm}^{2} .$ Koliko je oplošje tog stošca?

Slika prikazuje plašt stošca sa središnjim kutom veličine 120 stupnjeva.

Površina kružnog isječka na slici jednaka je trećini polumjera kruga, a duljina kružnog luka tog kružnog isječka jednaka je trećini duljine kružnice polumjera $s .$ Prema uvjetima zadatka zaključujemo da je $\frac{1}{3} s^{2} π = 12 π$ , što znači da je $s^{2} = 36,$ tj. $s = 6 cm .$

Tada je duljina kružnog luka jednaka $l = \frac{1}{3} \cdot 2 s π$ pa uvrštavanjem dobivamo $l = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 6 π = 4 π cm .$ Ta je duljina luka jednaka opsegu baze što znači da vrijedi $2 r π = 4 π .$ Odatle zaključujemo da je $r = 2 cm$ pa je površina baze $B = r^{2} π,$ tj. $B = 4 π {cm}^{2} .$

Konačno, oplošje je tog stošca $O = B + P = 4 π + 12 π = 16 π {cm}^{2} .$

Zadatak 5.

Plašt stošca razvijen u ravninu kružni je isječak polumjera $12.5 cm$ kojemu pripada središnji kut veličine $288 ° .$ Koliko je oplošje tog stošca?

Slika prikazuje plašt stošca sa središnjim kutom veličine 288 stupnjeva.

Površina je kružnog isječka sa središnjim kutom veličine $288 °$ jednaka $P = \frac{288}{360} \cdot s^{2} π,$ tj. $p = \frac{4}{5} \cdot s^{2} π .$ Budući da je $s = 12.5 cm,$ uvrštavanjem dobivamo da je $P = \frac{4}{5} \cdot {12.5}^{2} π = 125 π {cm}^{2} .$

Duljina je kružnog luka jednaka $l = \frac{4}{5} \cdot 2 s π$ pa uvrštavanjem dobivamo $l = \frac{4}{5} \cdot 2 \cdot 12.5 π = 20 π cm .$ Ta je duljina luka jednaka opsegu baze što znači da vrijedi $2 r π = 20 π .$ Odatle zaključujemo da je $r = 10 cm$ pa je površina baze $B = r^{2} π,$ tj. $B = 100 π {cm}^{2} .$

Konačno, oplošje je tog stošca $O = B + P = 100 π + 125 π = 225 π {cm}^{2} .$

Zatvori

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

opisati osnovne elemente i dijelove stošca te njihove odnose i svojstva
nacrtati stožac i njegovu mrežu
primijeniti izraze za oplošje i obujam (volumen) pravilnoga uspravnog stošca
riješiti problemski zadatak koristeći se mjerljivim obilježjima pravilnoga uspravnog stošca.

Za kraj možete riješiti sljedeći zadatak:

Bliži se kraj školske godine i „osmaši“ pripremaju razrednu proslavu. Petar i Andreja trebaju izraditi kape od papira. Petar je izrezao polukrugove promjera $28 cm,$ $30 cm$ i $32 cm,$ a Andreja je spajala rubove izrezanih polukrugova (kao na slici). Spajanjem rubova dobila je plašt uspravnog stošca. Koliki je opseg donjeg ruba (otvora) kape za te kape? Hoće li kape biti dovoljno velike? Premalene ili prevelike?

Opseg donjeg ruba kape jednak je duljini kružnog luka (polukružnice) polumjera $s$ .

Ako je $s = 14 cm,$ opseg je donjeg ruba kape približno $44 cm .$

Ako je $s = 15 cm$ , opseg je donjeg ruba kape približno $47.1 cm$ .

Ako je $s = 16 cm$ , opseg je donjeg ruba kape približno $50.2 cm$ .

Izmjerite opseg svoje glave i provjerite bi li neka od napravljenih kapa bila dovoljno velika!

$\bar{V B}$	polumjer baze
$\bar{V S}$	visina
$\bar{C D}$	promjer baze
$\bar{S E}$	izvodnica

10.2 Stožac

Na početku...

Zanimljivost

Zadatak 1.

Zanimljivost

Stožac

Zanimljivost

Stošci oko nas!

Osnovni pojmovi

Zadatak 2.

Mreža stošca

Zadatak 3.

Oplošje stošca

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Volumen (obujam) stošca

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

10.3 Kugla i sfera