Matematika 8 - 1.1 Kvadriranje racionalnih brojeva

Razred	Duljina stranice cvjetnjaka
Prvi razred	$1$ metar
Drugi razred	$2$ metra
Treći razred	$3$ metra
Četvrti razred	$4$ metra
Peti razred	$5$ metara
Šesti razred	$6$ metara
Sedmi razred	$7$ metara
Osmi razred	$8$ metara

Kvadrati prirodnih brojeva

Brojevi $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 i 64$ kvadrati su prirodnih brojeva $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 .$

$1 = 1 \cdot 1 = 1^{2}$

$4 = 2 \cdot 2 = 2^{2}$

$9 = 3 \cdot 3 = 3^{2}$

$16 = 4 \cdot 4 = 4^{2}$

$25 = 5 \cdot 5 = 5^{2}$

$36 = 6 \cdot 6 = 6^{2}$

$49 = 7 \cdot 7 = 7^{2}$

$64 = 8 \cdot 8 = 8^{2}$

Kvadrat prirodnog broja jednak je umnošku tog broja sa samim sobom.

$a \cdot a = a^{2}, a \in N$

U tablici su dani kvadrati prirodnih brojeva od $1$ do $20 .$

Kvadrirati broj znači pomnožiti taj broj sa samim sobom.

Zadatak 2.

Kojem skupu brojeva pripada kvadrat prirodnog broja?

Kvadrat prirodnog broja pripada skupu prirodnih brojeva.

Kvadrat prirodnog broja je prirodan broj.

Kvadrat broja nula jednak je nuli.

$0^{2} = 0$

Primjer 1.

Usporedimo kvadrate prirodnih brojeva.

$3^{2}$ i $4^{2}$

$8^{2}$ i $5^{2}$

$6^{2}$ i $10^{2}$

$15^{2}$ i $13^{2}$

$3^{2} < 4^{2}$ jer je $9 < 16$

$8^{2} > 5^{2}$ jer je $64 > 25$

$6^{2} < 10^{2}$ jer je $36 < 100$

$15^{2} > 13^{2}$ jer je $225 > 169$

Veći od dvaju prirodnih brojeva ima i veći kvadrat.

$a < b \Leftrightarrow a^{2} < b^{2}, a, b \in N$

Kvadrati prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva (zapis razlomkom i decimalnim).

Naučimo kvadrirati racionalne brojeve.

Kvadrat racionalnog broja jednak je umnošku tog broja sa samim sobom.

$a \cdot a = a^{2}, a \in Q$

Kvadrat racionalnog broja uvijek je veći ili jednak nuli.

$a \cdot a = a^{2} \geq 0, a \in Q$

Zadatak 3.

Zadan je umnožak racionalnog broja sa samim sobom. Zapišite ga u obliku kvadrata racionalnog broja i izračunajte ga.

Dovucite umnožak racionalnog broja sa samim sobom na odgovarajući kvadrat racionalnog broja .

$34 \cdot 34$	$(\frac{7}{8})^{2} = \frac{49}{64}$
$0.9 \cdot 0.9$	$34^{2} = 1 156$
$\frac{7}{8} \cdot \frac{7}{8}$	${0.9}^{2} = 0.81$
$- 19 \cdot (- 19)$	${(\begin{array}{l} - 19 \end{array})}^{2} = 361$

null

Zadatak 4.

Zadan je umnožak racionalnog broja sa samim sobom. Zapišite ga u obliku kvadrata racionalnog broja i izračunajte ga.

Dovucite umnožak racionalnog broja sa samim sobom na odgovarajući kvadrat racionalnog broja.

$11.8 \cdot 11.8$	${11.8}^{2} = 139.24$
$222 \cdot 222$	${(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$
$0.32 \cdot 0.32$	$222^{2} = 49 284$
$- \frac{2}{3} \cdot (- \frac{2}{3})$	${0.32}^{2} = 0.1024$

null

Zatvori

Naučimo kako brže izračunati kvadrat nekoga racionalnog broja.

Kako brže izračunati kvadrate nekih od zadanih brojeva pogledajte u sljedećem videu.

$17$
$1.7$
$0.17$
$0.017$
$170$
$1 700$

Zadatak 13.

Bez pisanog množenja i uporabe džepnog računala izračunajte kvadrate zadanih racionalnih brojeva ako znate da je $25^{2} = 625 .$

$250^{2}$
$2 500^{2}$
${2.5}^{2}$
${0.25}^{2}$

$62 500$
$6 250 000$
$6.25$
$0.0625$

Zadatak 14.

Primijenite mentalno računanje.

Dovucite kvadrate brojeva na njihove vrijednosti.

$130^{2}$	$0.0169$
${0.13}^{2}$	$169$
$13^{2}$	$16 900$
${1.3}^{2}$	$1 690 000$
$1 300^{2}$	$1.69$

null

Zadatak 15.

Uparite iznose površina kvadrata i duljina njihovih stranica.

Dovucite iznose površina kvadrata na duljine njihovih stranica .

$P = 2.25 {cm}^{2}$	$a = 0.4 cm$
$P = 0.64 {cm}^{2}$	$a = 2.25 cm$
$P = 1.5625 {cm}^{2}$	$a = 1.25 cm$
$P = 0.36 {cm}^{2}$	$a = 0.8 cm$
$P = 0.16 {cm}^{2}$	$a = 0.6 cm$
$P = 0.25 {cm}^{2}$	$a = 0.5 cm$

null

Zatvori

Računanje brojevnih izraza u kojima se pojavljuju kvadrati brojeva.

Primjer 10.

Na slici je prikaz tlocrta prvog kata obiteljske kuće. Na katu su dvije spavaće sobe kvadratnog oblika i veliki dnevni boravak pravokutnog oblika.

Kolika je površina prvog kata?

Tlocrt prvog kata kuće koji se sastoji od dvije spavaće sobe kvadratnog oblika i velikog dnevnog boravka pravokutnog oblika.

Površina prvog kata jednaka je zbroju svih površina.

$P = 2 \cdot 4^{2} + 5 \cdot 8$

$P = 2 \cdot 16 + 40$

$P = 32 + 40$

$P = 72$

Površina prvog kata je $72 m^{2} .$

Upamtimo.

U zadatku treba prvo kvadrirati, a zatim množiti.

$3 \cdot 4^{2} =$
$3 \cdot 16 =$
$48$

U zadatku treba prvo kvadrirati, a zatim zbrojiti.

$2 + {2.5}^{2} =$
$2 + 6.25 =$
$8.25$

U zadatku treba prvo kvadrirati, a zatim oduzeti.

$13^{2} - {10.5}^{2} =$
$169 - 110.25 =$
$58.25$

U zadatku treba prvo kvadrirati, a zatim množiti te oduzeti.

$5.5 - 6 \cdot 5^{2} =$
$5.5 - 150 =$
$- 144.5$

U zadatku treba prvo kvadrirati broj $5,$ a minus dopisati.

$- 5^{2} = - 25$

Redoslijed računskih radnji:

Ako u zadatku nema zagrada, prvo treba kvadrirati, zatim množiti ili dijeliti i na kraju zbrajati i oduzimati. Ako u zadatku ima i zagrada, prvo se rješavamo zagrada.

Zadatak 18.

U sljedećoj slagalici otkrijte sliku.

Zadatak 19.

U sljedećem zadatku izračunajte izraz i povežite ga s odgovarajućom vrijednosti.

Dovucite računske izraze na odgovarajuće vrijednosti koje ste prethodno provjerili računanjem.

$85^{2} - (25 + 75^{2})$	$432 964$
$99^{2} - 3 \cdot (234 - 17^{2})$	$3 439$
${(234 - 892)}^{2}$	$9 966$
$(10^{2} - 9^{2}) \cdot (10^{2} + 9^{2})$	$1 575$

null

Zadatak 20.

U sljedećem zadatku izračunajte izraz i povežite ga s odgovarajućom vrijednosti.

Dovucite računske izraze na odgovarajuće vrijednosti koje ste prethodno provjerili računanjem.

$(456 - 457)^{2} - (875 - 874)^{2}$	$900$
${(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2})}^{2}$	$0$
${0.55}^{2} - \frac{12}{5^{2}}$	$- 0.1775$
${(\frac{2}{7})}^{2} \cdot {\frac{7}{8}}^{2} - \frac{7}{8} : {(\frac{7}{8})}^{2}$	$- \frac{9}{14}$

null

Zatvori

Primjena

Primjer 11.

U parku je cvjetnjak koji se sastoji od četiriju manjih sukladnih kvadrata i jednog većeg. Stranica manjeg kvadrata iznosi $2 m,$ a većeg $5.7$ metara. Odredimo površinu tog cvjetnjaka.

Površina jednoga malog kvadrata je $2^{2} = 4 m^{2} .$

Površina velikog kvadrata je ${5.7}^{2} = 32.49 m^{2} .$

Ukupna površina cvjetnjaka jednaka je zbroju površina svih kvadrata

$4 \cdot 2^{2} + {5.7}^{2} =$

$4 \cdot 4 + 32.49 =$

$16 + 32.49 =$

$48.49 m^{2}$

Površina cvjetnjaka je $48.49 m^{2} .$

Zadatak 21.

Kvadrat nad čijim se stranicama s vanjske strane nastavljaju četiri sukladna polukruga

Stolnjak je oblika prikazanog na slici. Duljina stranice istaknutog kvadrata iznosi $0.65 m .$ Izračunaj površinu tog stolnjaka. Izrazi površinu u metrima kvadratnim.

Oblik se sastoji od četiriju sukladnih polukrugova i jednog kvadrata. Dva polukruga tvore krug. Stranica kvadrata jednaka je promjeru tog kruga. Duljina polumjera $r$ tog kruga iznosi $r = 0.65 : 2 = 0.325 .$

Podsjetimo se kako se računa površina kruga, $P = r \cdot r \cdot π,$

tj. $P = r^{2} \cdot π .$

Izraz za površinu stolnjaka je:

$P = 2 \cdot r^{2} \cdot π + (2 \cdot r)^{2}$
$P = 2 \cdot 0.3252 \cdot 3.14 + (2 \cdot 0.325)^{2}$
$P = 105.625 \cdot 3.14 + 0.4225$
$P = 0.3316625 + 0.4225$
$P = 0.7541625$

Površina stolnjaka približno iznosi $0.75 m^{2} .$

Zadatak 22.

Kvadrat u koji su upisana dva sukladna polukruga s unutarnje stranekoji se dodiruju, a promjer im je jednak stranici kadrata

Maja je nacrtala kvadrat kao na slici. U njega je ucrtala i dva sukladna polukruga.

Duljina je stranice kvadrata $38 cm .$

Procijenite površinu obojenog dijela.

Izračunajte približnu površinu obojenog dijela te je izrazite u kvadratnim metrima.

Od površine kvadrata treba oduzeti površine dvaju sukladnih polukrugova, znači površinu kruga.

Duljina promjera kruga je $38 cm,$ znači da je duljina polumjera $19 cm .$

Površinu kruga računamo $r^{2} π,$ gdje je $r$ duljina polumjera.

Površinu kvadrata računamo $a^{2},$ gdje je $a$ duljina stranice tog kvadrata.

$P = 38^{2} - 19^{2} π$
$P = 1 444 - 361 \cdot π$
$P \approx 1 444 - 1 133.54$
$P \approx 310.46$

Površina obojenog dijela kvadrata iznosi približno $310.46 {cm}^{2} \approx 0.031 m^{2} .$

Zadatak 23.

Izračunajte i pronađite odgovarajuću vrijednost.

Dovucite računske izraze na odgovarajuće vrijednosti.

${(\begin{array}{l} \frac{16}{11} \end{array})}^{2} : 16^{2}$	$\frac{1}{121}$
$\frac{7}{8} : {(1 \frac{1}{7})}^{2}$	$\frac{343}{512}$
$3.2 : (- 3.2)^{2}$	$334.62$
$5.5 \cdot {(- 7.8)}^{2}$	$\frac{361}{25}$
${(3 \frac{4}{5})}^{2}$	$0.3125$

null

Zatvori

Povezani sadržaji

Kruk u kojem su četiri sukladna kruga, postavljeni na krajevima međusobno okomitih promjera, polumjera tri puta manja od velikog kruga. — Prikaz igrališta

Travnati dio dječjeg igrališta kružnog je oblika promjera $27$ metara. Na njemu se nalaze četiri jednaka betonska dijela, koji su također kružnog oblika. Promjer im je tri puta manji od promjera cijelog igrališta.

Izračunajte približnu površinu travnatog dijela igrališta. Izračunajte približni postotak travnatog dijela u igralištu.

Promjer cijelog igrališta iznosi $27$ metara.

Promjer malog kruga je tri puta manji, $27 : 3 = 9$ metara.

Površinu travnatog dijela dobit ćemo tako da od ukupne površine kruga oduzmemo površine četiriju manjih krugova.

Površinu kruga računamo $r^{2} π,$ gdje je $r$ duljina polumjera.

Duljina polumjera velikog kruga je $13.5$ metara, a malog $4.5$ metra.

$P = 10^{2} + 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 5^{2} \cdot π$

$P \approx 100 + \frac{3}{2} \cdot 25 \cdot 3.14$

$P = 100 + 1.5 \cdot 25 \cdot 3.14$

$P = 100 + 117.75$

$P = 217.75$

Približna površina travnatog dijela iznosi $318 m^{2} .$

$\frac{318}{572} \approx 0.5559 \approx 0.56 = 56 %$

Približni postotak travnatog dijela u ukupnoj površini igrališta iznosi $56 % .$

Zadatak 24.

Fotografija kuhinjskog poda s kvadratnim pločicama — Izvor: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/Ceramiche_dipinte_Vietri_sul_Mare_ad_Avezzano.jpg

Prostorija je kvadratnog oblika površine $64 m^{2} .$ Popločena je kvadratnim pločicama dimenzija $25 cm x 25 cm .$ S koliko je komada pločica popločena ta prostorija?

Duljina stranice kvadrata koji predstavlja prostoriju iznosi $8$ metara. Duljina stranice kvadrata koji predstavlja pločicu iznosi $25$ centimetara.

Kako je $8 m = 800 cm$ i $800 : 25 = 32,$ zaključujemo da se duž jedne stranice prostorije mogu složiti $32$ pločice.

Nadalje, cijelu prostoriju, čija je površina $8 m \cdot 8 m$ , tada se može popločati s ukupno

$32 \cdot 32 = 32^{2} = 1 024$ pločice.

Dakle, ta je prostorija popločena s $1 024$ pločice.

Povezani sadržaji

Stilizacija cvjetnja kakoji se sastoji od kvadrata i dvije sukladne 3/4 kruga kojima su središta na krajevima dijagonale kvadrata.. — Prikaz cvjetnjaka

Cvjetnjak u parku zasađen je crvenim i žutim cvijećem.

Cvjetnjak je sastavljen od dvaju sukladnih kružnih isječaka i jednog kvadrata.

Duljina stranice kvadrata iznosi $10$ metara.

Kolika je površina cvjetnjaka?

Koliki je udjel površine zasađene u kvadratu? Udjel izrazite u postotcima.

Površina cvjetnjaka jednaka je zbroju površine kvadrata i površine dvaju kružnih isječaka. Kružni isječci predstavljaju $\frac{3}{4}$ površine kruga polumjera $5 cm .$

Površinu kruga računamo $r^{2} π,$ gdje je $r$ duljina polumjera.

Površinu kvadrata računamo $a^{2}$

$P = 10^{2} + 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 5^{2} \cdot π$

$P \approx 100 + \frac{3}{2} \cdot 25 \cdot 3.14$

$P = 100 + 1.5 \cdot 25 \cdot 3.14$

$P = 100 + 117.75$

$P = 217.75$

Površina cvjetnjaka iznosi približno $217.75 m^{2} .$

Udio površine zasađene u kvadratu iznosi $\frac{100}{217.75} = 0.459 \approx 46 % .$

Zanimljivost

Šahovska ploča je kvadrat sastavljen od $64$ jednaka kvadratna polja raspoređena u osam redova i osam stupaca. Površina kvadratnih polja treba biti dvostruko veća od površine baze figure pješaka. Baza figure pješaka je krug. Propisana je duljina stranice kvadratnog polja između $5 cm$ i $6.5 cm .$

Šahovska figura pješaka. — Šahovska figura pješaka

Kružno postolje šahovske figure pješaka — Kružno podnožje šahovske figure pješaka

Zadatak 25.

Površina kvadratnih polja šahovske ploče treba biti dvostruko veća od površine baze figure pješaka. Koliki je približni promjer figurice pješaka ako je duljina stranice kvadratnog polja $5 cm ?$

Neka je $a$ duljina stranice kvadratnog polja, a $r$ duljina polumjera kružne baze figure pješaka.

Površinu kruga računamo $r^{2} π,$ gdje je $r$ duljina polumjera.

Površinu kvadrata računamo $a^{2} .$

Tada možemo računati:

$a^{2} = 2 \cdot r^{2} \cdot π$

$5^{2} = 2 \cdot r^{2} \cdot π$

$r^{2} = 25 : (2 \cdot π)$

$r^{2} \approx 25 : (2 \cdot 3.14)$

$r^{2} \approx 25 : 6.28$

$r^{2} \approx 3.98 \approx 4$

$r^{2} \approx 4$

$r \approx 2 .$

Približni je promjer figurice pješaka $4 cm .$

$324$	$30^{2}$
$1 600$	$(- 16)^{2}$
$144$	$(- 12)^{2}$
$256$	$17^{2}$
$900$	$20^{2}$
$289$	$18^{2}$
$400$	$(- 40)^{2}$

$\frac{121}{(- 11)^{2}}$	$0.16$
$- {1.2}^{2}$	$1$
$(- \frac{4}{11})^{2}$	$- \frac{16}{5}$
$\frac{- 4^{2}}{5}$	$2.25$
${1.5}^{2}$	$\frac{16}{121}$
${(- 0.4)}^{2}$	$- 1.44$

Na početku...

Zadatak 1.

Kvadrati prirodnih brojeva

Zadatak 2.

Kvadrati prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva (zapis razlomkom i decimalnim).

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Proučimo kvadrate suprotnih brojeva.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Naučimo kako brže izračunati kvadrat nekoga racionalnog broja.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Preračunavanje mjernih jedinica za površinu i kvadriranje.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Računanje brojevnih izraza u kojima se pojavljuju kvadrati brojeva.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Primjena

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Zadatak 23.

Povezani sadržaji

Zadatak 24.

Povezani sadržaji

Zanimljivost

Zadatak 25.

...i na kraju

1.2 Kvadriranje umnoška i količnika