Matematika 8 - 3.5 Računanje s korijenima

Računanje s korijenima u zadatcima s razlikom kvadrata

Primjer 2.

Izračunajmo vrijednost zadane razlike kvadrata koristeći se formulom $(a - b) \cdot (a + b) = a^{2} - b^{2} .$

$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) =$

Prema formuli za razliku kvadrata $(a - b) \cdot (a + b) = a^{2} - b^{2}$ i ${\sqrt{k}}^{2} = k, k \in Q, k \geq 0$ slijedi:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) =$
$= {\sqrt{3}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}$
$= 3 - 2$
$= 1 .$

Zadatak 3.

Pojednostavnite i izračunajte zadanu razliku kvadrata.

$(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}) =$
$(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}) =$

Postupak:

$(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}) =$

${\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{3}}^{2} =$

$2 - 3 =$

$- 1$
$(\sqrt{17} - \sqrt{13}) \cdot (\sqrt{17} + \sqrt{13}) =$
$(\sqrt{17} - \sqrt{13}) \cdot (\sqrt{17} + \sqrt{13}) =$

Postupak:

$(\sqrt{17} - \sqrt{13}) \cdot (\sqrt{17} + \sqrt{13}) =$

${\sqrt{17}}^{2} - {\sqrt{13}}^{2} =$

$17 - 13 =$

$4$
$(3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{7}) \cdot (3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{7}) =$
$(3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{7}) \cdot (3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{7}) =$

Postupak:

$(3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{7}) \cdot (3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{7}) =$

${(3 \sqrt{5})}^{2} - {(2 \sqrt{7})}^{2} =$

$3^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 2^{2} {\sqrt{7}}^{2} =$

$9 \cdot 5 - 4 \cdot 7 =$

$45 - 28 =$

$17$
$(8 \sqrt{9} - 9 \sqrt{8}) \cdot (8 \sqrt{9} + 9 \sqrt{8}) =$
$(8 \sqrt{9} - 9 \sqrt{8}) \cdot (8 \sqrt{9} + 9 \sqrt{8}) =$

Postupak:

$(8 \sqrt{9} - 9 \sqrt{8}) \cdot (8 \sqrt{9} + 9 \sqrt{8}) =$

${(8 \sqrt{9})}^{2} - {(9 \sqrt{8})}^{2} =$

$8^{2} {\sqrt{9}}^{2} - 9^{2} {\sqrt{8}}^{2} =$

$64 \cdot 9 - 81 \cdot 8 =$

$- 72$
$(20 \sqrt{10} - 10 \sqrt{20}) \cdot (20 \sqrt{10} + 10 \sqrt{20}) =$
$(20 \sqrt{10} - 10 \sqrt{20}) \cdot (20 \sqrt{10} + 10 \sqrt{20}) = 2 000$

Postupak:

$(20 \sqrt{10} - 10 \sqrt{20}) \cdot (20 \sqrt{10} + 10 \sqrt{20}) =$

${(20 \sqrt{10})}^{2} - {(10 \sqrt{20})}^{2} =$

$20^{2} {\sqrt{10}}^{2} - 10^{2} {\sqrt{20}}^{2} =$

$400 \cdot 10 - 100 \cdot 20 =$

$4 000 - 2 000 =$

$2 000$
$(4 \sqrt{5} + 3 \sqrt{6}) \cdot (4 \sqrt{5} - 3 \sqrt{6}) =$
$(4 \sqrt{5} + 3 \sqrt{6}) \cdot (4 \sqrt{5} - 3 \sqrt{6}) =$

null

Postupak:

$(4 \sqrt{5} + 3 \sqrt{6}) \cdot (4 \sqrt{5} - 3 \sqrt{6}) =$

${(4 \sqrt{5})}^{2}-{(3 \sqrt{6})}^{2}=$

$4^{2}{\sqrt{5}}^{2}-3^{2}{\sqrt{6}}^{2}=$

$16 \cdot 5 - 9 \cdot 6 =$

$80 - 54 =$

$26$

Zadatak 4.

U sljedećem nizu zadataka smjestite povlačenjem brojeve i/ili znakove tako da jednakost bude točna. Smjestite točno na sredinu za to predviđenog prostora.

$(3 \sqrt{5} -$

$) \cdot ($

$+ 5 \sqrt{3}) = {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(5 \sqrt{3})}^{2} =$

$3 \sqrt{5}$

$- 30$

$5 \sqrt{3}$

null
$(8 \sqrt{7}$

$7 \sqrt{8}) \cdot (8 \sqrt{7} +$

$) = 448 -$

$=$

$-$

$392$

$7 \sqrt{8}$

$56$

null
$($

$- 4 \sqrt{3}) \cdot (3 \sqrt{7} +$

$) =$

$- 48 =$

$15$

$3 \sqrt{7}$

$4 \sqrt{3}$

$63$

null
$(\sqrt{101} -$

$) \cdot ($

$+ 1) =$

$\sqrt{101}$

$100$

$1$

null

Zatvori

Primjena računanja s korijenima

Zadatak 5.

Slika prikazuje krug upisan u kvadrat površine 18 kvadratnih metara.

Izračunajte površinu i opseg kruga upisanog u kvadrat površine $18$ kvadratnih metara.

Slika prikazuje krug upisan u kvadrat površine 18 kvadratnih metara s istaknutom duljinom stranice kvadrata

Za izračun površine i opsega kruga potrebna nam je duljina polumjera kruga $r .$

Duljina promjera kruga jednaka je duljini stranice kvadrata, $a = 2 r .$

Duljina polumjera jednaka je polovini duljine stranice kvadrata, $r = \frac{a}{2} .$

Izračunajmo duljinu stranice kvadrata iz njegove površine, $p = 18 m^{2}$ kvadratnih metara.

$\begin{array}{l} p = a^{2} \\ 18 = a^{2} \\ a = \sqrt{18} \\ a = \sqrt{9 \cdot 2} \\ a = 3 \sqrt{2} m \end{array}$

Duljina stranice kvadrata iznosi $a = 3 \sqrt{2} m .$

Duljina polumjera iznosi $r = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ metara.

$o = 2 r π$

$o \approx 3 \sqrt{2} \cdot 3.14$

$o \approx 6.28 \sqrt{2}$

$o \approx 13.28 m$

Opseg tog kruga iznosi približno $13.28$ metara.

$p = r^{2} \cdot π$
$p = (\frac{3 \sqrt{2}}{2})^{2} \cdot π$
$p = \frac{9 \cdot 2}{4} \cdot π$
$p \approx 4.5 \cdot 3.14$
$p \approx 14.13 m^{2}$

Površina tog kruga iznosi približno $14.13$ kvadratnih metara.

Zadatak 6.

Na slici je prikaz kvadratnog travnjaka površine 1000 četvornih metara. Unutar njega je kružna staza širine 2 metra. Kružna staza je omeđena s dva koncentrična kruga. Vanjski krug je upisan kvadratu.

Na slici je prikaz kvadratne zelene površine od $1 000$ kvadratnih metara.

Unutar nje je betonska kružna staza širine $2$ metra omeđena dvama koncentričnim krugovima.

Vanjski je krug upisan kvadratu.

Kolika je površina travnatog dijela?

Od površine kvadrata treba oduzeti površinu vanjskog kruga te mu dodati površinu unutarnjeg kruga. U animaciji je prikazana ideja rješavanja zadatka.

Površina travnatog dijela iznosi približno

$913.26$

kvadratnih metara.

Izračun rješenja:

Duljina polumjera vanjskog kruga $r_{v}$ jednaka je polovini duljine stranice kvadrata

$5 \sqrt{10}$ metara.

Račun: $r_{v} = \frac{\sqrt{1 000}}{2} = \frac{\sqrt{100} \cdot \sqrt{10}}{2} = \frac{10 \sqrt{10}}{2} = 5 \sqrt{10} m$

Duljina polumjera unutarnjeg, manjeg kruga $r_{m},$ manja je za širinu staze, $2 m,$ od polumjera većeg kruga i iznosi $r_{m} = (5 \sqrt{10} - 2) m .$

Izraz za površinu travnjaka:

$\begin{array}{l} p = 1 000 - (5 \sqrt{10})^{2} \cdot π + (5 \sqrt{10} - 2)^{2} \cdot π \\ p = 1000 - (5 \sqrt{10})^{2} \cdot π + ((5 \sqrt{10})^{2} - 2 \cdot 5 \sqrt{10} \cdot 2 + 2^{2}) \cdot π \\ p = 1 000 - (5 \sqrt{10})^{2} \cdot π + (5 \sqrt{10})^{2} \cdot π - 10 \sqrt{10} \cdot π + 4 π \\ p = 1 000 - 10 \sqrt{10} \cdot π + 4 π \\ p \approx 913.26 m^{2} \end{array} .$

Površina travnatog dijela iznosi približno $913.26$ kvadratnih metara.

Zadatak 7.

Na slici je prikaz parcela iz zadatka. Manji kvadrat unutar većeg kvadrata.

Na parceli u obliku kvadrata površine $50$ kvadratnih metara bit će ograđen kvadratni dio u kojem će boraviti ozlijeđene životinje koje se liječe.

Kolika će biti površina ograđenog dijela?

Kolika je duljina ograde kojom je dio ograđen?

Na slici je prikaz parcela iz zadatka. Manji kvadrat unutar većeg kvadrata. Dopisane su duljine stranica kvadrata.

Duljinu stranice velikog kvadrata $a$ izračunat ćemo iz površine.

$\begin{array}{l} p = a^{2} \\ a = \sqrt{50} \\ a = \sqrt{25 \cdot 2} \\ a = 5 \sqrt{2} km \end{array}$

Duljina stranice malog kvadrata iznosi $5 \sqrt{2} - 4$ kilometara.

Površina ograđenog dijela jednaka je površini kvadrata sa stranicom duljine $5 \sqrt{2} - 4 km .$

$\begin{array}{l} p = {(5 \sqrt{2} - 4)}^{2} \\ p = {(5 \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot 5 \sqrt{2} \cdot 4 + 4^{2} \\ p = 25 \cdot 2 - 40 \sqrt{2} + 16 \\ p = (66 - 40 \sqrt{2}) {km}^{2} \end{array}$

Površina ograđenog dijela iznosi $66 - 40 \sqrt{2}$ kvadratnih kilometara.

Duljina ograde kojom je ograđen dio jednaka je opsegu kvadrata sa stranicom duljine $5 \sqrt{2} - 4 km .$

$\begin{array}{l} o = 4 \cdot (5 \sqrt{2} - 4) \\ o = (20 \sqrt{2} - 16) km \end{array}$

Duljina ograde iznosi $20 \sqrt{2} - 16$ kilometara.

O množenju binoma koji sadržavaju izraze s korijenima.

Zadatak 8.

Slika prikazuje pravokutnik sa duljinama stranica izraženih korjenom

Izračunajte površinu pravokutnika na slici.

Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina susjednih stranica, $a = 2 \sqrt{13} + 3 i b = 2 \sqrt{5} + 1$

$p=a\cdotb$

$p = (2 \sqrt{13} + 3) \cdot (2 \sqrt{5} + 1)$

$p = 2 \sqrt{13} \cdot 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{13} \cdot 1 + 3 \cdot 2 \sqrt{5} + 3 \cdot 1$

$p = 4 \sqrt{65} + 2 \sqrt{13} + 6 \sqrt{5} + 3 .$

Zatvori

Izračunavanje i pojednostavnjivanje izraza s korijenima

Prvo se izračunavaju izrazi u zagradama (ako zagrade postoje), nakon toga se kvadrira ili korjenuje, zatim množi i dijeli, a tek na kraju zbraja i oduzima.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Spojite izraz s korijenima s njegovim pojednostavnjenim oblikom.

Spojite parove.

$(\sqrt{7} - \sqrt{8}) \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{8}) - {(\sqrt{7} + \sqrt{8})}^{2}$	$- 10 - 2 \sqrt{11}$
${(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2} - (\sqrt{5} - 3) \cdot (\sqrt{5} + 3)$	$12 - 2 \sqrt{15}$
$(\sqrt{3} - 11) \cdot (\sqrt{3} + 11) + {(\sqrt{3} - \sqrt{11})}^{2}$	$- 104 - 2 \sqrt{33}$
$(2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) \cdot (2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) + {(2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3})}^{2}$	$70$
$(\sqrt{11} - 3) \cdot (\sqrt{11} + 3) - {(\sqrt{11} + 1)}^{2}$	$- 8 \sqrt{14}$

null

Zadatak 10.

Na slici je prikazan manji kvadrat unutar većeg kvadrata. Istaknute su i duljine stranica.

Odredite razliku površina većeg i manjeg kvadrata na slici.

Na slici je prikazan manji kvadrat unutar većeg kvadrata. Istaknute su i duljine stranica i iznosi površina.

Razliku površina većeg i manjeg kvadrata označimo s $p .$ Duljina stranice većeg kvadrata iznosi $a_{v} = \sqrt{18} + 2$ jedinične duljine.

Površina većeg kvadrata je $p_{v} = {a^{2}}_{v} = {(\sqrt{18} + 2)}^{2}$ jediničnih kvadrata.

Duljina stranice manjeg kvadrata iznosi $a_{m} = \sqrt{18}$ jediničnih duljina.

Površina manjeg kvadrata je $p_{m} = {a_{m}}^{2} = {\sqrt{18}}^{2}$ jediničnih kvadrata.

Izraz za razliku površina jednak je razlici kvadrata. Prisjetimo se formule za razliku kvadrata $a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b) :$

$\begin{array}{l} p = p_{v} - p_{m} = \\ = {(\sqrt{18} + 2)}^{2} - {\sqrt{18}}^{2} \\ = (\sqrt{18} + 2 - \sqrt{18}) \cdot (\sqrt{18} + 2 + \sqrt{18}) \\ = 2 \cdot (2 \sqrt{18} + 2) \\ = 2 \cdot 2 (\sqrt{18} + 1) \\ = 4 (\sqrt{18} + 1) . \end{array}$

Razlika površina kvadrata iznosi $4 \cdot (1 + \sqrt{18})$ jediničnih kvadrata.

Zatvori

Povezani sadržaji

Na slici su prikazana vrata s istaknutom širinom.

Vrata su u obliku pravokutnika.

Širina je vrata $130 cm .$

Visina i širina vrata su u omjeru $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

Kolika je visina tih vrata?

Označimo visinu vrata s $x .$

Iz uvjeta zadatka slijedi:

$x : 130 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x = 130^{65} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x = 65 \cdot (1 + \sqrt{5})$

$x \approx 65 \cdot 3.236$

$x \approx 210.344 cm .$

Visina vrata približno iznosi $210.34 cm .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Na slici je pravokutnik s istaknutim duljinama stranica.

Izračunajte površinu pravokutnika na slici.

Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina susjednih stranica.

Neka su duljine stranica $x = \frac{3}{5} \sqrt{18} + 4 i y = \frac{3}{5} \sqrt{18}$ jediničnih duljina. Tada je površina $p$ jednaka:

$p = x \cdot y$

$p = (\frac{3}{5} \sqrt{18} + 4) \cdot \frac{3}{5} \sqrt{18}$

$p = {(\frac{3}{5} \sqrt{18})}^{2} + 4 \cdot \frac{3}{5} \sqrt{18}$

$p = \frac{9}{25} \cdot 18 + \frac{12}{5} \sqrt{18}$

$p = \frac{162}{25} + \frac{12}{5} \cdot 3 \sqrt{2}$

$p = \frac{162}{25} + \frac{36}{5} \sqrt{2} .$

Površina pravokutnika iznosi $\frac{162}{25} + \frac{12}{5} \sqrt{18}$ jediničnih kvadrata, što približno iznosi $16.66$ jediničnih kvadrata.

Zadatak 12.

Pojednostavnite izraz.

$(\frac{2}{3} \sqrt{5} - 1) \cdot 3 \sqrt{5}$

$(\frac{2}{3} \sqrt{5} - 1) \cdot 3 \sqrt{5} =$

$= \frac{2}{3} \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 3 \sqrt{5}$

$= 2 {\sqrt{5}}^{2} - 3 \sqrt{5}$

$= 2 \cdot 5 - 3 \sqrt{5}$

$= 10 - 3 \sqrt{5}$

Zadatak 13.

Pojednostavnite izraz.

$(4 \sqrt{10} - \sqrt{5}) \cdot (\frac{1}{4} \sqrt{5} + \sqrt{10})$

$(4 \sqrt{10} - \sqrt{5}) (\frac{1}{4} \sqrt{5} + \sqrt{10}) =$

$= 4 \sqrt{10} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{5} + 4 \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} - \sqrt{5} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}$

$= \sqrt{50} + 4 {\sqrt{10}}^{2} - \frac{1}{4} {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{50}$

$= 4 \cdot 10 - \frac{1}{4} \cdot 5$

$= 40 - \frac{5}{4}$

$= \frac{155}{4} = 38.75$

Zatvori

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Pojednostavnite izraz.

$(\frac{5 \sqrt{3}}{2} - 1) \cdot (\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2)$

$(\frac{5 \sqrt{3}}{2} - 1) \cdot (\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2) =$

$= \frac{5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot 2$

$= {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} + \frac{5 \sqrt{3}}{2} - 2$

$= \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \frac{5 \sqrt{3}}{2} - 2$

$= \frac{25 \cdot 3}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{2} - 2$

$= \frac{75}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{2} - 2$

$= \frac{75}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{2} - \frac{8}{4}$

$= \frac{67}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

$= \frac{67}{4} + \frac{10 \sqrt{3}}{4}$

$= \frac{67 + 10 \sqrt{3}}{4}$

Zadatak 15.

U nizu zadataka samo je jedan odgovor točan.

$\sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} =$

$3 (1 + \sqrt{6})$

$3 + \sqrt{6}$
$3 (1 + \sqrt{6})$

null

Postupak:

$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} =$

$\sqrt{2} \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2} =$

$\sqrt{6} - 2 + 3 + 2 + 2 \sqrt{6} =$

$3 + 3 \sqrt{6} = 3 (1 + \sqrt{6})$
$\sqrt{6} (\sqrt{3} + \sqrt{6}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{3}) =$

$\sqrt{6} - \sqrt{3}$
$3 \sqrt{2} + 3$

$3 \sqrt{2} + 3$

null

Postupak:

$\begin{array}{l} \sqrt{6} (\sqrt{3} + \sqrt{6}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{18} + {\sqrt{6}}^{2} - ({\sqrt{6}}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}) = \end{array}$

$\sqrt{9 \cdot 2} + 6 - 6 + 3 =$

$3 \sqrt{2} + 3$
$\frac{3}{4} \sqrt{48} - \frac{1}{2} \sqrt{12} + {(\sqrt{3} - 1)}^{2} =$

$\sqrt{4}$
$4$

$4$

null

Postupak:

$\frac{3}{4} \sqrt{48} - \frac{1}{2} \sqrt{12} + {(\sqrt{3} - 1)}^{2} =$

$\frac{3}{4} \sqrt{16 \cdot 3} - \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{3} + 1 =$

$\frac{3}{4} \sqrt{16} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{4} \sqrt{3} + 3 - 2 \sqrt{3} + 1 =$

$\frac{3}{4} \cdot 4 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} + 3 - 2 \sqrt{3} + 1 =$

$3 \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 4 =$
${(\sqrt{8} - \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{8} + \sqrt{2})}^{2} =$

$- 16$

$16$
$- 16$

null

Postupak:

${(\sqrt{8} - \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{8} + \sqrt{2})}^{2} =$

$(\sqrt{8} - \sqrt{2} - \sqrt{8} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{2}) =$

$- 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{8} =$

$- 4 \sqrt{16} =$

$- 4 \cdot 4 = - 16$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Na slici su prikazane kružnice koje se dodiruju iznutra. Istaknuta su središta i polumjeri tih kružnica.

Na slici su dvije kružnice koje se dodiruju iznutra.

Omjer je njihovih polumjera $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

Koliki je omjer površina krugova određenih tim kružnicama?

Omjer duljina polumjera iznosi $\frac{1 + \sqrt{5}}{2},$ što možemo zapisati

$r_{v} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot r_{m},$

gdje su $r_{v} i r_{m}$ polumjeri velikog i malog kruga.

Oznaka $p_{v}$ je oznaka za iznos površine velikog kruga, a $p_{m}$ za iznos površine malog kruga.

Za površine vrijedi $p_{v} = {r_{v}}^{2} π.$

$p_{v} = {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot r_{m})}^{2} \cdot π$

$p_{v} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}{4} \cdot {r_{m}}^{2} \cdot π$

$p_{v} = \frac{1 + 2 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{4} \cdot p_{m}$

$p_{v} = \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4} \cdot p_{m}$

$p_{v} = \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{5})}{4} \cdot p_{m}$

$p_{v} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \cdot p_{m} .$

Omjer je površina tih krugova $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} .$

Povezani sadržaji

Na slici je prikazan pravilni šesterokut s istaknutom duljinom stranice i duljinom visine karakterističnog trokuta.

Izračunajte površinu pravilnog šesterokuta na slici. Mjere su dane u decimetrima.

Površina pravilnog šesterokuta na slici jednaka je zbroju površina šest sukladnih jednakostraničnih trokuta $\frac{a \cdot v}{2}$ s osnovicom duljine $a$ i visinom na tu osnovicu duljine $v .$ Površina pravilnog šesterokuta jednaka je

$P = 6 \cdot \frac{a \cdot v}{2}$

$p = 6^{3} \cdot \frac{8 \cdot 4 \sqrt{3}}{2_{1}}$

$p = 96 \sqrt{3} .$

Površina pravilnog šesterokuta na slici iznosi $96 \sqrt{3} {dm}^{2} .$

Projekt

Na slici je prikazan pravokutnik rastavljen na kvadrate i pravokutnike sa istaknutim duljinama stranica izraženim korijenom.

Na slici je kvadrat. Izrazite u bilježnicu njegovu površinu i pojednostavnite je.

$(\sqrt{7} + \sqrt{8})^{2}$	$21 + 6 \sqrt{10}$
$(\sqrt{22} + \sqrt{33})^{2}$	$55 + 22 \sqrt{6}$
$(\sqrt{5} + \sqrt{10})^{2}$	$15 + 10 \sqrt{2}$
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$	$5 + 2 \sqrt{6}$
$(\sqrt{6} + \sqrt{15})^{2}$	$15 + 2 \sqrt{56}$

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$	$13$
$\sqrt{55} : \sqrt{11}$	$\sqrt{5}$
$\sqrt{14.4} \cdot \sqrt{10}$	$\sqrt{15}$
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$	$12$
$\sqrt{1.69} : \sqrt{0.01}$	$10$

3.5 Računanje s korijenima

Na početku...

Računanje korijenima u zadatcima s kvadratom zbroja/razlike

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Računanje s korijenima u zadatcima s razlikom kvadrata

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Primjena računanja s korijenima

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Izračunavanje i pojednostavnjivanje izraza s korijenima

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Kutak za znatiželjne

Povezani sadržaji

Projekt

...i na kraju

Brojevi koje možemo potpuno korjenovati

Brojevi koje možemo djelomično korjenovati

Brojevi koje ne možemo korjenovati ni potpuno ni djelomično

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

3.6 Racionalizacija nazivnika