Matematika 8 - 4.10 Modeliranje problemskih situacija Pitagorinim poučkom

Kutak za majstore

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Fotografija prikazujeotvoreni ormar podijeljen na police za knjige.

Polica za knjige u obliku pravokutnika rasklimala se. Visina police iznosi $2$ metra, a širina $1.5$ metara. Pozvan je stolar kako bi je popravio, učvrstio. Stolar je uzeo mjere. On zna da svaki pravokutni oblik najbolje učvrstimo ako ga osiguramo dvjema letvicama postavljenim dijagonalno te je izmjerio duljinu dijagonale poleđine police. Rekao da će doći za dva dana. Maja je nakon razgovora sa stolarom uzela papir i olovku te znajući širinu i visinu police izračunala potrebne mjere.

Što je Maja računala?

Fotografija prikazuje dio police za knjige širine 1.5 metra i visine 2 metra s ucrtanom dijagonalom.

Stolar zna da svaki pravokutni oblik najbolje učvrstimo ako ga osiguramo letvicama postavljenim dijagonalno. Potrebne su dvije takve letvice jer pravokutnik ima dvije dijagonale. Stolar ih je izmjerio.

Maja je, znajući širinu i visinu police, primijenila Pitagorin poučak i izračunala duljinu dijagonale.

$d^{2} = 2^{2} + {1.5}^{2}$

$d^{2} = 4 + 2.25$

$d^{2} = 6.25 /^{\sqrt{}}$

$d = 2.5 m$

Duljina jedne dijagonale iznosi $2.5 m .$ Za dvije letvice bit će potrebno $5 m$ letvice.

Zadatak 2.

Na slici je ormar oblika jednakostraničnog trokuta unutar kojega su na jednakim razmacima složene četiri police. Razmak između polica je 36 cm..

Polica u obliku jednakostraničnog trokuta visoka je dva metra i duboka $30 cm .$ Treba kupiti četiri staklene police koje će međusobno biti udaljene $36 cm .$ Staklo od kojeg će police biti izrađene mora biti kaljeno. Njegova je cijena $1 500$ kuna za kvadratni metar.

Kolika će biti cijena tih polica?

Treba izračunati ukupnu površinu polica.

Sve su police široke $30 cm .$

Još treba izračunati njihovu duljinu.

Uočimo da su staklene police paralelne podnožju police i da su međusobno paralelne. Budući da ti trokuti imaju kutove jednakih veličina, svi su ti trokuti međusobno slični. Dakle, riječ je o četiri jednakostranična trokuta čija je osnovica duljina police.

Kako nam je visina poznati podatak, koristit ćemo se izrazom za visinu jednakostraničnog trokuta.

$v = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Iz toga slijedi da je duljina stranice $a = \frac{2 v}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 v \sqrt{3}}{3} .$

Visine su redom od najmanje do najveće:

$\begin{array}{l} 200 - 4 \cdot 36 = 56 cm \\ 56 + 36 = 92 cm \\ 92 + 36 = 128 cm \\ 128 + 36 = 164 cm. \end{array}$

$\begin{array}{l} p = (\frac{2 \cdot 56 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 92 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 128 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 164 \sqrt{3}}{3}) \cdot 30 \end{array}$

$\begin{array}{l} p = \frac{2 \sqrt{3}}{3} (56 + 92 + 128 + 164) \cdot 30 \end{array}$

$p = \frac{2 \sqrt{3}}{3_{1}} 440 \cdot 30_{10}$

$p = 8 800 \sqrt{3} \approx 15 224 {cm}^{2} = 1.5224 m^{2} .$

Izračunajmo cijenu:

$C = 1.5224 \cdot 1 500 = 2 283.60 kn .$

Cijena stakla za policu iznosit će oko $2300 kn$

Zadatak 3.

Pero je zalupio ulazna vrata, ali nije ponio ključeve. Uočio je da je otvoren prozor na drugom katu pa želi s pomoću ljestava ući u kuću. Ljestve duljine $6 m$ prislonio je na zid tako da je udaljenost baze ljestava od zida $2.5 m .$

Mogu li ljestve dosegnuti donji rub prozora koji je na visini od $5.7 m ?$

Može li Pero ući kroz prozor?

Na slici je pravokutni trokut s katetama duljine 2.5 metra i v metara te hipotenuzom duljine 6 metara.

Pogledajmo skicu.

Izračunajmo koliki je iznos visine $v$ .

Kad je izračunamo, usporedit ćemo je sa zadanom visinom do prozora.

U pitanju je pravokutni trokut pa možemo primijeniti Pitagorin poučak.

$v^{2} = 6^{2} - {2.5}^{2}$

$v^{2} = 36 - 6.25$

$v = 29.75$

$v = 5.45 m$

Donji rub prozora na visini je $5.7$ metara, a dobivena visina iznosi $5.45$ metara.

Ljestve neće dosegnuti donji rub prozora.

Budući da je od kraja ljestava do donjeg ruba prozora samo $25 cm,$ Pero će vjerojatno moći ući kroz prozor.

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Za vrijeme oluje vjetar je prelomio stablo visoko $13 m$ i pritom je njegov vrh dodirnuo tlo $6 m$ daleko od stabla.

Na kojoj je visini prelomljeno stablo?

Pogledajte animirani postupak rješavanja ovog zadatka

Na slici je nacrtan prikaz slomljenog stabla. Stablo je slomljeno na nepoznatoj visini x (što je jedna kateta nacrtanog trokuta, dok je druga kateta dujine 6 metara), a duljina hipotenuze je 13 - x metara.

Promotrimo sliku. Udaljenosti $|C D|$ i $|D B|$ jednake su. Prema oznakama na slici za pravokutni trokut napišimo Pitagorin poučak.

$x^{2} + 6^{2} = {(13 - x)}^{2}$

$x^{2} + 36 = 169 - 2 \cdot 13 \cdot x + x^{2}$

$26 x = 169 - 36$

$26 x = 133$

$x = 133 : 26$

$x \approx 5.11 m$

Stablo je slomljeno na približno $5.11$ metara od podnožja.

Zadatak 5.

Fotografija prikazuje regal za knjige s policom za TV-prijemnik.

Lana kupuje televizor koji želi smjestiti na policu svojega regala.

Prodavač joj je objasnio da se veličina televizora prikazuje s obzirom na duljinu dijagonale ekrana.

Lana želi kupiti televizor s ekranom kojemu je dijagonala duljine $60 cm .$ Ako je izmjerila da je visina ekrana $36 cm,$ može li taj televizor stati na policu širine $48 cm ?$

Na slici je pravokutnik s dijagonalom 60 i visinom 36. Nepoznata je širina tog pravokutnika.

Prikažimo televizor pravokutnikom i unesimo podatke.

$y^{2} = 60^{2} - 36^{2}$

$y^{2} = (60 - 36) \cdot (60 + 36)$

$y^{2} = 24 \cdot 96$

$y^{2} = 24 \cdot 24 \cdot 4$

$y^{2} = {(24 \cdot 2)}^{2}$

$y = 48 cm$

Kako je širina police jednaka širini televizora, televizor može stati, ali će ga biti jako teško smjestiti u policu. Bilo bi bolje kupiti televizor s nešto manjom dijagonalom ekrana.

Zatvori

Bakin kutak

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Crtež prikazuje stolnjak sastavljen od 7 sukladnih pravilnih šesterokuta

Baka je napravila čipku koja se sastoji od $7$ sukladnih pravilnih šesterokuta sa stranicom duljine $6 cm,$ povezanih kao na slici.

Želi je uokviriti u pravokutni okvir. Kolike su najmanje dimenzije tog okvira? (Rezultat zaokružite na najbliži broj centimetara.)

Crtež prikazuje stolnjak sastavljen od 7 sukladnih pravilnih šesterokuta-uokviren u pravokutnik. Upisani su podaci potrebni za rješavanje zadatka.

Pogledajmo na slici pravokutnik koji predstavlja najmanji okvir.

Izračunajmo duljinu:

$6 v_{a} = 6^{3} \frac{a \sqrt{3}}{2_{1}} = 3 \cdot 6 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} cm .$

Približna duljina bit će jednaka $31.18 cm .$

Širina tog okvira bit će $2 \cdot 12 + 6 = 30 cm .$

Dimenzije okvira približno su $31.2 cm$ puta $30 cm .$

Zadatak 7.

Na slici su skladni jednakokračni trokut i kiflice nastale "motanjem" tijesta izrezanog na jednakokračne trokute

Baka i Renata pripremaju kiflice. Razvaljale su tijesto te ga izrezale na dijelove oblika jednakokračnog trokuta. Kolika je duljina kraka jednog dijela ako je duljina osnovice jednaka $10 cm,$ a širina trake tijesta $12 cm ?$

Na slici je jednakokračan trokut koji modelira izrezano tijesto za kiflicu

Kako je na slici istaknuto, uočimo pravokutni trokut i primijenimo na njega Pitagorin poučak.

$k^{2} = 5^{2} + 12^{2}$

$k^{2} = 25 + 144$

$k^{2} = 169$

$k = 13 cm$

Duljina kraka iznosi $13 cm .$

Zatvori

A sada sport...

Zadatak 8.

Vrlo popularne trail-utrke održavaju se na brdovitim terenima po prirodnim stazama.

Na nekim se mjestima trkači jako umore pa moraju dio staze prohodati.

Pri prijavi biraju koliku udaljenost žele trčati i dobiju na uvid ovakav profilni prikaz trase koju će prijeći. Na njoj vide uspone i nizbrdice.

Koristeći se podatcima s prikaza, izračunajte kolika je približna duljina staze koju prikazuje crvena linija.

Je li prikaz realan? Objasnite odgovor.

Na slici je profilni prikaz brdske biciklističke staze.

Na slici je prikaz profila brdske biciklističke staze uz jedan istaknuti pravokutni trokut

Uočimo da profil staze ima oblik jednakokračnog trokuta.

Prema podatcima s prikaza visina tog trokuta iznosi $700 m = 0.7 km,$ a osnovica $16 km .$

Prema oznakama na slici $2 x$ predstavlja traženu približnu duljinu staze.

Nju ćemo izračunati primjenom Pitagorina poučka na osjenčani trokut.

Uz oznake na prikazu Pitagorin poučak za osjenčani trokut jest

${0.7}^{2} + 8^{2} = x^{2}$

$0.49 + 64 = x^{2}$

$x^{2} = 64.49 /^{\sqrt{}}$

$x = 8.03 km$

$2 x = 16.06 km .$

Duljina staze iznosi najmanje $16.06 km .$

Možemo zaključiti da prikaz nije realan jer na prikazu staza izgleda znatno strmije. Razlog nerealnosti prikaza različite su „mjerne skale” na horizontalnom i vertikalnom polupravcu.

I još ponešto...

Zadatak 9.

Brazilska zastava sastoji se od zelene podloge na kojoj je veliki žuti romb.

Unutar romba plavi je krug s bijelim zvijezdama u pet različitih veličina. Preko kruga bijela je vrpca na kojoj je napisana državna krilatica Ordem e Progresso (Red i napredak).

Duljina stranice žutog romba iznosi $25 cm,$ a duljina jedne njegove dijagonale $48 cm .$ Izračunajte koliko je materijala potrebno za šivanje žutog dijela brazilske zastave ako plavi krug naknadno lijepimo na žuti dio.

Na slici je brazilska zastava s upisanim podacima za rješavanje zadatka

Potrebno je izračunati površinu romba sa stranicom duljine $25 cm .$

Površina romba jednaka je polovini umnoška duljina njegovih dijagonala.

Duljinu jedne dijagonale imamo, $48 cm,$ a duljinu druge treba izračunati koristeći se Pitagorinim poučkom.

$x^{2} + 24^{2} = 25^{2}$

$x^{2} = (25 - 24) \cdot (25 + 24)$

$x^{2} = 49$

$x = 7 cm$

Duljine dijagonala su $48$ i $14 cm .$

Izračunajmo površinu romba kao polovinu umnoška duljina njegovih dijagonala.

$P = \frac{48 \cdot 14}{2}$

$P = 336 {cm}^{2}$

Za šivanje brazilske zastave potrebno je $336$ kvadratnih centimetara žutog materijala.

Kutak za znatiželjne

Na slici su tri kruga koji se dodiruju izvana, dva sukladna treći manji.

Na slici su tri kruga koji se dodiruju. Središta krugova, točke $A$ , $B$ i $C,$ vrhovi su jednakokračnoga pravokutnog trokuta s pravim kutom u vrhu $C$ .

Dva veća kruga sukladna su sa središtima udaljenima $16 cm .$

Odredite površinu obojenog dijela.

Zadatak 10.

Površinu obojenog dijela $p_{o}$ izračunat ćemo tako da od površine jednakokračnoga pravokutnog trokuta oduzememo površine kružnih isječaka.

Jednakokračni pravokutni trokut jest pola kvadrata s dijagonalom duljine $d = 16 cm .$

Duljinu stranice tog kvadrata $a,$ ujedno duljinu katete jednakokračnog trokuta, izračunat ćemo iz duljine dijagonale kvadrata.

$\begin{array}{l} d = a \sqrt{2} \\ 16 = a \sqrt{2} \\ a = \frac{16}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ a = \frac{16 \sqrt{2}}{2} \\ a = 8 \sqrt{2} cm \end{array}$

Površina pravokutnog trokuta s pomoću duljina kateta duljine $a :$

$\begin{array}{l} p = \frac{a \cdot a}{2} \\ p = \frac{8^{4} \sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{2}}{2_{1}} \\ p = 32 {\sqrt{2}}^{2} \\ p = 32 \cdot 2 \\ p = 64 {cm}^{2} . \end{array}$

Površina sukladnih isječaka jest osmina površine velikog kruga zbog središnjeg kuta od $45 °$ ( $360 : 45 ° = 8$ ).

Površina dvaju sukladnih isječaka $p_{v i}$ jest dvije osmine, odnosno jedna četvrtina, površine velikog kruga polumjera $r = \frac{d}{2} = 8 cm .$

$\begin{array}{l} p_{v i} = \frac{1}{4} \cdot r^{2} π \\ p_{v i} = \frac{1}{4} \cdot 8^{2} π \\ p_{v i} = \frac{1}{4} \cdot 64 π \\ p_{v i} = 16 π {cm}^{2} \end{array}$

Površina malog isječka $p_{m i}$ jest četvrtina površine malog kruga zbog središnjeg kuta od $90 ° .$

Polumjer malog kruga iznosi $r_{m} = 8 \sqrt{2} - 8 = 8 (\sqrt{2} - 1) cm .$

$\begin{array}{l} p_{m i} = \frac{1}{4} {r_{m}}^{2} π \\ p_{m i} = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot {(\sqrt{2} - 1)}^{2} π \\ p_{m i} = 2 {(\sqrt{2} - 1)}^{2} π \\ p_{m i} = 2 (3 - 2 \sqrt{2}) π {cm}^{2} \end{array}$

Površina obojenog dijela $p_{o}$ iznosi

$\begin{array}{l} p_{o} = 64 - 16 π - 2 (\sqrt{3} - 1) π \\ p_{o} = 64 - 16 π - 2 π \sqrt{3} + 2 π \\ p_{o} = [64 - π (14 + 2 \sqrt{3})] {cm}^{2} . \end{array}$