Matematika 8 - 9.5 Pravilna trostrana piramida

Mreža pravilne trostrane piramide

U videu pogledajmo opis pravilne trostrane piramide.

Pravilna trostrana piramida ima:

bazu koja je jednakostranični trokut

pobočke su sukladni jednakokračni trokuti

pobočje se sastoji od tri sukladna jednakokračna trokuta.

Primjer 1.

Nacrtajmo prikaz pravilne trostrane piramide uz oznake.

$a$ duljina osnovnog brida, brida baze

$b$ duljina bočnog brida

Jedan je od prvih koraka određivanje ravninskog prikaza pravilne trostrane piramide, odnosno mreže pravilne trostrane piramide.

Mreža mora prikazivati sve strane piramide.

jedan jednakostranični trokut - baza pravilne trostrane piramide
tri sukladna jednakokračna trokuta - pobočje pravilne trostrane piramide

Zadatak 1.

Odredimo dijelove mreže pravilne trostrane piramide koji odgovaraju bazi, pobočkama i pobočju.

Povuci nazive strana piramide na odgovarajuće crte na mreži piramide.

POBOČKA

BAZA

null

null
Povuci nazive strana piramide na odgovarajuće crte na mreži piramide.

BAZA

POBOČJE

null

null
Je li na slici prikaz mreže pravilne trostrane piramide?

Da

Ne

null

null
Je li na slici ravninski prikaz pravilne trostrane piramide?

Da

Ne

Primjer 2.

Na slici su tri prikaza. Svaki se sastoji od jednakostraničnog trokuta nad čijim su stranicama sukladni jednakokračni trokuti. Proučite jesu li svi prikazi ujedno i mreže pravilne trostrane piramide.

Animacija koja slijedi pomoći će nam u odgovoru na pitanje.

Slika prikazuje odnos različite prikaze od koji je samo onaj pod C) prikaz mreže pravilne trostrane piramide

Samo je prikaz pod c) mreža pravilne trostrane piramide.

Nije svaki prikaz koji se sastoji od jednakostraničnog trokuta nad čijim stranicama su sukladni jednakokračni trokuti mreža pravilne trostrane piramide.

Kako bi piramida postojala, duljina bočnog brida mora biti veća od dvije trećine duljine visine baze $b > \frac{2}{3} v_{a} .$

Ako uvrstimo duljinu visine baze $v_{a}$ izraženu duljinom brida $a,$ $\frac{2}{3} v_{a} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ proizlazi da je uvjet postojanja pravilne trostrane piramide $b > \frac{a \sqrt{3}}{3},$ gdje je $b$ duljina bočnoga, a $a$ osnovnoga brida.

Pravilna trostrana piramida postoji ako za duljine osnovnoga brida $a$ i bočnoga brida $b$ vrijedi $b > \frac{a \sqrt{3}}{3}, a, b \in R^{+} .$

Oplošje pravilne trostrane piramide

Primjer 3.

Prikaz mreže pravilne trostrane piramide

Odredimo oplošje pravilne trostrane piramide.

Oplošje pravilne trostrane piramide jednako je površini njezine mreže.

Prisjetimo se!

Površina trokuta $p$ jednaka je polovini umnoška duljine stranice trokuta i duljine pripadajuće visine na tu stranicu $p = \frac{a \cdot v_{a}}{2} = \frac{b \cdot v_{b}}{2} = \frac{c \cdot v_{c}}{2},$ gdje su $a, b i c$ duljine stranica trokuta, a $v_{a}, v_{b} i v_{c}$ pripadajuće visine.

Slika prikazuje jednakostranični trokut s istaknutim visinama

Površina jednakostraničnog trokuta ovisi samo o duljini njegove stranice $a$ i jednaka je $p = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Sve visine jednakostraničnog trokuta jednake su duljine $v_{a}$ i isto ovise samo o duljini stranice $a .$ Izraz za visinu jednakostraničnog trokuta stranice duljine $a$ je $v_{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Istaknimo elemente mreže potrebne za određivanje njezine površine, odnosno oplošja pravilne trostrane piramide.

Površina mreže pravilne trostrane piramide jednaka je zbroju površina svih njezinih trokuta:

duljina visine pobočke, $v$

duljina visine baze, $v_{a}$

površine jednakostraničnog trokuta baze duljine stranice $a,$ $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

površine triju sukladnih jednakokračnih trokuta pobočja, $P = 3 \cdot \frac{a \cdot v}{2} .$

Uz oznake sa slike, oplošje je pravilne trostrane piramide:

$\begin{array}{l} O = B + P \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v}{2} \end{array}$

Formulu možemo ostaviti ovako, a možemo i izlučiti zajednički faktor $\frac{a}{2} .$

$\begin{array}{l} O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v}{2} \\ O = \frac{a}{2} (\frac{a \sqrt{3}}{2} + 3 v) \end{array}$

Slika prikazuje pravilnu trostranu piramidu

Oplošje pravilne trostrane piramide $O$ brida duljine $a$ i visine pobočke $v$ iznosi $O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v}{2}$

Primjer 4.

Izračunajmo oplošje $O$ pravilne trostrane piramide brida duljine $a = 6 dm$ i duljine visine pobočke $v = 4 dm .$

$O = B + P$

$O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v}{2}$

$O = \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{6 \cdot 4^{2}}{2_{1}}$

$O = \frac{36^{9} \sqrt{3}}{4_{1}} + 36$

$O = 9 \sqrt{3} + 36$

$O = 9 (\sqrt{3} + 4) {dm}^{2}$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

U tablici su zadani duljina brida baze $a$ i duljina visine pobočke $v .$ Prepišite tablicu u bilježnicu i izračunajte oplošje pravilne trostrane piramide.

Duljina brida baze $a [cm]$	Duljina visine pobočke $v [cm]$	Oplošje $O [{cm}^{2}]$
$16$	$15$
$40$	$21$
$30$	$36$

Duljina brida baze $a [cm]$	Duljina visine pobočke $v [cm]$	Oplošje $O [{cm}^{2}]$
$16$	$15$	$64 \sqrt{3} + 360$
$40$	$21$	$400 \sqrt{3} + 1260$
$30$	$36$	$225 \sqrt{3} + 1620$

Zadatak 3.

Zadana je duljina brida $a = \sqrt{3} m$ tetraedra (pravilne trostrane piramide sa svim bridovima jednake duljine). Izračunajte oplošje tog tetraedra.

Kako tetraedar ima sve bridove jednake duljine, strane su mu jednakostranični trokuti duljine brida $a .$

Stoga je oplošje jednako zbroju površina četiriju jednakostraničnih trokuta brida duljine $a$ $.$

$\begin{array}{l} O = 4_{1} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4_{1}} \\ O = a^{2} \sqrt{3} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ O = {\sqrt{3}}^{2} \sqrt{3} \\ O = 3 \sqrt{3} m^{2} \end{array}$

Zatvori

Zanimljivost

Slika prikazuje mrežu tetraedra — Mreža tetraedra

Mreža tetraedra s bridom duljine $a$ jednakostranični je trokut s bridom duljine $2 a .$

Zadatak 4.

Odredimo izraz za oplošje tetraedra brida duljine $a .$

Oplošje tetraedra jednako je površini jednakostraničnog trokuta stranice duljine $2 a .$

$\begin{array}{l} p = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} \\ p = \frac{4^{1} a^{2} \sqrt{3}}{4_{1}} \\ p = a^{2} \sqrt{3} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Oplošje tetraedra brida duljine $a$ iznosi $O = a^{2} \sqrt{3}$ .

Primjer 5.

Oplošje pravilne trostrane piramide iznosi $O = (4 \sqrt{3} + 20) {cm}^{2} .$ Duljina osnovnog brida iznosi $a = 4 cm .$ Odredimo površinu pobočja $P$ te pravilne trostrane piramide.

Oplošje pravilne trostrane piramide jednako je zbroju površine baze $B$ i površine pobočja $P .$ Površina baze zadana je duljinom osnovnog brida $a = 4 cm$ i računamo je po formuli za površinu jednakostraničnog trokuta $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

$\begin{array}{l} O = B + P \\ 4 \sqrt{3} + 20 = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + P \\ 4 \sqrt{3} + 20 = \frac{4^{2} \sqrt{3}}{4_{1}} + P \\ 4 \sqrt{3} + 20 = 4 \sqrt{3} + P \\ P = 20 {cm}^{2} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Površina pobočja $P$ te pravilne trostrane piramide iznosi $20 {cm}^{2} .$

Uočimo: Taj smo podatak mogli očitati izravno iz zapisa iznosa oplošja.

Primjer 6.

Duljina brida baze pravilne trostrane piramide iznosi $a = 30 m,$ bočnog brida $b = 25 m .$ Odredimo oplošje te piramide.

Slika prikazuje pravilnu trostranu piramidu s istaknutim pravokutnim trokutom na pobočki

Oplošje računamo po formuli $O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v}{2} .$

Duljina je osnovnog brida $a$ zadana. Potrebnu duljinu visine pobočke $v$ odredit ćemo primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut s katetama duljine $\frac{a}{2} i v$ i hipotenuzom duljine $b .$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} v^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = b^{2} \\ v^{2} + {(\frac{30}{2})}^{2} = 25^{2} \\ v^{2} + 15^{2} = 625 \\ v^{2} = 625 - 225 \\ v^{2} = 400 /^{\sqrt{}} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array} \\ v = 20 m \end{array}$

Izračunajmo oplošje.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v}{2} \\ O = \frac{30^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{30 \cdot 20^{10}}{2_{1}} \\ O = \frac{900^{225} \sqrt{3}}{4_{1}} + 900 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ O = (225 \sqrt{3} + 900) \end{array} \\ O = 225 (\sqrt{3} + 4) m^{2} \end{array}$

Oplošje te piramide iznosi $225 (\sqrt{3} + 4) m^{2} .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Riješite kviz.

Duljina osnovnog brida pravilne trostrane piramide iznosi $a = 2.4 dm,$ a duljina bočnog brida $b = 2 dm .$ Oplošje te piramide iznosi

$O = (1.44 \sqrt{3} + 5.76) dm$

$O = (1.44 \sqrt{3} + 5.76) {dm}^{2}$

$O = (14.4 \sqrt{3} + 576) {dm}^{2}$

$O = (1.44 \sqrt{3} + 5.76) {cm}^{2}$

Pomoć:

$O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v_{a}}{2}$

Postupak:

1. Izračunajmo duljinu visine pobočke $v_{a}$ potrebne za izračun oplošja.

$\begin{array}{l} {(\frac{a}{2})}^{2} + {v_{a}}^{2} = b^{2} \\ {(\frac{2.4}{2})}^{2} + {v_{a}}^{2} = 2^{2} \\ {v_{a}}^{2} = 4 - 1.44 \\ {v_{a}}^{2} = 2.56 \\ v_{a} = 1.6 dm \end{array}$

2. Računanje oplošja.

$\begin{array}{l} O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v_{a}}{2} \\ O = \frac{{2.4}^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{2.4 \cdot 1.6}{2} \\ O = (1.44 \sqrt{3} + 5.76) {dm}^{2} \end{array}$
Oplošje pravilne trostrane piramide iznosi $O = 196 \sqrt{3} + 2016$ kvadratnih metara. Duljina visine pobočke iznosi $v = 48$ metara. Duljina brida baze iznosi metara. Duljina bočnog brida iznosi metara.

Pomoć:

$O = B + P$

Postupak:

$\begin{array}{l} O = B + P \\ O = 196 \sqrt{3} + 2 016 \end{array}$

$\begin{array}{l} B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \\ 196 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \\ a^{2} = 196 \cdot 4 \\ a = 28 m \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\frac{a}{2})}^{2} + {v_{a}}^{2} = b^{2} \\ 14^{2} + 48^{2} = b^{2} \\ b^{2} = 2 500 \\ b = 50 m \end{array}$
Oplošje pravilne trostrane piramide čije je pobočje prikazano na slici iznosi

$O = (\sqrt{3} + 80) {cm}^{2}$

$O = (81 \sqrt{3} + 1 080) cm$

$O = (81 \sqrt{3} + 1 080) {cm}^{2}$

$O = (81 \sqrt{3} + 1 440) {cm}^{2}$

Pomoć:

$O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v_{a}}{2}$

Postupak:

$\begin{array}{l} {(\frac{a}{2})}^{2} + v^{2} = b^{2} \\ 9^{2} + v^{2} = 41^{2} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ v = 40 cm \end{array}$

$\begin{array}{l} O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{a \cdot v_{a}}{2} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ O = \frac{18^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \frac{18 \cdot 40}{2} \\ O = (81 \sqrt{3} + 1 080) {cm}^{2} \end{array}$

Zadatak 6.

Uvježbajte određivanja oplošja $O$ pravilne trostrane prizme u beskonačnoj zbirci koja slijedi. Naizmjenično će biti zadani duljina brida osnovice $a,$ duljina bočnog brida $b$ i duljina visine pobočke $v .$

Za računanje s $\sqrt{3}$ koristite njegovu približnu vrijednost $\sqrt{3} \approx 1.73 .$

Interakcija ima odstupanje od računalnog izračuna $\pm 0.05 .$ (Ako imate veće odstupanje od zadanog i program javlja da vam rezultat nije točan, a ako je rezultat vrlo blizu točnome, smatrajte da ste postupak i izračun dobro napravili).

Zatvori

Trokutni brojevi

Trokutni brojevi su brojevi čiji prikaz množine može oblikovati trokut.

U sljedećoj interakciji istražite trokutne brojeve za $n = 1, 2, 3, 4 i 5 .$ Broj je pokušaja neograničen.

Slika prikazuje prvih sedam trokutnih brojeva — Prvih sedam trokutnih brojeva

Trokutni brojevi prikazani su izrazom $\frac{n (n + 1)}{2} .$ Trokutni broj jednak je polovini umnoška dvaju uzastopnih prirodnih brojeva.

Znači da za svaki prirodni broj $n$ postoji jedan prirodni broj oblika $\frac{n (n + 1)}{2}$ koji je trokutni broj.

Lako možete otkriti koji je sljedeći trokutni broj za $n = 6 .$

$n$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$
$T_{n}$ $n$ -ti trokutni broj	$21$	$28$	$36$	$45$	$55$	$66$	$78$	$91$	$105$

Kutak za znatiželjne

Ispitajte je li $200$ trokutni broj?

Pretpostavimo kako $200$ jest trokutni broj. Tada za njega vrijedi $200 = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

Pojednostavnimo ekvivalentni izraz $n (n + 1) = 400 .$ Brojevi $n$ i $n + 1$ prikazuju dva uzastopna prirodna broja. Kad bi $200$ bio trokutni broj, postojala bi dva uzastopna prirodna broja čiji je umnožak jednak $400 .$

Međutim, znamo da je $400 = 20 \cdot 20 .$ Faktori moraju biti dva uzastopna prirodna broja.

$19 \cdot 20 = 380,$ a $20 \cdot 21 = 420$ .

Broj $200$ nije trokutni broj jer ne postoji prirodni broj $n$ tako da vrijedi $\frac{n (n + 1)}{2} = 200 .$

Tetraedarski brojevi

U animaciji koja slijedi opisano je kako nastaju tetraedarski brojevi i njihovu povezanost s trokutnim brojevima.

Tetraedarski su brojevi brojevi čiji prikaz množine oblikuje tetraedar.

Tetraedarski su brojevi prikazani izrazom $\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

Tetraedarski broj jednak je šestini umnoška bilo koja tri uzastopna prirodna broja.

Znači da za svaki prirodni broj $n$ postoji jedan prirodni broj oblika $\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}$ koji je tetraedarski broj.

Odredite nekoliko sljedećih tetraedarskih brojeva nakon broja $84 .$

$n$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$
$T_{n}$ $n$ -ti tetraedarski broj	$120$	$165$	$220$	$286$	$364$	$455$

Slika prikazuje modele tetraedarskih brojeva izrađene od plastelina — Modeli tetraedarskih brojeva od plastelina

Zanimljivost

Više o povezanosti trokutnih i tetraedarskih brojeva pročitajte na poveznici Pascalov trokut.

Pokus

Napravite od plastelina kuglice približno jednakih oblika i složite što više tetraedarskih brojeva.

9.5 Pravilna trostrana piramida

Na početku...

Mreža pravilne trostrane piramide

Zadatak 1.

Oplošje pravilne trostrane piramide

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zanimljivost

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Visina piramide

Zadatak 7.

Volumen ili obujam piramide

Zadatak 8.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Kutak za znatiželjne

Povezani sadržaji

Zadatak 11.

Zanimljivost

Trokutni brojevi

Kutak za znatiželjne

Tetraedarski brojevi

Zanimljivost

Pokus

...i na kraju

$a$	duljina osnovnog brida, brida baze
$b$	duljina bočnog brida