Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Rotacijska tijela

Valjak, stožac i kuglu često nazivamo rotacijskim tijelima. Za to postoji jednostavan razlog – ta tijela mogu nastati (nastaju) rotacijom nekog lika u prostoru.

Primjerice, rotiramo li pravokutnik oko neke od njegovih stranica, nastat će valjak.

Rotiramo li pravokutni trokut oko neke od njegovih kateta, nastat će stožac.

Rotiramo li polukrug (ili krug) oko njegova promjera, nastat će kugla.

Zadatak 1.

O tim je tijelima bilo riječi u prethodnim jedinicama. Riješite sljedeće zadatke primjenjujući naučeno o valjku, stošcu i kugli, uzimajući u obzir da je riječ o rotacijskim tijelima.

List papira formata A4 $(297 mm \times 210 mm)$ savijen je u plašt valjka. Izračunajte volumen nastalog tijela?

$V \approx 1 475 269 {mm}^{3}$
Ako je visina valjka $210 mm,$ onda je polumjer baze $r \approx 47.3 mm$ pa je $B \approx {47.3}^{2} π \approx 7 025 {mm}^{2} .$

$V \approx 346 783 {mm}^{3}$

$V \approx 1 040 349 {mm}^{3}$
Ako je visina valjka $297 mm,$ onda je polumjer baze $r \approx 33.4 mm$ pa je $B \approx {33.4}^{2} π \approx 3 502.86 {mm}^{2} .$

$V \approx 491 756.3 {mm}^{3}$

Pomoć:

Savijanjem istog pravokutnog komada papira mogu nastati dva različita valjka.

null
Pravokutnik sa stranicama duljina $3 cm$ i $4 cm$ rotira se oko svoje kraće stranice. Oplošje dobivenog valjka je približno ${cm}^{2},$ a volumen tog valjka je približno ${cm}^{3}$ .

Pomoć:

Rotira li se pravokutnik oko svoje kraće stranice, onda je $r = 4 cm$ i $h = 3 cm .$

null
Pravokutnik sa stranicama duljina $3 cm$ i $4 cm$ rotira se oko svoje dulje stranice. Oplošje nastalog valjka iznosi približno ${cm}^{2}$ , a volumen tog valjka je približno ${cm}^{3} .$

Pomoć:

Ako pravokutnik rotira oko svoje dulje stranice, onda je $r = 3 cm$ i $h = 4 cm .$

null

Pravokutni trokut s katetama duljina $3 cm$ i $4 cm$ rotira se

– oko svoje kraće katete

– oko svoje dulje katete.

Spojite odgovarajuće parove.

Slika prikazuje stožac nastavo rotacijom pravokutnog trokuta oko svoje katete.

Polumjer baze drugog stošca	$4 cm$
Volumen prvog stošca	$24 π {cm}^{2}$
Oplošje prvog stošca	$3 cm$
Oplošje drugog stošca	$36 π {cm}^{2}$
Volumen drugog stošca	$16 π {cm}^{3}$
Polumjer baze prvog stošca	$12 π {cm}^{3}$

null

Polukrug površine $50 π {cm}^{2}$ rotira se oko svog promjera. Koliki je volumen nastale kugle?

$243 {cm}^{3}$

$243 π {cm}^{3}$

$972 π {cm}^{3}$

$243 {cm}^{3}$

null

Kutak za znatiželjne

Ako od uspravnog stošca, ravninom koja je paralelna s bazom, odrežemo manji stožac, dobit ćemo...

Krnji stožac

Zanimljivost

Na poveznici pogledajte videoisječak o krnjem stošcu.

Fotografija prikazuje čašu oblika krnjeg stošca.

Fotografija prikazuje kolač oblika krnjeg stošca.

Krnji stožac je geometrijsko tijelo koje nastaje presijecanjem stošca ravninom paralelnom s bazom i odbacivanjem manjega stošca.

Plašt krnjeg stošca sastoji se od dviju baza – krugova polumjera $r_{1}$ i $r_{2}$ i dijela kružnog vijenca (prstena) širine $s .$

Promotrimo uspravni stožac s polumjerom baze duljine $r_{1},$ visinom duljine $h + h_{2}$ i izvodnicom duljine $s + s_{2}$ od kojeg je odrezan stožac s polumjerom baze duljine $r_{2},$ visinom duljine $h_{2}$ i izvodnicom duljine $s_{2}$ .

Oplošje krnjeg stošca računamo kao zbroj površina obiju baza $(B_{1} = {r_{1}}^{2} π$ i $B_{2} = {r_{2}}^{2} π)$ i površine plašta (koji je razlika površine plašta početnog, velikog stošca $(P_{1} = r_{1} π (s + s_{2}))$ i odrezanog, malog stošca $(P_{2} = r_{2} π s_{2}) .$

Volumen je krnjeg stošca jednak razlici volumena velikog i malog stošca.

Uočite na slici da su, zbog činjenice da je $A B ∥ C D,$ trokuti $A B V$ i $C D V$ međusobno slični (imaju kutove jednakih veličina). To znači da su duljine njihovih odgovarajućih stranica međusobno proporcionalne.

Primjer 1.

Od stošca s polumjerom baze duljine $6 cm$ s visinom duljine $4.5 cm$ odrezan je stožac kojemu je polumjer baze $2 cm .$ Izračunajmo oplošje i volumen nastaloga krnjeg stošca.

Slika prikazuje presjek i nadopunu krnjeg stošca.

Uz oznake kao na slici vrijedi $r_{1} = 6 cm,$ $r_{2} = 2 cm$ i $h + h_{2} = 4.5 cm .$

Trokuti $A B V$ i $C D V$ slični su s koeficijentom $|A B| : |C D| = 6 : 2 = 3 : 1 = 3,$ odakle zaklučujemo da je $h_{2} + h = 3 h_{2},$ tj. $h = 2 h_{2} .$

Slično zaključujemo da je $s_{2} + s = 3 s_{2},$ tj. $s = 2 s_{2} .$

Prema zadanim podatcima dobivamo da je $h_{2} = 1.5 cm$ i $h = 3 cm .$

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $C D V$ dobivamo da je $s_{2} = 2.5 cm$ pa je $s = 5 cm .$

Uvrštavanjem u formule za površinu baze i plašta za veliki i mali stožac dobivamo:

$B_{1} = {r_{1}}^{2} π = 36 π {cm}^{2}$
$B_{2} = {r_{2}}^{2} π = 4 π {cm}^{2}$
$P_{1} = r_{1} π (s + s_{2}) = 6 π \cdot 7.5 = 45 π {cm}^{2}$
$P_{2} = r_{2} π s_{2} = 2 π \cdot 2.5 = 5 π {cm}^{2} .$

Oplošje je tog krnjeg stošca $O = B_{1} + B_{2} + P_{1} - P_{2} = 36 π + 4 π + 45 π - 5 π = 80 π {cm}^{2} .$

Volumen je velikog stošca $V_{1} = \frac{1}{3} B_{1} (h + h_{2}) = \frac{1}{3} \cdot 36 π \cdot 4.5 = 54 π {cm}^{3},$ a volumen je malog stošca $V_{2} = \frac{1}{3} B_{2} h_{2} = \frac{1}{3} \cdot 4 π \cdot 1.5 = 2 π {cm}^{3}$ pa je volumen krnjeg stošca jednak $V_{1} - V_{2} = 54 π - 2 π = 52 π {cm}^{3} .$

Zanimljivost

Slika prikazuje krnji stožac s oznakama.

Slika prikazuje slične trokute u krnjem stošcu.

Oplošje i volumen krnjeg stošca mogu se izračunati na jednostavniji način. Naime, postoje gotove formule koje možete pronaći u raznim matematičkim priručnicima.

Tako ćete u takvim priručnicima pronaći formule:

$O = ({r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} + (r_{1} + r_{2}) s) \cdot π$ i

$V = \frac{1}{3} ({r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} + r_{1} \cdot r_{2}) π \cdot h .$

Istinitost tih formula posljedica je sličnosti trokuta $A E C$ i $C D V$ prikazanih na drugoj slici.

Provjerite rješenje prethodnog zadatka primjenjujući te formule!

Zadatak 2.

Fotografija prikazuje posudu za cvijeće.

Posuda za cvijeće ima oblik krnjeg stošca. Promjer je veće baze $60 cm,$ a manje $48 cm .$ Njezina je dubina $70 cm,$ a napunjena je zemljom do $80 %$ svoje visine. Koliki je volumen zemlje u posudi?

Sanja želi bočnu stranu posude obojiti smeđom bojom. Kolika je površina koju treba obojiti?

Uputa: Primijenite formule navedene u Zanimljivosti.

Slika prikazuje oblik posude za cvijeće s dimenzijama.

Volumen zemlje u posudi jednak je $80 %$ volumena posude.

Budući da se volumen krnjeg stošca računa prema formuli

$V = \frac{1}{3} ({r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} + r_{1} \cdot r_{2}) π \cdot h,$

uvrštavanjem poznatih podataka dobivamo da je

$V = \frac{1}{3} (30^{2} + 24^{2} + 30 \cdot 24) π \cdot 70,$

što je približno $160 900 {cm}^{3},$ tj. $160.9$ litara.

Volumen zemlje u posudi približno je $128.7$ litara.

Treba obojiti plašt krnjeg stošca. Njegova se površina računa prema formuli $P = (r_{1} + r_{2}) s \cdot π .$

Duljinu izvodnice nalazimo primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut s katetama duljina $r_{1} - r_{2}$ i $h$ (kao na slici) i ona je približno jednaka $70.3 cm .$

Uvrštavanjem u formulu za površinu plašta krnjeg stošca dobivamo $P \approx (30 + 24) \cdot 70.3 \cdot 3.14 = 11 920 {cm}^{2} .$

Kutak za znatiželjne

U svakodnevnom se životu geometrijska tijela često međusobno kombiniraju, dopunjavaju ili se iz jednih izrezuju druga... Evo nekoliko takvih zadataka.

Kombinirana tijela

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Marko je kupio grafitnu olovku oblika valjka. Želi započeti s njezinim korištenjem, no prije toga je mora naoštriti. Promjer olovke je $1 cm,$ a duljina noža šiljila koje upotrebljava Marko je $13 mm .$ Koliki je najmanji mogući obujam otpadnog materijala?

Šiljenjem olovke valjkasta oblika završetak postaje oblika stošca.

Polumjer baze valjka i stošca je $5 mm,$ a duljina noža šiljila odredit će duljinu izvodnice stošca. Primjenom Pitagorina poučka dobiva se visina stošca $12 mm .$

Volumen otpadnog materijala jednak je razlici volumena valjka i volumena stošca jednakih polumjera baze $(5 mm)$ i jednakih visina $(12 mm)$ i iznosi $\frac{2}{3}$ volumena valjka.

Uvrštavanjem zadanih podataka dobiva se da je taj volumen jednak približno $628 {mm}^{3} .$

Zadatak 4.

Volumen je šupljeg valjka $120 π {cm}^{3} .$ Promjer je vanjskog dijela $8 cm,$ a unutarnjeg $2 cm .$ Koliko je njegovo oplošje?

Baza šupljeg valjka je kružni vijenac omeđen kružnicama polumjera $4 cm$ i $1 cm .$ Površina je baze jednaka $B = {r_{1}}^{2} π - {r_{2}}^{2} π,$ što nakon uvrštavanja daje $B = 15 π {cm}^{2} .$

Volumen valjka računa se prema formuli $V = B h,$ odakle dobivamo da je visina tog valjka $8 cm .$

Oplošje tog valjka sastoji se od površina dviju baza te površina vanjskog i unutarnjeg plašta.

Površina je vanjskog plašta jednaka $P_{v} = 2 r_{1} π h = 2 \cdot 4 \cdot π \cdot 8 = 64 π {cm}^{2},$ a unutarnjeg plašta $P_{u} = 2 r_{2} π h = 2 \cdot 1 \cdot π \cdot 8 = 16 π {cm}^{2} .$

Oplošje je jednako $O = 2 \cdot 15 π + 64 π + 16 π = 110 π {cm}^{2} .$

Zadatak 5.

Slika prikazuje dvostruki stožac sa zajedničkom bazom.

Trokut sa stranicama duljina $a = 15 cm,$ $b = 13 cm$ i $c = 14 cm$ rotira se oko stranice $\bar{A B} .$ Izračunaj oplošje i obujam nastaloga rotacijskog tijela.

Neka je točka $E$ nožište visine iz vrha $C$ na stranicu $\bar{A B} .$

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutne trokute $A C E$ i $B C E$ dobivamo da je $C E_{2} = A C_{2} - A E_{2}$ i $C E_{2} = B C_{2} - B E_{2}$ .

Izjednačavanjem desnih strana tih jednakosti dobivamo $A C_{2} - A E_{2} = B C_{2} - B E_{2}$ .

Uvrštavanjem poznatih podataka, uz uvažavanje činjenice da je $|B E| = |A B| - |A E| = 15 - x,$ dobivamo $13^{2} - x^{2} = 15^{2} - (14 - x)^{2} .$

Dalje je redom:

$169 - x^{2} = 225 - (196 - 28 x + x^{2})$
$169 - x^{2} = 225 - 196 + 28 x - x^{2}$
$28 x = 140$
$x = |A E| = 5 cm .$

Tada je $|E B| = 14 - 5 = 9 cm$ i ${|C E|}^{2} = 13^{2} - 5^{2}$ pa je $|C E| = 12 cm .$

Nastalo se rotacijsko tijelo sastoji od dvaju stožaca sa zajedničkom bazom polumjera $12 cm .$

Visina je jednog stošca $5 cm,$ a drugoga $9 cm$ pa su njihovi volumeni jednaki $V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot π \cdot 5 = 240 π {cm}^{3}$ i $V_{2} = \frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot π \cdot 9 = 432 π {cm}^{3} .$ Ukupan je volumen tijela jednak $V_{1} = 672 π {cm}^{3} .$

Duljina je izvodnice jednog stošca $13 cm,$ a drugoga $15 cm$ pa su površine njihovih plaštova jednake $P_{1} = 12 \cdot 13 π = 156 π {cm}^{2}$ i $P_{2} = 12 \cdot 15 π = 180 π {cm}^{2} .$

Oplošje tog tijela jednako je zbroju površina obaju plašteva i iznosi $O = 336 π {cm}^{2} .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Kotao oblika valjka s obje strane zatvoren je polukuglama. Promjer je kotla $2 m,$ a njegova ukupna duljina $5.5 m .$ Koliko litara vode stane u taj kotao?

Slika prikazuje kotao obika valjka zatvoren polukuglama - presjek

Površina baze valjka (i glavnog presjeka kugle) računa se kao $B = r^{2} π$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $B \approx 3.14 m^{2} \approx 314 {dm}^{2} .$

Volumen valjka tada je jednak $V_{v} \approx 314 \cdot 35 = 10 990 {dm}^{3} .$

Volumen dviju polukugli jednak je volumenu cijele kugle s polumjerom duljine $10 dm .$

Taj je volumen jednak $V_{k} = \frac{4}{3} \cdot 10^{3} π \approx 4 186.7 {dm}^{3} .$

Volumen kotla jednak je zbroju volumena valjka i kugle i iznosi približno $15 176.7 {dm}^{3},$ tj. $15 176.7$ litara.

Zadatak 7.

Čaša ima oblik valjka i njezin je obujam $2 dl .$ Čaša je ispunjena sokom do $75 %$ svoje visine. Maja želi rashladiti sok tako da u njega ubaci nekoliko kuglica leda. Svaka kuglica ima promjer $3 cm .$ Koliko najviše kuglica smije staviti u čašu da se sok ne bi prelio iz čaše?

Obujam čaše je $2 dl$ , tj. $200 {cm}^{3},$ a soka u njoj $150 {cm}^{3} .$ Dakle, praznog prostora u čaši ima najviše $50 {cm}^{3} .$ Svaka kuglica leda ima obujam od približno $14.13 {cm}^{3}$ pa Maja u čašu smije dodati najviše $3$ kuglice leda.

Zadatak 8.

Stara mornarska škrinja ima oblik pravilne četverostrane prizme s osnovnim bridom duljine $60 cm$ i visinom $90 cm .$ Njezin poklopac ima oblik poluvaljka. Koliki je volumen škrinje?

Volumen je prizme jednak $V_{p r i z m e} = 60 \cdot 60 \cdot 90 = 324 000 {cm}^{3},$ a volumen je poluvaljka $V_{p o l u v a l j k a} = \frac{1}{2} \cdot 30^{2} π \cdot 90 = 40 500 π \approx 127 170 {cm}^{3} .$

Volumen je škrinje približno $451 170 {cm}^{3} .$

Zatvori

Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Rotacijska tijela

Zadatak 1.

Kutak za znatiželjne

Krnji stožac

Zanimljivost

Zanimljivost

Zadatak 2.

Kutak za znatiželjne

Kombinirana tijela

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

...i na kraju