Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Jednom davno u zelenoj Irskoj živio je vilenjak Matko. Toga se dana Matko odmarao na mekanoj travi ispod krošnje velikog stabla upravo u trenutku kada se na nebu pojavila duga. Ispod duge Matko je pronašao lončić sa zlatnim novčićima. Vijest o svome otkriću Matko je podijelio sa svojim prijateljima i poznanicima.

Kada je došao kući, blago je brižno sakrio i već sljedećeg jutra namjeravao ga je odnijeti gradonačelniku kako bi se mogla izgraditi nova knjižnica i opremiti je novim i zanimljivim knjigama. Uzbuđen, Matko je zaspao.

Ujutro se spremio i uputio prema skrovištu kada je primijetio da je opljačkan! Krenula je velika potraga. Ubrzo se popis osumnjičenih sveo na šest osoba: Vilenjak Srećko, Čarobna Djetelina, Gradonačelnik Krumpirko, učiteljica plesa, Druid i Sveti Patrik.

Slika prikazje lončić s blagom ispod duge.

Slika prikazuje osumnjičene za krađu lončića s blagom.

Ispitani su brojni svjedoci koji su pojedinim osumnjičenicima osigurali alibije.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Svjedok broj 1, Albert E. Braden izjavio je:

Nacrtajte na papiru kvadar $A B C D E F G H,$ pa ispišite sve pravce koji prolaze vrhom $A,$ pri čemu vrijedi:

a. pravci sadrže bridove kvadra

b. pravci sadrže plošne dijagonale kvadra

c. pravci sadrže prostorne dijagonale kvadra.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $4,$ u pubu sam te večeri bio s Vilenjakom Srećkom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $5,$ bio sam u kinu s učiteljicom plesa.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $7,$ bio sam na koncertu s Druidom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $8,$ bio sam u šetnji s Čarobnom Djetelinom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $9,$ bio sam na večeri s Gradonačelnikom Krumpirkom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $12,$ bio sam u gostima kod Svetog Patrika.

Zadatak 2.

Svjedok broj 2, Branden Carrol izjavio je:

Nacrtajte na papiru kvadar $A B C D E F G H$ i istaknite ravninu $A D H .$
Navedite sve pravce određene vrhovima tog kvadra koji pripadaju toj ravnini.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $4,$ večer sam proveo u društvu Vilenjaka Srećka.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $6,$ večer sam proveo u društvu učiteljice plesa.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $8,$ večer sam proveo u društvu Druida.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $10,$ večer sam proveo u društvu Čarobne Djeteline.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $12,$ večer sam proveo u društvu Gradonačelnika Krumpirka.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $14,$ večer sam proveo u društvu Svetog Patrika.

Zadatak 3.

Svjedok broj 3, Bree Connelly izjavila je:

Nacrtajte na papiru kvadar $A B C D E F G H$ i istaknite ravninu $B D H .$ Navedite sve pravce određene vrhovima tog kvadra koji probadaju tu ravninu u točki $B .$

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $1,$ bila sam u fitness centru s Vilenjakom Srećkom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $2,$ bila sam u fitness centru s učiteljicom plesa.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $3,$ bila sam u fitness centru s Druidom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $4,$ bila sam u fitness centru s Čarobnom Djetelinom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $5,$ bila sam u fitness centru s Gradonačelnikom Krumpirkom.

Ako je ukupan broj ispisanih pravaca $6,$ bila sam u fitness centru sa Svetim Patrikom.

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Svjedok broj 4, Fergus Connor izjavio je:

Nacrtajte na papiru kvadar $A B C D E F G H$ i na slici istaknite pravac $C F .$ Odredite položaj tog pravca u odnosu na ravninu $B F H .$

Ako je pravac paralelan sa zadanom ravninom, na izletu u Limericku bio sam sa Svetim Patrikom.

Ako pravac pripada zadanoj ravnini, na izletu u Limericku bio sam s Čarobnom Djetelinom.

Ako pravac probada zadanu ravninu, na izletu u Limericku bio sam s Vilenjakom Srećkom.

Zadatak 5.

Svjedok broj 5, Nora Donoghue izjavila je:

Nacrtajte na papiru kocku $A B C D E F G H$ i istaknite ravnine $A C G$ i $F H D .$ U kakvom su međusobnom položaju te ravnine?

Ako su ravnine paralelne, onda sam bila u društvu osobe koja je povezana s velikom nestašicom hrane u Irskoj između 1845. i 1849. godine.

Ako su ravnine okomite, onda sam bila u društvu osobe koja je prognala zmije iz Irske.

Zadatak 6.

Tko nema alibi? Tko je ukrao lončić s blagom?

Zatvori

Zanimljivost

Bonus zadatci:

Zašto je djetelina s tri lista simbol Irske?

Kako se zove američko-irski plesač koji može napraviti $37$ step udaraca u sekundi te je time ušao u Guinnessovu knjigu rekorda?

Tko su druidi?

Što irski vilenjaci (leprechaun) prema legendi rade cijele dane?

Rješenja pojedinačnih zadataka:

Ukupno je ispisano $7$ pravaca: a) $A B$ i $A D$ ; b) $A F$ , $A H$ i $A B$ ; c) $A C .$ Alibi ima Druid.
Ukupan broj ispisanih pravaca je $6 :$ $A D$ , $D H$ , $H E$ ; $E A$ , $E D$ i $A H$ . Alibi ima učiteljica plesa.
Ukupno su ispisana četiri pravca: $B C$ , $B G$ , $B E$ i $B A$ . Alibi ima Čarobna Djetelina.
Pravac $C F$ probada ravninu $B F H$ u točki $F .$ Alibi ima Vilenjak Srećko.
Ravnine $A C G$ i $F H D$ su okomite. Alibi ima Sveti Patrik.

Konačno rješenje: Alibi nema Gradonačelnik Krumpirko te je on ukrao lončić s blagom.

Rješenja bonus zadatka iz "Zanimljivosti":

Sveti Patrik je Irce poučavao da je djetelina s tri lista simbol Irske.

Američko-irski plesač koji može napraviti $37$ step udaraca u sekundi i time je ušao u Guinnessovu knjigu rekorda zove se Michael Flatley.

U kulturi starih Kelta, druidi su bili svećenici.

Popravljaju cipele i skrivaju lončiće s blagom na kraju duge.

Kut pravca i ravnine

U sljedećoj animaciji istražite što je i kako se određuje kut pravca i ravnine.

Određivanje kuta pravca i ravnine

Kut pravca $p$ i ravnine $R$ je kut koji zatvara pravac $p$ i njegova ortogonalna projekcija na ravninu $R$ .

Primjer 1.

Zadana je kocka $A B C D E F G H$ . Odredimo veličinu kuta koji s ravninom $A B C$ zatvara pravac:

$B D$
$G C$

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH, ravninu ABC i pravce BD i GC.

Budući da pravac $B D$ pripada ravnini $A B C$ , taj se pravac podudara sa svojom ortogonalnom projekcijom na ravninu $A B C$ . U tom slučaju pravac i ravnina zatvaraju kut veličine $0 ° .$
Pravac $G C$ probada ravninu $A B C$ u točki $C$ i ta je točka ortogonalna projekcija pravca $G C$ na ravninu $A B C$ . Ortogonalna je projekcija pravca točka samo u slučaju da je pravac okomit na ravninu projekcije. U tom slučaju pravac i ravnina zatvaraju kut veličine $90 ° .$

$E H$
$C F$ .

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH, ravninu ABC i pravce EH i CF.

Budući da je pravac $E H$ paralelan s ravninom $A B C$ , ortogonalna je projekcija pravca $E H$ na ravninu $A B C$ pravac $A D$ . I u tom slučaju pravac i ravnina zatvaraju kut veličine $0 ° .$
Pravac $F C$ probada ravninu $A B C$ u točki $B C$ , a ortogonalna je projekcija pravca $F C$ na ravninu $A B C$ pravac $B C .$ Budući da su strane kocke kvadrati, potrebno je odrediti veličinu kuta između pravca $F C$ koji sadrži plošnu dijagonalu i pravca $B C$ koji sadrži brid kocke. U tom slučaju pravac $F C$ i ravnina $A B C$ zatvaraju kut veličine $45 ° .$

Zadatak 7.

Pomoću sljedeće interakcije promotrite kut pravca i ravnine na modelu kocke.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH, pravac CE i ravninu FGH.

Duljine su bridova kvadra $A B C D E F G H$ $|A B| = 4 cm,$ $|B C| = 3 cm$ i $|B F| = 5 cm .$ Kolika je veličina kuta koji zatvara pravac $C E$ s ravninom $F G H$ ?

Prva slika prikazuje kvadar ABCDEFGH, pravac CE i ravninu FGH te ortogonalnu projekciju pravca CE na zadanu ravninu. Druga slika prikazuje kut pravca i ravnine.

Ortogonalna projekcija pravca $C E$ na ravninu $F G H$ je pravac $E G .$

Pravci $C E$ i $E G$ pripadaju ravnini $C G E$ kojoj pripada dijagonalni presjek kvadra - pravokutnik $A C G E .$ Budući da je (dobiveno primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $E F G$ ) duljina dijagonale $\bar{C E}$ jednaka $5 cm,$ zaključujemo da je pravokutnik $E C G E$ kvadrat.

Zato je veličina kuta koji zatvara pravac $C E$ s ravninom $F G H$ jednaka veličini kuta koji zatvaraju dijagonala i stranica kvadrata, tj. iznosi $45 ° .$

Zadatak 9.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH, ravninu ABCD i pravac ED.

Duljine su bridova kvadra $A B C D E F G H$ $|A B| = 3 cm,$ $|B C| = 3 cm$ i $|B F| = 3 \sqrt{3} cm .$ Kolika je veličina kuta koji zatvara pravac $D E$ s ravninom $A B C ?$

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH, ravninu ABC i pravac ED. Druga slika prikazuje kut pravca i ravnine.

Ortogonalna je projekcija pravca $D E$ na ravninu $A B C$ pravac $A D .$

Pravci $D E$ i $A D$ pripadaju ravnini $A D H$ kojoj pripada strana kvadra - pravokutnik $A D H E .$ Budući da je (dobiveno primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $A D E$ ) duljina dijagonale $\bar{D E}$ jednaka $6 cm,$ zaključujemo da je trokut $A D E$ polovina jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $6 cm .$

Zato je veličina kuta koji zatvara pravac $D E$ s ravninom $A B C$ jednaka veličini kuta koji zatvaraju susjedne stranice jednakostraničnog trokuta, tj. iznosi $60 ° .$

Zatvori

Zanimljivost

Kut pravca i ravnine dodatno možete proučiti pomoću interakcije na linku i/ili linku (na engleskome jeziku).

Kut dviju ravnina

Na slici su prikazane standardne verzije nagiba krova na zgradama. Oznaka $" 12 / 5 "$ znači da na $12$ jedinica širine (horizontalnog pomaka) dolazi $5$ jedinica visine (vertikalnog pomaka).

Slika prikazuje kut dviju ravnina - između dviju stranica knjige

Slika prikazuje kut dviju ravnina na između ekrana i tipkovnice prijenosnog računala.

Fotografija prikazuje kut dviju ravnina na modelu krova kuće.

Dvije ravnine u prostoru mogu se ili podudarati ili biti različite.

Ako su ravnine različite, mogu biti u sljedećim položajima:

ravnine nemaju zajedničkih točaka, tj. one su paralelne

ravnine imaju jedan zajednički pravac koji nazivamo njihovom presječnicom.

Ravnine $R_{1}$ i $R_{2}$ na slici su paralelne. Ravnine $R_{3}$ i $R_{4}$ na slici se sijeku.

Za dvije paralelne ravnine kažemo da zatvaraju kut veličine $0 ° .$

Kut između dviju ravnina koje se sijeku jednak je kutu između bilo koja dva pravca koji pripadaju tim ravninama (po jedan u svakoj od njih), a okomiti su na njihovu presječnicu.

Ukršteni pravci (pomoću kojih mjerimo kut između dviju ravnina) pripadaju bilo kojoj ravnini okomitoj na njihovu presječnicu.

Zanimljivost

Za dodatne primjere pogledajte video isječak, a za bolju vizualizaciju proučite interakciju (na engleskome jeziku). Također, možete istraživati kutove dviju ravnina na modelu kvadra i kocke (namjestite da duljina, širina i visina budu jednake) pomoću interakcije na engleskome jeziku.

Dvije su ravnine međusobno okomite ako jedna od tih ravnina sadrži barem jedan pravac koji je okomit na drugu ravninu.

Zadatak 10.

Zadan je kvadar $A B C D E F G H$ . Promotrite sliku i riješite sljedeće zadatke.

Koje su tvrdnje istinite za ravnine $A B C$ i $C G H$ ?

Ravnine $A B C$ i $C G H$ međusobno su paralelne.

Ravnine $A B C$ i $C G H$ imaju samo jednu zajedničku točku.

Ravnine $A B C$ i $C G H$ međusobno su okomite.

Ravnine $A B C$ i $C G H$ imaju točno dvije zajedničke točke.

Ravnine $A B C$ i $C G H$ sijeku se po pravcu $C D$ .

null

null
Koja je od sljedećih tvrdnji istinita?

Ravnina $A B G$ uvijek je okomita na ravninu $E F C$ .

Ravnina $A B G$ nikad nije okomita na ravninu $E F C$ .

Ravnina $A B G$ može biti okomita na ravninu $E F C$ .

null

null
Na ravninu $A D H$ nije okomita ravnina .

null

null

Povezani sadržaji

Međusobni položaj pravaca i ravnina u prostoru važan je u mnogim svakodnevnim situacijama. Bez dobre "orijentacije u prostoru" teško je zamisliti stručnjake poput arhitekata, građevinara, geodeta, ali i stomatologa, liječnika, pilota...

Tijela u prostoru - pogledi

Primjer 2.

Maja obilazi građevinu prikazanu na slici. Građevina je izgrađena od 6 sukladnih kocaka. U svoj blok crta poglede na građevinu (sprijeda (nacrt), zdesna (desni bokocrt), straga, slijeva (lijevi bokocrt) i odozgo (tlocrt)). Kako izgledaju Majini crteži?