Matematika 8 - 6.4 Osna simetrija

Na početku...

Što je zajedničko slikama koje slijede? Osna simetrija - tako kaže naslov.

A što je to osna simetrija?

Na fotografiji je prikazana mačka i njen odraz u ogledalu.

Fotografija prikazuje labuda i njegov odraz u vodi.

Na fotografiji je odraz stijena u vodi jezera Zmajevo oko u Rogoznici.

Fotografija prikazuje djevojku i njenu slika u ogledalu.

Osna simetrija? Pa to je zrcaljenje!

Zanimljivost

Poigrajte se osnom simetrijom. Iscrtkana linija os je simetrije preko koje trebate preslikati zadane likove.

Odabirom kvadratića, on će se osjenčati. Ako želite provjeriti svoje rješenje, pritisnite tipku Check. Ako želite promijeniti položaj osi simetrije, odaberite tipku V/H/D line. Ako želite prijeći na novi zadatak, odaberite tipku New shape.

U sljedećem video-isječku pogledajte primjenu osne simetrije u umjetnosti.

Osna simetrija u likovnoj umjetnosti

Kako nastaje slika u zrcalu?

Neka je u ravnini zadan pravac $o$ i točka $A$ koja mu ne pripada. Točkom $A$ nacrtamo okomicu na pravac $o$ . Ta okomica siječe pravac o u točki $A_{1} .$ Kružnica sa središtem u točki $A_{1},$ koja prolazi točkom $A$ , siječe nacrtanu okomicu u točki $A' .$

U ravnini je zadan pravac $o$ . Taj pravac određuje preslikavanje koje svakoj točki $A$ te ravnine pridružuje točku $A'$ iste ravnine, pri čemu je pravac $o$ simetrala dužine $\bar{A A'} .$

To preslikavanje nazivamo osna simetrija (ili zrcaljenje). Pravac $o$ zovemo os simetrije.

Točka $A'$ je osnosimetrična slika točke $A$ s obzirom na pravac $o$ .

Budući da točke $A$ i $A'$ pripadaju istoj kružnici sa središtem u točki $A_{1},$ zaključujemo da je $|A A_{1}| = |A_{1} A'| .$ Dakle, točka $A_{1}$ je polovište dužine $\bar{A A'},$ a pravac $o$ (os simetrije) simetrala je te dužine.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Preslikajte lik s obzirom na os simetrije, pravac $o$ .

Na slici su dva četverokuta nacrtana u mreži kvadratića i pravac o (os simetrije).

Na slici su dva četverokuta nacrtana u mreži kvadratića i njihove osnosimetrične slike s obzirom na zadanu os simetrije.

Zadatak 2.

Na slici je lik nacrtan u mreži kvadratića i pravac o (os simetrije).

Preslikajte lik s obzirom na os simetrije, pravac $o$ .

Na slici je lik nacrtan u mreži kvadratića i negova osnosimetrična slika s obzirom na zadanu os simetrije.

Zatvori

Primjer 1.

Konstruirajmo osnosimetrične slike točaka $A$ , $B$ i $C$ s obzirom na pravac $o$ kao os simetrije.

Na slici su točke A, B i C te pravac o, pri čemu su točke A i B s različitih strana pravca o, dok točka C pripada pravcu o. Određene su osnosimetrične slike tih triju točaka s obzirom na pravac o.

Svakoj točki konstruiramo osnosimetričnu točku na ranije opisani način.

Ako se točka nalazi na osi simetrije, ona se osnom simetrijom preslikava sama na sebe.

Da bismo odredili osnosimetričnu sliku dužine, trokuta, četverokuta, mnogokuta, kruga itd., dovoljno je odrediti osnosimetrične slike značajnih točaka tog lika.

Primjer 2.

Odredimo osnosimetričnu sliku pravca $p$ s obzirom na os simetrije $o$ .

Na slici je prikazan način određivanja osnosimetrične slike pravca p s obzirom na pravac o.

Odaberimo bilo koje dvije točke $A$ i $B$ pravca $p$ i odredimo njihove osnosimetrične slike $A'$ i $B'$ s obzirom na pravac $o$ . (Točka $C$ , koja je presjek pravca $p$ i osi simetrije $o$ , preslikat će se sama u sebe.)

Zadatak 3.

Koristeći interakciju, odredite osnosimetrične slike zadanih točaka s obzirom na zadani pravac. Slike točaka trebate ucrtati na odgovarajuća mjesta u mreži kvadratića.

Svojstva osne simetrije

Uočimo na slici pravokutne trokute $A A_{1} C$ i $A' A_{1} C .$ Dužina $\bar{A_{1} C}$ njihova je zajednička kateta, a prema definiciji osne simetrije vrijedi $|A A_{1}| = |A' A_{1}| .$ Iz toga zaključujemo da su trokuti $A A_{1} C$ i $A' A_{1} C$ sukladni, tj. da vrijedi $|A C| = |A' C|$ . Sličnim zaključivanjem dobivamo da su sukladni trokuti $B B_{1} C$ i $B' B_{1} C,$ tj. da je $|B C| = |B' C|$ . Konačno, iz $|A C| = |A' C|$ i $|B C| = |B' C|$ slijedi da je $|A B| = |A' B'|$ , što znači da vrijedi:

Osnosimetrična slika dužine je dužina jednake duljine.

Na slici je pravac p i njegova osnosimetrična slika, pravac p', s obzirom na os o. Na pravcu p istaknute su točke A i B, dok je točka C presjek pravaca p i o.

Promotrimo trokut $A B C$ i njegovu osnosimetričnu sliku $A' B' C' .$

Na slici je trokut ABC i njegova osnosimetrična slika A'B'C' s obzirom na os o.

Prema gore dokazanom svojstvu zaključujemo da za trokut $A B C$ i njegovu osnosimetričnu sliku, trokut $A' B' C',$ vrijedi: $|A B| = |A' B'|$ , $|A C| = |A' C'|$ i $|B C| = |B' C'|$ . To znači da su trokuti $A B C$ i $A' B' C'$ međusobno sukladni.
Sukladni trokuti imaju jednake veličine odgovarajućih kutova, pa zaključujemo da osna simetrija čuva veličinu kutova.

Osnosimetrična slika kuta je kut jednake veličine.

Ako se točka nalazi na osi simetrije, ona se osnom simetrijom preslikava sama na sebe.

Osnosimetrična slika dužine je dužina sukladna početnoj dužini.

Osnosimetrična slika kuta sukladna je početnom kutu.

Osnosimetrična slika mnogokuta je mnogokut sukladan početnom.

Osnosimetrična slika geometrijskog lika je lik sukladan početnom.

Zanimljivost

Provjerite je li kanarinac Tweety osnosimetričan.

Zadatak 4.

U sljedećim zadatcima provjerite koliko ste do sada naučili o osnoj simetriji.

Lik $B$ dobiven je kao osnosimetrična slika lika $A .$

Da

Ne

null

null
Lik $B$ je osnosimetrična slika lika $A .$

Da

Ne

null

null
Koji su od likova nastali kao osnosimetrična slika lika $A ?$

$B$

$C$

$D$

$E$

null

null

Osna simetrija u koordinatnom sustavu

Primjer 4.

U pravokutnom koordinatnom sustavu zadana je dužina $\bar{A B}$ kao na slici.

Nacrtajte na papiru osnosimetričnu sliku zadane dužine $\bar{A B}$ i odredite koordinate rubnih točaka preslikane dužine s obzirom na:

a. $x$ -os

a. $A (- 7, 2),$ $B (- 3, 4)$

$A' (- 7, - 2),$ $B (- 3, - 4)$

b. $y$ -os

Na slici je dužina AB i njezina osnosimetrična slika s obzirom na y-os.

b. $A (- 7, 2),$ $B (- 3, 4)$

$A'' (7, - 2),$ $B'' (3, - 4)$

c. simetralu I. i III. kvadranta.

Na slici je dužina AB i osnosimetrična slika te dužine s obzirom na simetralu I. i III. kvadranta.

c. $A (- 7, 2),$ $B (- 3, 4)$

$A''' (2, - 7),$ $B''' (4, - 3)$

Zadatak 9.

Koristeći interakciju, odredite osnosimetričnu sliku četverokuta $A B C D$ s cjelobrojnim koordinatama vrhova u odnosu na odabranu os simetrije. Možete odabrati:

$x$ -os
$y$ -os
simetralu I. i III. kvadranta (pravac s jednadžbom $y = x$ )
simetralu II. i IV. kvadranta (pravac s jednadžbom $y = - x$ ).

Promotrite koordinate vrhova slike četverokuta pri svakom od ovih preslikavanja. Uočavate li neku pravilnost?

Mijenjajte položaj vrhova zadanog četverokuta i provjerite svoje zaključke.

Osnosimetrična slika točke $T (x, y)$ s obzirom na $x$ -os je točka $T' (x, - y) .$
Osnosimetrična slika točke $T (x, y)$ s obzirom na $y$ -os je točka $T' (- x, y) .$
Osnosimetrična je slika točke $T (x, y)$ s obzirom na simetralu I. i III. kvadranta, točka $T' (y, x) .$
Osnosimetrična je slika točke $T (x, y)$ s obzirom na simetralu II. i IV. kvadranta, točka $T' (- y, - x) .$

Kutak za znatiželjne

Osim osne simetrije, kojoj je os $x$ -os ili $y$ -os, ili simetrala I. i III., odnosno II. i IV. kvadranta, moguće je razmatrati osnu simetriju s obzirom na bilo koji pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Dužina $\bar{A B}$ zadana je koordinatama svojih rubnih točaka, $A (2, 5)$ i $B (- 3, - 2) .$ Odredite osnosimetričnu sliku dužine $\bar{A B}$ s obzirom na pravac čija jednadžba u pravokutnom koordinatnom sustavu glasi:

a. $y = 3$

Na slici je dužina AB i njezina osnosimetrična slika s obzirom na paralelu s x-osi.

b. $x = - 1$

Na slici je dužina AB i njezina osnosimetrična slika s obzirom na paralelu s y-osi.

c. $y = - 2 x$

Na slici je dužina AB i njezina osnosimetrična slika s obzirom na općeniti pravac u koordinatnom sustavu.

Zadatak 11.

Nakon što ste proučili „ponašanje" koordinata točaka pri osnoj simetriji u pravokutnom koordinatnom sustavu, riješite zadatke. Pri rješavanju ili provjeri svojih rješenja možete koristiti interakciju.

Četverokut $A B C D$ prikazan na slici preslikan je osnom simetrijom s obzirom na $y$ -os. Slike kojih točaka imaju ispravno određene koordinate?

$A' (7, 2)$

$B' (6, 0)$

$C' (3, 4)$

$D' (8, 5)$

null
Promotrite sliku.

Koordinate slike točke $A$ u osnoj simetriji s obzirom na pravac $o$ su $A' (6, - 2) .$

Da
$A' (- 2, 6)$

Ne

Pomoć:

Os simetrije je simetrala II. i IV. kvadranta.

null

Točka $T$ u koordinatnom sustavu ima koordinate $T (- 4, - 1) .$ Ona je preslikana osnom simetrijom s obzirom na jednu od četiri istaknute osi. Spojite parove osi simetrije i koordinata preslikane točke s obzirom na tu os.