Matematika 8 - 4.1 Pitagorin poučak

Na početku...

Slika prikazuje kvadrat nacrtan u kvadratnoj mreži unutar kojeg se nalazi kvadrat određen polovištima stranica početnog kvadrata.

Odredite površinu kvadrata $A B C D$ nacrtanog u mreži jediničnih kvadratića.

Površina kvadrata $A B C D$ sa slike može se odrediti na dva načina:

kao zbroj površina četiriju pravokutnih trokuta i malog kvadrata

$p = 4 \cdot \frac{3 \cdot 2}{2} + 1 \cdot 1 = 12 + 1 = 13$

kao razlika površine velikog kvadrata i četiriju pravokutnih trokuta nacrtanih nad kvadratom $A B C D$

$p = 5 \cdot 5 - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 25 - 12 = 13 .$

Na oba smo načina, naravno, dobili isto rješenje.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Slika prikazuje kvadrate ucrtane u mežu jediničnih kvadratića.

Izračunajte površine nacrtanih kvadrata na oba načina.

Površina prvog kvadrata iznosi:

$p = 4 \cdot \frac{3 \cdot 1}{2} + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10,$ tj. $p = 4 \cdot 4 - 4 \cdot \frac{3 \cdot 1}{2} = 16 - 6 = 10 .$

Površina drugog kvadrata iznosi:

$p = 4 \cdot \frac{4 \cdot 1}{2} + 3 \cdot 3 = 8 + 9 = 17,$ tj. $p = 5 \cdot 5 - 4 \cdot \frac{4 \cdot 1}{2} = 25 - 8 = 17 .$

Zadatak 2.

Slika prikazuje kvadrat rastavljenna 4 sukladna pravokutna trokuta i manji kvadrat.

Duljine kateta pravokutnog trokuta obojenog žutom bojom označite s $a$ i $b .$ Odredite površinu kvadrata $A B C D$ izraženu s pomoću duljina kateta $a$ i $b .$

Slika prikazuje kvadrat rastavljen na 4 sukladna pravokutna trokuta i manji kvadrat unutar većeg kvadrata.

Površina kvadrata izražena kao zbroj površina četiriju pravokutnih trokuta i malog kvadrata iznosi

$p = 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + (a - b)^{2} = 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2} = a^{2} + b^{2} .$

Površina kvadrata izražena kao razlika površine velikog kvadrata i četiriju pravokutnih trokuta nacrtanih nad kvadratom

$(a + b)^{2} - 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a b = a^{2} + b^{2} .$

Zatvori

Postupak određivanja pravoga kuta u starom Egiptu s pomoću užeta s 13 čvorova.

Konstrukcija pravog kuta još je od davnina bila nužna u zemljomjerstvu i graditeljstvu. Stari Egipćani znali su da je trokut sa stranicama duljine $3,$ $4$ i $5$ pravokutan, dok su stari Indijci znali da je pravokutan trokut onaj kojemu su stranice duge $5,$ $12$ i $13 .$ Za konstrukciju pravoga kuta upotrebljavali su uže odgovarajuće duljine na kojemu su u jednakim razmacima bili svezani čvorovi. Pogledajte kako u videosadržaju koji slijedi.

Prisjetimo se.

Slika prikazuje nazive stranica pravokutnog trokuta (katete i hipotenuza).

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Slika prikazuje pravokutan trokut dimenzija 3, 4 i 5 u mreži kvadratića nad čijim stranicama su nacrtani kvadrati.

Izračunajte površine kvadrata nacrtanih nad stranicama egipatskog trokuta (pravokutnog trokuta sa stranicama $3,$ $4$ i $5) .$ Što zamjećujete?

Zamjećujemo da je $a^{2} = 9,$ $b^{2} = 16$ i $c^{2} = 25$ te da je $9 + 16 = 25,$ tj. $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ Možemo reći da je zbroj površina kvadrata nad katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom.

Zadatak 4.

Slika prikazuje Indijski trokut s nacrtanim kvadratima nad katetama i hipotenuzom.

Izračunajte površine kvadrata nacrtanih nad stranicama indijskog trokuta (pravokutnog trokuta sa stranicama $5,$ $12$ i $13$ ). Što zamjećujete?

Zamjećujemo da je $a^{2} = 25,$ $b^{2} = 144$ i $c^{2} = 169$ te da je $25 + 144 = 169,$ tj. $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ Možemo reći da je zbroj površina kvadrata nad katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom.

Zadatak 5.

Prikazane su dvije slike na kojima su pravokutni trokuti u mreži kvadratića nad čijim stranicama su nacrtani kvadrati.

Koristeći se mrežom kvadratića, odredite površine nacrtanih kvadrata nad stranicama pravokutnih trokuta sa slike, izračunajte zbrojeve površina kvadrata nad katetama te na papiru nacrtajte i dopunite tablicu.

	Egipatski trokut $(3,$ $4,$ $5)$	Indijski trokut $(5,$ $12,$ $13)$
$a^{2}$	$9$	$25$
$b^{2}$	$16$	$144$
$c^{2}$	$25$	$169$
$a^{2} + b^{2}$

Što zamjećujete?

	Egipatski trokut $(3,$ $4,$ $5)$	Indijski trokut $(5,$ $12,$ $13)$	Trokut 3	Trokut 4
$a^{2}$	$9$	$25$	$9$	$9$
$b^{2}$	$16$	$144$	$4$	$1$
$c^{2}$	$25$	$169$	$13$	$10$
$a^{2} + b^{2}$	$25$	$169$	$13$	$10$

Zbroj površina kvadrata nad katetama u svim tim primjerima jednak je površini kvadrata nad hipotenuzom. Uočeno možete dodatno provjeriti na većem broju primjera s pomoću sljedećeg predloška.

Zatvori

Praktična vježba

Nad svakom stranicom pravokutnog trokuta nacrtan je kvadrat.

Presložite sve dijelove slagalice s dva manja kvadrata na najveći kvadrat tako da se prekrije čitava površina najvećeg kvadrata te da se dijelovi ne preklapaju.

Iz slagalice možemo zaključiti da je zbroj površina kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta uvijek jednak površini kvadrata nad hipotenuzom.

Slika prikazuje pravokutan trokut uz standardne oznake za duljinu stranica.

Površina kvadrata nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata nad njegovim katetama. Ta se tvrdnja naziva Pitagorin poučak.

Također vrijedi da je $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ i $a^{2} = c^{2} - b^{2} .$

O Pitagorinu poučku iz povijesti matematike

Pitagorin poučak dobio je naziv prema starogrčkom matematičaru Pitagori (569. godine prije Krista – 500. godine prije Krista) koji ga je, navodno, prvi dokazao. No odnos između stranica pravokutnog trokuta ljudima je bio poznat davno prije Pitagore.

Zanimljivost

Fotografija kratera na Mjesecu koji nosi Pitagorino ime.

Po Pitagori je nazvan i krater na Mjesecu.

Babilonci

Fotografija prikazuje glinenu pločicu iz Babilona s Pitagorinim trojkama.

Na glinenoj pločici pronađenoj u Babilonu, koja je nastala čak $1 000$ godina prije Pitagorina rođenja, prikazane su neke Pitagorine trojke (brojevi koji zadovoljavaju Pitagorin poučak). U izračunu duljine hipotenuze jednakokračnoga pravokutnog trokuta stari su Babilonci dali točnu aproksimaciju broja $\sqrt{2}$ na pet decimala.

Kinezi

Slika na kojoj je prikaz Pitagorinog poučka u kineskom tekstu.

U kineskom tekstu koji potječe negdje između 500. – 200. godine prije Krista dan je geometrijski dokaz Pitagorina poučka. U ovome tekstu dokaz je dan za pravokutni trokut sa stranicama duljine $3,$ $4$ i $5$ jediničnih dužina. Ne može se sa sigurnošću tvrditi je li tekst nastao nakon Pitagorina dokaza poučka ili prije toga.

Zanimljivost

Pitagora je rođen u Samosu i često ga spominju kao prvoga pravog matematičara. Živio je od 569. godine prije Krista do 500. godine prije Krista. Rodio se u obitelji bogatog trgovca, te je sa svojim ocem često putovao i imao priliku susretati se s mnogim misliocima toga vremena. Na svojim je putovanjima upoznao i Talesa iz Mileta koji ga je još više zainteresirao za matematiku i astronomiju. Pitagora se nastanio u južnoj Italiji u Krotoni, gdje je osnovao Pitagorejsku školu.

Pitagorejska škola djelovala je kao filozofsko i religijsko bratstvo. Pitagorejci su bili podijeljeni u dva kruga, unutarnji koji se sastojao od učitelja i matematičara te vanjski koji se sastojao od učenika. Članovi unutarnjeg kruga morali su se podvrgnuti vrlo strogim pravilima. Bili su vegetarijanci, vjerovali su u reinkarnaciju, morali su se odreći privatnog vlasništva te živjeti u zajednici. Neka od njihovih pravila bila su vrlo neobična kao što je pravilo da se nisu smjeli oženiti ženom koja je nosila zlatni nakit ili proći pokraj magarca koji leži na cesti.

S druge strane, društvo je bilo vrlo napredno jer su i muškarci i žene mogli postati članovi pitagorejaca.

S obzirom na to da su pitagorejcima zajedništvo i tajnost imali veliku važnost, danas je teško znati što je točno matematički doprinos samog Pitagore, a što njegovih sljedbenika. Pitagora i njegovi sljedbenici vjerovali su da se cijeli svemir može objasniti brojevima. Bavili su se raznim vrstama brojeva: parnim i neparnim, savršenim, muškim i ženskim, lijepim i ružnim. Neka od najvažnijih postignuća Pitagore i njegovih učenika uključuju dokaz da je zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak zbroju veličina dvaju pravih kutova, da je zbroj vanjskih kutova mnogokuta jednak zbroju četiriju pravih kutova, otkriće da postoji točno pet pravilnih poliedara, dokaz Pitagorina poučka te otkriće da postoje i iracionalni brojevi.

Ovo posljednje otkriće o postojanju iracionalnih brojeva najvjerojatnije se može pripisati Hipasu iz Metaponta koji je otkrio da se omjer duljine dijagonale i duljine stranice kvadrata ne može zapisati kao omjer dvaju prirodnih brojeva, tj. da njihov količnik nije racionalan. Nažalost, to je otkriće veoma uznemirilo pitagorejce te su, navodno, Hipasa utopili kako bi spriječili širenje te ideje. Danas je Pitagora najpoznatiji po Pitagorinu poučku (iako se sa sigurnošću ne zna je li ga on sam dokazao ili neki njegov učenik). Prema legendi, nakon što je dokazao Pitagorin poučak, Pitagora je žrtvovao vola kako bi zahvalio bogovima.

Dokazi Pitagorina poučka

Pitagorin dokaz Pitagorina poučka

Promotrimo kvadrate na slikama. Oba kvadrata jednakih su dimenzija pa su zato i njihove površine jednake. Izrazimo površine svakog kvadrata s pomoću zbroja površina njegovih dijelova.

Slika prikazuje Pitagorin dokaz Pitagorinog poučka preslagivanjem četiriju međusobno sukladnih pravokutnih trokuta.

$p_{1} = 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + c^{2}$

$p_{2} = 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + a^{2} + b^{2}$

S obzirom na to da su površine kvadrata jednake, možemo reći da je $p_{1} = p_{2}$ te je

$4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + c^{2} = 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + a^{2} + b^{2} .$

Nakon što od obiju strana jednadžbe oduzmemo $4 \cdot \frac{a \cdot b}{2},$ dobivamo da je

$a^{2} + b^{2} = c^{2} .$

Dokazi bez riječi

Pitagorin poučak jedan je od najdokazivanijih poučaka u matematici. Pogledajte nekoliko dokaza bez riječi.

Zanimljivost

Pogledajte neobične dokaze Pitagorina poučka prelijevanjem vode te premještanjem kuglica.

Garfieldov dokaz Pitagorina poučka

Dvadeseti američki predsjednik James A. Garfield dokazao je Pitagorin poučak na sljedeći način.

Slika prikazuje Garfieldov dokaz Pitagorinog poučka (trapez rastavljen na tri pravokutna trokuta)..

Izrazio je površinu prikazanog lika na dva načina, s pomoću površine trapeza i s pomoću zbroja površina pravokutnih trokuta, te je izjednačio dobivene izraze. (Prisjetimo se, površina trapeza jednaka je polovini umnoška zbroja osnovica i visine trapeza, tj.

$\begin{array}{l} p = \frac{(prva osnovica + druga osnovica)}{2} \cdot visina \end{array}$ ).

Duljine osnovica tog trapeza jesu $a$ i $b$ , a visina je trapeza $a + b .$

Zato vrijedi

$\frac{1}{2} (a + b) (a + b) = 2 \cdot \frac{a \cdot b}{2} + \frac{c \cdot c}{2} .$

Pojednostavnjivanjem jednakosti dobivamo

$\frac{1}{2} (a^{2} + 2 a b + b^{2}) = a \cdot b + \frac{c^{2}}{2} .$

Množenjem obiju strana brojem dva dobivamo

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a b + c^{2} .$

Umanjivanjem obiju strana jednakosti za $2 a b$ dobivamo

$a^{2} + b^{2} = c^{2} .$

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

iskazati riječima odnos površina kvadrata nad katetama i površine kvadrata nad hipotenuzom

zapisati matematičkim simbolima odnos zbroja površina kvadrata nad katetama i površine kvadrata nad hipotenuzom

iskazati riječima i simbolički Pitagorin poučak uz zadane oznake na slici.

Ako želite, možete provjeriti svoje znanje.

Također, možete istražiti različite dokaze Pitagorina poučka te dodatno uvježbati iskazivanje Pitagorina poučka uz oznake na slici s pomoću sljedećeg predloška.