x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    „Oduvijek je postojala potreba za određivanjem broja koji pomnožen sa samim sobom daje zadani (pozitivni racionalni) broj.

    Arhimed (3. st. pr. Krista) znao je približno izračunavati drugi korijen koristeći se nekom nama danas nepoznatom metodom.

    Način na koji je približnu vrijednost računao Heron (1. st.) opisat ćemo nešto poslije.

    Indijski matematičar Aryabhata (5. st.) našao je pravila približnog računanja drugog (i trećeg) korijena u decimalnom zapisu.

    Danas se za računanje drugog korijena koristi postupak koji je pronašao Euler u 18. stoljeću.

    Oznaku iz koje se razvila današnja oznaka uveo je 1525. austrijski matematičar Christoff Rudolff. René Descartes (16. st.) ima još suvremeniju oznaku, a početkom 18. stoljeća prihvaćena je današnja oznaka.

    Stari Indijci imali su za pojam korijen naziv mula (što znači korijen drveta, osnova, strana). Arapi su indijsku riječ preveli s džizr, što znači korijen drveta. Europski srednjovjekovni matematičari naziv su preveli lat. radix – korijen.

    Približno računanje drugog korijena

    Heronov postupak

    Heron je približno izračunavao drugi korijen koristeći se formulom a 2 + h a + h 2 a , gdje je broj h malen u usporedbi s brojem a . Primjerice,

    51 = 49 + 2 7 + 2 2 · 7 = 7 + 1 7 = 50 7 .

    Izračunamo li s pomoću džepnog računala vrijednost broja 51  na tri decimale, dobit ćemo 7.141 , dok je decimalna vrijednost razlomka 50 7 , zaokružena na tri decimale, jednaka 7.143 .

    Dakle, pogreška je jako malena!

    U sljedećem videoisječku pogledajmo primjenu Heronova postupka na još nekoliko primjera.

    Heronov postupak približnog računanja drugog korijena

    Zadatak 1.

    Na slici je Heron iz Aleksandrije, starogrčki matematičar.
    Heron iz Aleksandrije

    Koristeći se opisanim Heronovim postupkom, odredite približnu vrijednost drugog korijena sljedećih brojeva.

    1. 68
    2. 105
    3. 34
    1. 68 = 64   +   4 8 + 4 2   ·   8 = 8 + 1 4 = 33 4
    2. 105 = 100   +   5 10 + 5 2   ·   10 = 10 + 1 4 = 41 4
    3. 34 = 36 + ( - 2 ) 6 + - 2 2   ·   6 = 6 + - 1 6 = 35 6

    Zadatak 2.

    Koristeći se džepnim računalom, provjerite za koliko se razlikuju približne od stvarnih vrijednosti. (Rezultate zaokružite na tri decimale).

    68 8.246 dok je 33 4   = 8.250

    105 10.247 dok je 41 4 = 10.250

    34 5.831 dok je 35 6 5.833


    Zanimljivost

    Zanima li vas povijest matematike, pročitajte članak Petra Mladinića o Računanju (drugog i trećeg) korijena na način koji potječe vjerojatno iz starog Babilona. Članak je objavljen u časopisu Matka broj 98 (prosinac 2016.).

    Zadatak 3.

    Koji su od brojeva racionalni, a koji nisu?

    2 15 · 6 5   ​

     Racionalni brojevi

     Nisu racionalni

    null
    null

    Zadatak 4.

    Poredajte brojeve prema veličini, počevši od najmanjeg.

    • 3 5   ​
    • 3 2 . 12 8   ​
    • 1.69   ​
    • 6 2   ​
    • 1 40 81   ​

    Pomoć:

    Brojeve napišite u decimalnom zapisu s točnošću na tri decimale.

    null

    Zadatak 5.

    Svakom zadatku pridružite rješenje.

    12 - 5 6 12 - 1 3 12   ​
    9 8 3   ​
    1.5 3 + 2.5 3  
    3 3   ​
    6 : 18   ​
    3   ​
    3 4 3 + 1 2 3 - 1 8 3  
    4 3   ​

    Pomoć:

    Pojednostavnite zadane izraze.

    null

    Zadatak 6.

    Provjerite ispravnost jednakosti.

    1. 2 2 3 = 2 2 3  
    2. 3 3 8 = 3 3 8
    3. 4 4 15 = 4 4 15  

    Uočavate li pravilnost u jednakostima? Kakvog su oblika zadani mješoviti brojevi?

    1. 2 2 3 = 8 3 = 8 3 = 2 2 3 = 2 2 3 = 2 2 3
    2. 3 3 8 = 27 8 = 27 8 = 3 3 8 = 3 3 8 = 3 3 8
    3. 4 4 15 = 64 15 = 64 15 = 4 4 15 = 4 4 15 = 4 4 15

    Zanimljivost

    Ako je mješoviti broj moguće napisati u obliku zbroja a + a a 2 - 1 , onda vrijedi:

    a + a a 2 - 1 = a a a 2 - 1 .

    a + a a 2 - 1 = a a 2 - 1 + a a 2 - 1 = a 3 - a + a a 2 - 1 = a 3 a 2 - 1 = a 3 a 2 - 1 = a a a 2 - 1 = a a a 2 - 1 = a a a 2 - 1

    Zadatak 7.

    Koji je od sljedećih računa korektan?

    null
    null

    Zadatak 8.

    Djelomično korjenujte zadane brojeve. U prvi kvadratić postavite odgovarajući broj za koeficijent, a u drugi kvadratić pripadni radikand. Ako je zadani broj potpuni kvadrat, onda u drugi kvadratić postavite "prazan" kvadratić.

    Zadatak 9.

    Na slici je bazen kružnog oblika sa stazom oko njega. Staza je oblika kružnog vijenca.

    Gradonačelnica Matkograda odlučila je proširiti sportski park Mokri svijet. Odlučila je sagraditi veliki bazen kružnog oblika promjera 20 metara, a oko bazena izgraditi stazu. U skladištu su imali samo 140 m 2  pločica koje su se svidjele gradonačelnici.

    Kolika je najveća širina staze koju je moguće popločiti tim pločicama? Rezultat izrazite cijelim brojem u metrima.

    Površina bazena jednaka je p = r 2 · π = 10 2 π 314 m 2 , a površina staze oko bazena može biti najviše 140 m 2 . To znači da vanjski krug ima ukupnu površinu od 314 + 140 = 454 m 2 .

    Ako je poznata površina kruga, duljina njegova polumjera jednaka je r = p π 454 3.14 144.5860 12.02 m .

    Najveća je širina staze koja se može prekriti tim pločicama 2 metra.


    Povezani sadržaji

    Indeks tjelesne mase

    Indeks tjelesne mase ili BMI samo je okvirni pokazatelj za procjenu tjelesne mase.

    Računa se na taj način da se tjelesna masa osobe ( m ) u kilogramima podijeli s kvadratom visine ( h ) u metrima: BMI = m h 2 .

    Zanimljivost

    Za jednu našu poznatu manekenku kažu da je visoka 180 cm , a masa joj je jedva 52 kg . Izračunamo li njezin BMI, dobit ćemo približno 16 . Prema podatcima iz tablice ‒ mlada je dama pothranjena!

    BMI se ipak ne može uzeti kao relevantno mjerilo za procjenu debljine i zdravlja pojedine osobe jer ne uzima u obzir tjelesnu građu pojedinca. BMI ne može pokazati postotak masnog tkiva u odnosu prema mišićnoj ili koštanoj masi, a to su osnovni kriteriji za procjenu je li određena osoba debela ili mršava.
    Pojedinci s velikom tjelesnom masom i visokim BMI indeksom ne mogu se automatski kategorizirati kao pretili. U sportaša ili krupno građenih ljudi, npr., udjel je mišićne i koštane mase u odnosu prema visini velik, ali to ne znači da su debeli.  

    Interpretacija vrijednosti
    Muškarci Žene
    < 20.7 BMI prenizak < 19.1 BMI prenizak
    20.7 - 26.4 BMI idealan 19.1 - 25.8 BMI idealan
    26.5 - 27.8 BMI malo iznad normale 25.9 - 27.3 BMI malo iznad normale
    27.9 - 31.1 BMI visok 27.4 - 32.2 BMI visok
    31.2 - 45.4 BMI previsok 32.3 - 44.8 BMI previsok
    > 45.4 BMI izrazito visok > 44.8 BMI izrazito visok
    Tablica indeksa tjelesne mase (BMI)

    Indeks tjelesne mase (BMI) računa se prema formuli BMI = m h 2 .

    Ta je formula ekvivalentna formuli h 2 = m B M I , odnosno h = m BMI .

    Zadatak 10.

    Izračunajte visinu osoba kojima su poznati masa i BMI. Rezultate izrazite prirodnim brojem u centimetrima.

    1. m = 58 kg , BMI = 21.6 , h =
      null
      null
    2. m = 62 kg , BMI = 18.3 , h =
      null
      null
    3. m = 64 kg , BMI = 22 , h =
      null
      null
    4. m = 71 kg , BMI = 26.9 , h =
      null
      null
    5. m = 85 kg , BMI = 30.1 , h =
      null
      null

    Uvrstite li zadane podatke u izraz h = m BMI , dobit ćete:

    1. h = 58 21.6 2.6852 1.638 m≈ 164 cm
    2. h = 62 18.3 3.388 1.841 m≈ 184 cm
    3. h = 64 22 2.9091 1.706 m≈ 171 cm
    4. h = 71 26.9 2.6394 1.625 m≈ 163 cm
    5. h = 85 30.1 2.8239 1.680 m≈ 168 cm

    Kutak za znatiželjne

    Drugi i treći korijen

    Primjer 1.

    Zadan je kvadrat površine 36 m 2 . Kolika je duljina njegove stranice?

    Slika prikazuje kvadrat površine 36 kvadratnih metara

    P = a 2

    36 = a 2 .

    Izračunajmo drugi korijen iz 36 .

    36 = 6

    Duljina je stranice tog kvadrata 6 m .


    Primjer 2.

    Obujam kocke iznosi 8 m 3 . Kolika je duljina brida te kocke?

    Slika prikazuje kocku čiji je obujam 8 kubičnih metara.

    Obujam kocke računamo tako da pomnožimo duljinu, širinu i visinu kocke.

    Ako je duljina brida a , obujam je jednak

    V = a · a · a = a 3 ,

    8 = a 3 .

    Pronađimo koji broj pomnožen sa samim sobom tri puta daje umnožak 8 .

    Odnosno, koji broj na treću potenciju daje broj 8 .

    To je broj 2 . Duljina je brida kocke 2 m .

    Zapravo smo izračunali treći korijen iz broja 8 , što se zapisuje 8 3 = 2 .


    Zadatak 11.

    Spojite parove.

    1 000 3  
      4
    27 3  
      10
    64 3   ​
      6
    125 3   ​
      3
    216 3   ​
      5
    null
    null

    Tsunami

    Tsunami je naziv za destruktivne valove koji najčešće nastaju kao posljedica poremećaja (potresa) na morskome dnu. Naziv tsunami japanskog je podrijetla, a znači val u luci.
    Valovi tsunamija putuju brzinom koja se može približno opisati formulom v g h , gdje je v  brzina vala u metrima u sekundi, g konstanta približne vrijednosti 9.81 m/s 2 , a h   dubina mora u metrima.

    Zadatak 12.

    Ako je prosječna dubina oceana oko 3 500 m , izračunajte prosječnu brzinu tsunamija. 

    Prosječna brzina je približno v 9.81 · 3 500 185.30 m/s .


    Zadatak 13.

    Koristeći se prosječnom brzinom tsunamija (iz prethodnog zadatka), izračunajte prosječnu udaljenost koju će tsunami prijeći u 2 , 5 , 6 i 10 sati. (Brzina je put prijeđen u jedinici vremena.)

    Budući da 1 sat ima 3 600 sekundi, zaključujemo da u jednome satu tsunami prijeđe približno 667 080 metara, tj. približno 667 km .

    Za 2 sata tsunami će prijeći približno 1 334 km .

    Za 5 sati tsunami će prijeći približno 3 335 km .

    Za 6 sati tsunami će prijeći približno 4 002 km .

    Za 10 sati tsunami će prijeći približno 6 670 km .


    Zadatak 14.

    Izračunajte brzinu tsunamija na dubini od 1 200 m .

     Prosječna brzina je približno v 9.81 · 1   200 108.50 m / s .


    Zadatak 15.

    Izračunajte brzinu tsunamija na dubini od 2 500 m .

    Prosječna brzina je približno v 9.81 · 2 500 156.60 m / s .


    Zadatak 16.

    Na kojoj je dubini brzina tsunamija približno 70   m/s ?

    Uvrštavanjem podataka u formulu v g · h dobivamo 70 9.81 · h .

    Rješavanjem jednadžbe nalazimo da je 4 900 9.81 · h , tj. da je h 499.49 m .


    Zadatak 17.

    Je li brzina tsunamija na dubini od 1 000 m četiri puta veća od brzine tsunamija na dubini od 250 m ?

    Brzina tsunamija na 1 000 metara dubine je približno v 99.05 m / s , a na dubini od 250 metara približno v 49.52 m / s .

    Očito je da 99.05 nije 4 puta više od 49.52


    Jačina vjetra

    Beaufortova ljestvica služi ocjenjivanju jačine vjetra prema njegovim učincima. Naziv je dobila po mornaričkom časniku i hidrografu koji ju je izradio 1806. godine.
    Brzina vjetra prema Beaufortovoj ljestvici izražena je formulom v = 0.837 B 3 , gdje je v   brzina vjetra mjerena metrima u sekundi, a B odgovarajući broj na Beaufortovoj ljestvici.


    Jačina B f Naziv visina valova m
    0 tišina 0
    1 lahor 0.1
    2 povjetarac 0.2 do 0.5
    3 slabi vjetar 0.6 do 1
    4 umjereni vjetar 1 do 2
    5 umjereno jaki vjetar 2 do 3
    6 jaki vjetar 3 do 4
    7 žestoki vjetar 4 do 5.5
    8 olujni vjetar 5.5 do 7
    9 jaki olujni vjetar 7 do 10
    10 orkanski vjetar 10 do 12
    11 jaki orkanski vjetar 12 do 15
    12 orkan više od 15

    Zadatak 18.

    Na fotografiji su valovi koje je izazvala bura na Jadranu.

    Izračunajte brzinu vjetra (mjerenu metrima u sekundi) ako je njegova jačina prema Beaufortovoj ljestvici jednaka:

    1. 1
    2. 3
    3. 8
    4. 9
    5. 12 .

    Rezultate za okružite na 3 decimale.

    1. v = 0.837 m/s
    2. v = 4.349 m/s
    3. v = 18.939 m/s
    4. v = 22.599 m/s
    5. v = 34.793 m/s

    Zanimljivost

    Najsnažniji zabilježeni udar vjetra u Hrvatskoj izmjeren je 23. prosinca 2003. godine, na autocesti A1, između tunela Sveti Rok i Maslenica, na vijaduktu Božići. Tada je jedan od rijetkih instrumenata za mjerenje brzine vjetra, koji je uopće uspio neoštećen izdržati nalete vjetra, zabilježio brzinu od 307 km/h , što je neslužbeno najveća dosad izmjerena brzina vjetra u Hrvatskoj. Zbog toga što taj instrument nije bio predviđen za tolike iznose, podatak se ne uzima kao službeni.

    (izvor: http://www.crometeo.hr/koje-su-najvece-brzine-vjetra-izmjerene-u-hrvatskoj/)

    Zadatak 19.

    Brzine vjetra iz rezultata prethodnog zadatka izrazite u kilometrima na sat. Rezultate zaokružite na 3 decimale. 

    1. v = 3.013 km/h
    2. v = 15.656 km/h
    3. v = 68.180 km/h
    4. v = 81.356 km/h
    5. v = 125.255 km/h

    Zadatak 20.

    Brzina vjetra iznosi 6 metara u sekundi. Kojem broju na Beaufortovoj ljestvici odgovara ta brzina?

    Uvrštavanjem dobivamo da je 6 = 0.837 · B 3 , odakle je B 3 51.387 .

    Budući da je 3 3 = 27 , a 4 3 = 64 , zaključujemo da je 3 < B < 4 .

    Budući da je broj B prirodan broj i da je 51.387 bliže broju 64 nego broju 27 , zaključujemo da brzina vjetra od 6 metara u sekundi odgovara broju 4 na Beaufortovoj ljestvici.


    Zadatak 21.

    Brzina vjetra iznosi 45 km na sat. Kojem broju na Beaufortovoj ljestvici odgovara ta brzina?

    Brzina od 45 km na sat odgovara brzini od 12.5 metara u sekundi.

    Analognim postupkom kao u prethodnom zadatku nalazimo da je B 3 223 .

    Budući da je 6 3 = 216 , zaključujemo da je B 6 .


    Zadatak 22.

    Kao službeno najjači udar vjetra iz NNE smjera u Hrvatskoj i dalje vrijedi onaj od 21. prosinca 1998. godine s Masleničkog mosta kada je zabilježen udar bure od 248 km/h . Kojem broju na Beaufortovoj ljestvici odgovara ta brzina?

    Brzina od 248 km na sat odgovara brzini od približno 68.9 metara u sekundi.

    Analognim postupkom kao u prethodnom zadatku nalazimo da je B 3 6 776 .

    Budući da je 19 3 = 6 859 , zaključujemo da je B 19 .


    Zanimljivost

    Drugi službeno najjači udar vjetra, također bure, zabilježen je na Paškome mostu i iznosio je 65.2 m/s . ​Treći najjači udar bure izmjeren je na Krčkome mostu i iznosio je 221.8 km/h , što se dogodilo u vrijeme ciklone Teodor, 11. studenog 2013.

    Četvrti najjači udar zabilježen je u Makarskoj i iznosio je 59 m/s , tj. 212.4 km/h . Također se radilo o buri.

    Peti najjači udar vjetra u Hrvatskoj, juga, zabilježen je na Palagruži s 56.9 m/s , tj. 204.84 km/h .

    Udar bure u Splitu 14. studenog 2004. godine (ciklona Dorothy) iznosio je 174.6 km/h .

    Od većih gradova još vrijedi spomenuti Dubrovnik sa 159.48 km/h i Šibenik sa 146 km/h .

    (izvor: http://www.crometeo.hr/koje-su-najvece-brzine-vjetra-izmjerene-u-hrvatskoj/)

    Zadatak 23.

    Jaka bura u akvatoriju otoka Silbe dizala je valove visine do 7 metara. Kolikom je brzinom puhala (mjereno u kilometrima na sat)?

    Valove visine 7 metara diže vjetar čija jačina prema Beaufortovoj ljestvici iznosi 8 .

    Brzina tog vjetra je približno 18.94 m/s , ili približno 68 km/h .


    Zadatak 24.

    Tramontana kod otoka Palagruže diže valove maksimalne visine do 8.5 metara. Kolikom brzinom, izraženo u metrima u sekundi, puše? 

    Valove visine do 8.5 metara diže vjetar čija jačina prema Beaufortovoj ljestvici iznosi 9 .

    Brzina tog vjetra je približno 22.6 m/s , ili približno 81.4 km/h .