Matematika 8 - 4.3 Obrat Pitagorina poučka

Na početku...

Ilustracija prikazuje radnike koji grade zid.

Građevinski inspektor rekao je radnicima da zidovi nisu napravljeni pod pravim kutom. Radnici su ponovnim mjerenjem utvrdili da je sporni zid visine $2.7 m,$ duljina skele kojom se radnici penju do vrha tog zida $4.5 m,$ a udaljenost skele do podnožja zida $3.6 m .$

Tko ima pravo – radnici ili građevinski inspektor?

Kako bismo riješili taj zadatak, trebamo odrediti je li trokut sa stranicama duljina $2.7 m,$ $3.6 m$ i $4.5 m$ pravokutan. Ako je trokut pravokutan, onda je zbroj površina kvadrata nad dvjema kraćim stranicama jednak površini kvadrata nad njegovom najduljom stranicom (hipotenuzom). Taj se iskaz naziva Pitagorinim poučkom.

No vrijedi li i obrnuto, tj. ako je površina kvadrata nad najduljom stranicom trokuta jednaka zbroju površina kvadrata nad dvjema kraćim stranicama, je li trokut pravokutan?

Poučak ili teorem matematička je tvrdnja čija se istinitost utvrđuje dokazom. U iskazu poučka razlikujemo pretpostavku (uvjet) i tvrdnju (zaključak, posljedicu).

Ako je trokut pravokutan (pretpostavka), onda je zbroj površina kvadrata nad preostalim dvjema stranicama jednak površini kvadrata nad njegovom najduljom stranicom (tvrdnja).

Obrat poučka jest izjava u kojoj su se pretpostavka i tvrdnja međusobno zamijenile.

Ako je zbroj površina kvadrata nad dvjema kraćim stranicama trokuta jednak površini kvadrata nad njegovom najduljom stranicom (pretpostavka), onda je trokut pravokutan (tvrdnja).

Mora li obrat neke tvrdnje uvijek biti istinit?

Zadatak 1.

Ako je broj djeljiv brojem $6,$ onda je djeljiv brojem $3 .$

Što je u toj izjavi pretpostavka, a što tvrdnja? Napišite u bižlježnicu obrat. Je li obrat istinit?

Pretpostavka: Broj je djeljiv brojem $6 .$

Tvrdnja: Broj je djeljiv brojem $3 .$

Obrat: Ako je broj djeljiv brojem $3,$ tada je djeljiv brojem $6 .$

Obrat nije istinit. Primjerice, broj $27$ djeljiv je brojem $3,$ ali nije djeljiv brojem $6 .$

Kao što smo vidjeli, obrat tvrdnje ne mora uvijek biti istinit, ali može.

Primjerice,

Ako je geometrijski lik trokut, onda je zbroj veličina njegovih unutarnjih kutova $180 °$ .

istinita je tvrdnja.

Obrat te tvrdnje,

Ako je zbroj veličina unutarnjih kutova nekoga geometrijskog lika $180 °,$ onda je taj lik trokut.

također je istinit.

S obzirom na to da obrat tvrdnje može, ali i ne mora biti istinit, moramo detaljnije istražiti vrijedi li obrat Pitagorina poučka.

Zanimljivost

Istinitost tvrdnji i obrata možemo promatrati i izvan matematičkog konteksta.

Tvrdnja: Ako su ljetni praznici, onda ne moram ići u školu. (istinita)

Obrat: Ako ne moram ići u školu, onda su ljetni praznici. (neistinit)

Tvrdnja: Ako sam živ, kuca mi srce. (istinita)

Obrat: Ako mi kuca srce, živ sam. (istinit)

Praktična vježba

Nacrtajte na papiru dva šiljastokutna, dva pravokutna i dva tupokutna trokuta te ih nasumce označite brojevima od $1$ do $6 .$
Najdulju stranicu svakog trokuta označite slovom $c,$ a preostale dvije slovima $a$ i $b .$
Izmjerite duljine stranica nacrtanih trokuta i izrazite ih u centimetrima.
Nacrtajte tablicu na papiru i popunite 2. – 5. te 7. stupac tablice.

U šestom stupcu usporedite $a^{2} + b^{2}$ i $c^{2},$ tj. upišite odgovarajući znak $<,$ $>$ ili $= .$

Trokut broj	$a$	$b$	$c$	$a^{2} + b^{2}$	$<,$ $>,$ $=$	$c^{2}$	vrsta trokuta
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$

Što zamjećujete? Ako želite, možete nacrtati još nekoliko trokuta i provjeriti svoje zaključke.

Primjer rješenja:

Trokut broj	$a$	$b$	$c$	$a^{2} + b^{2}$	$<,$ $>,$ $=$	$c^{2}$	vrsta trokuta
$1$	$1.5$	$2$	$2$	$6.25$	$>$	$4$	šiljastokutni
$2$	$5.2$	$5.5$	$4.6$	$57.29$	$>$	$21.16$	šiljastokutni
$3$	$7.5$	$18$	$19.5$	$380.25$	$=$	$380.25$	pravokutni
$4$	$3$	$4$	$5$	$25$	$=$	$25$	pravokutni
$5$	$2$	$7$	$8$	$53$	$<$	$64$	tupokutni
$6$	$3$	$2$	$4$	$13$	$<$	$16$	tupokutni

Za trokut $A B C$ kojemu je najdulja stranica stranica $c$ vrijedi:

Ako je $a^{2} + b^{2} > c^{2},$ trokut je šiljastokutan.
Ako je $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ trokut je pravokutan.
Ako je $a^{2} + b^{2} < c^{2},$ trokut je tupokutan.

Praktičnom vježbom potvrdili smo slutnju da obrat Pitagorina poučka vrijedi.

Ako želite, možete provjeriti svoje zaključke na dodatnim primjerima koristeći se sljedećom aktivnošću.

Odaberite točku A, B ili C te mijenjajte dimenzije trokuta ABC tako da vrijedi $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ Kakve je vrste s obzirom na veličinu kuta trokut za kojeg vrijedi $a^{2} + b^{2} = c^{2} ?$

Ako je zbroj površina kvadrata nad dvjema kraćim stranicama trokuta jednak površini kvadrata nad njegovom najduljom stranicom, onda je trokut pravokutan. Tu tvrdnju nazivamo obrat Pitagorina poučka.

Kutak za znatiželjne

Slika prikazuje dva sukladna pravokutna trokuta s označenim vrhovima, stranicama i istaknutim pravim kutom.

U matematici se istinitost tvrdnje mora potvrditi dokazom.

Poučak: Ako je zbroj površina kvadrata nad dvjema kraćim stranicama trokuta jednak površini kvadrata nad njegovom najduljom stranicom, onda je trokut pravokutan.

Dokaz: Pretpostavimo da je zbroj površina kvadrata nad dvjema kraćim stranicama trokuta $A B C$ s pravim kutom pri vrhu $C$ jednak površini kvadrata nad njegovom najduljom stranicom. To znači da vrijedi $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$

Nacrtajmo pravokutni trokut sukladan trokutu $D E F,$ pri čemu je $|E F| = a$ i $|F D| = b .$ Tada iz Pitagorina poučka dobivamo da je ${|D E|}^{2} = a^{2} + b^{2},$ odnosno ${|D E|}^{2} = c^{2} .$ Iz toga slijedi da je $|D E| = \sqrt{c^{2}} = c .$ Trokuti $A B C$ i $D E F$ sukladni su prema SSS poučku o sukladnosti trokuta ( $|B C| = |E F| = a,$ $|C A| = |F D| = b,$ $|A B| = |D E| = c$ ) što znači da je $|∠ E F D| = |∠ B C A| = 90 ° .$

Pogledajmo još jedanput uvodni zadatak.

Tko ima pravo – radnici ili građevinski inspektor?

Ako je zbroj površina kvadrata nad dvjema kraćim stranicama trokuta jednak površini kvadrata nad njegovom najduljom stranicom, onda je trokut pravokutan, tj. zid je izgrađen pod pravim kutom. Želimo provjeriti je li ${2.7}^{2} + {3.6}^{2} = {4.5}^{2} .$ Računanjem dobivamo da je $20.25 = 20.25$ te zaključujemo da radnici imaju pravo. Zidovi jesu napravljeni pod pravim kutom.

Primjer 1.

Koristeći se obratom Pitagorina poučka, provjerimo je li trokut $A B C$ sa stranicama duljina $a = 1.8 dm,$ $b = 2.4 dm$ i $c = 3 dm$ pravokutan.

Uočimo da je najdulja stranica toga trokuta označena s $c .$ Da bismo riješili zadatak, provjerit ćemo vrijedi li za duljine stranica zadanog trokuta relacija $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$

Budući da je $a^{2} = {1.8}^{2} = 3.24,$ $b^{2} = {2.4}^{2} = 5.76$ , $a^{2} + b^{2} = 3.24 + 5.76 = 9,$ a $c^{2} = 3^{2} = 9$ , prema obratu Pitagorina poučka slijedi da je trokut $A B C$ pravokutan.

Pogledajte kako obrat Pitagorina poučka primjenjuju stolari.

Svaka uređena trojka brojeva $(a, b, c)$ koja zadovoljava jednakost $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ naziva se Pitagorina trojka.

Pitagorine trojke kojima su članovi manji ili jednaki broju $50 .$

$(3, 4, 5)$	$(5, 12, 13)$	$(7, 24, 25)$	$(8, 15, 17)$	$(9, 40, 41)$	$(12, 35, 37)$	$(20, 21, 29)$
$(6, 8, 10)$	$(10, 24, 26)$	$(14, 48, 50)$	$(16, 30, 34)$
$(9, 12, 15)$	$(15, 36, 39)$
$(12, 16, 20)$
$(15, 20, 25)$
$(18, 24, 30)$
$(21, 28, 35)$
$(24, 32, 40)$
$(21, 36, 45)$
$(30, 40, 50)$

Zanimljivost

Evo jednog pitanja vezanog za Pitagorine trojke iz američkog kviza Tko želi biti milijunaš?.

Koji je od danih kvadrata prirodnih brojeva jednak zbroju kvadrata dvaju manjih kvadrata prirodnih brojeva?

$16$
$25$
$36$
$49$

Pogledajte kako je natjecatelj odgovorio te provjerite svoje rješenje.

Zadatak 5.

Koje su od navedenih trojki brojeva Pitagorine trojke?

$60, 32, 68$
$\sqrt{7}, \sqrt{55}, \sqrt{48}$
$\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$
$(\sqrt{3} + 1), (\sqrt{3} - 1), \sqrt{12}$

Najveći je broj $68,$ zato je $a = 60, b = 32, c = 68 .$

$68^{2} = 4 624$

$60^{2} + 32^{2} = 3 600 + 1 024 = 4 624$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ te je zadana trojka brojeva Pitagorina trojka.
Najveći je broj $\sqrt{55},$ zato je $a = \sqrt{7}, b = \sqrt{48}, c = \sqrt{55} .$

${\sqrt{55}}^{2} = 55$

${\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{48}}^{2} = 7 + 48 = 55$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ te je zadana trojka brojeva Pitagorina trojka.
Najveći je broj $\frac{1}{3},$ zato je $a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{5}, c = \frac{1}{3} .$

$(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$

$(\frac{1}{4})^{2} + (\frac{1}{5})^{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = \frac{25 + 16}{400} = \frac{41}{400}$

$a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ te zadana trojka brojeva nije Pitagorina trojka.
Najveći je broj $\sqrt{8},$ zato je $a = \sqrt{3} + 1,$ $b = \sqrt{3} - 1,$ $c = \sqrt{8.}$

${\sqrt{8}}^{2} = 8$

$\begin{array}{l} (\sqrt{3} + 1)^{2} + (\sqrt{3} - 1)^{2} = 3 + 2 \sqrt{3} + 1 + 3 - 2 \sqrt{3} + 1 = 8 \end{array}$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ te je zadana trojka brojeva Pitagorina trojka.

Dane su duljine triju stranica. Odredite izgrađuju li te stranice trokut, a ako izgrađuju, odredite koje je vrste trokut. Pravilno razvrstajte prema zadanim kategorijama.

Napomena

Zbroj duljina dviju stranica trokuta uvijek je veći od duljine treće stranice.

65, 33, 56

22.5, 12, 25.5

\sqrt{5}, \sqrt{11}, \sqrt{6}

5, 5, 7

2.3, 3.4, 4.4

14, 27, 16

40, 9, 41

6, 8, 14

7, 14, 7 \sqrt{13}

10, 17, 3 \sqrt{35}

Ne izgrađuju trokut

Šiljastokutni trokut

Pravokutni trokut

Tupokutni trokut

null

Zadatak 6.

U svakome su krugu upisane moguće duljine stranica trokuta izražene u centimetrima.

Iz svakog kruga odaberite po jednu duljinu tako da tri odabrane stranice izgrađuju pravokutni trokut.

Pronađite što više rješenja.

Slika prikazuje krugove u koje su upisane duljine stranica u centimetrima.

Primjeri rješenja:

$3, 4, 5$
$3, 8.75, 9.25$
$10, 24, 26$
$8, 15, 17$
$6, 8, 10$
$40, 9, 41 .$

4.3 Obrat Pitagorina poučka

Na početku...

Zadatak 1.

Zanimljivost

Praktična vježba

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zanimljivost

Zadatak 5.

Ne izgrađuju trokut

Šiljastokutni trokut

Pravokutni trokut

Tupokutni trokut

Zadatak 6.

...i na kraju

Pravokutni trokuti

Trokuti koji nisu pravokutni

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

4.4 Primjena Pitagorina poučka na pravokutnik