x
Učitavanje

5.3 Graf kvadratne funkcije

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje tablicu množenja sa zaokruženim brojevima u trećem redu.

Promotrite niz zaokruženih brojeva.

  1. Što zamjećujete? Koje je pravilo toga niza?​
  2. Napišite na papiru pravilo pridruživanja funkcije f ( x ) , koja određuje vrijednost broja u nizu, u ovisnosti o rednom broju člana u tome nizu.
  3. U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtajte na papiru graf funkcije f ( x ) . Što zamjećujete?
  4. Za koje vrijednosti argumenta x ta funkcija u ovom kontekstu ima smisla?
Slika prikazuje polupravac - grafički prikaz linearne ovisnosti.
  1. Zaokruženi brojevi višekratnici su broja 3 . Niz nastaje tako da brojčanu oznaku stupca pomnožimo brojem 3 (oznakom retka).
  2. f ( x ) = 3 x
  3. Grafički je prikaz ove funkcije u pravokutnom koordinatnom sustavu niz točaka koje pripadaju polupravcu.
  4. Funkcija u ovom kontekstu ima smisla za prirodne brojeve.


Početni zadatak opisuje linearnu ovisnost između rednog broja člana niza i njegove vrijednosti. Takve ovisnosti proučavane su u sedmom razredu.

Pod pojmom funkcija mislimo na način (pravilo) prema kojemu se svakom elementu jednog skupa pridružuje točno jedan, odgovarajući, element drugog skupa.

Ako su a , b i x realni brojevi , pri čemu je a 0 , onda funkciju zadanu pravilom pridruživanja (formulom) f ( x ) = a x + b nazivamo linearnom funkcijom (na skupu  R ) .

Graf je linearne funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x + b , a , b R , a 0 pravac s jednadžbom y = a x + b . Tom pravcu pripadaju sve točke pridružene uređenim parovima oblika ( x , a x + b ) .

Slika prikazuje tablicu množenja do 100 sa zaokruženim brojevima duž dijagonale.

Promotrite niz zaokruženih brojeva.

  1. Što zamjećujete? Koje je pravilo tog niza?
  2. Za prvih 10 članova tog niza prikažite na papiru tablicu pridruženih vrijednosti pa točke pridružene dobivenim uređenim parovima prikažite u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Što zamjećujete?
  3. Mogu li se sve prikazane točke spojiti pravcem? Je li ta ovisnost linearna?
  4. Napišite na papiru pravilo pridruživanja funkcije g ( x ) koja određuje vrijednost člana niza u ovisnosti o brojčanoj oznaci stupca.
  5. Za koje vrijednosti argumenta x ta funkcija u ovom kontekstu ima smisla?

  1. Vrijednost člana niza dobije se tako da se brojčana oznaka stupca pomnoži sa samom sobom (tj. u kontekstu tablice pomnoži se redni broj retka i redni broj stupca).
  2. Grafički prikaz ove funkcije nije pravac.
  3. Prikazane točke ne mogu se spojiti pravcem. Prikazana ovisnost nije linearna.
  4. Tablici pridruženih vrijednosti dodali smo još jedan stupac. Vrijednost funkcije jednaka je umnošku broja x  sa samim sobom. Pravilo pridruživanja funkcije zato glasi g ( x ) = x 2 .
  5. Funkcija u ovom kontekstu ima smisla za prirodne brojeve.

Slika prikazuje tablicu pridruženih vrijednosti i grafički prikaz opisane ovisnosti.
Tablica pridruženih vrijednosti i grafički prikaz
Prikaz zakonitosti
x y
1 1 1 · 1
2 4 2 · 2
3 9 3 · 3
4 16 4 · 4
5 25 5 · 5
6 36 6 · 6
7 49 7 · 7
8 64 8 · 8
9 81 9 · 9
10 100 10 · 10

Kvadratna funkcija i njezin grafički prikaz

Zadatak 1.

Kako bi izgledao graf funkcije koja svakom realnom broju pridružuje njegov kvadrat?

Na papir (u bilježnici) nacrtajte i popunite tablicu pridruženih vrijednosti te nacrtajte graf funkcije g ( x ) = x 2 .

x   - 2 1 2  
- 2 - 1.3
- 3 5  
- 0.4 0 0.5 1.2
g ( x )  







Tablica:

x   - 2 1 2  
- 2 - 1.3
- 3 5  
- 0.4 0   0.5 1.2
g ( x )   25 4   4 1.69 9 25   0.16 0 0.25 1.44

Zanimljivost

Graf funkcije možete crtati i s pomoću online aplikacije na sljedećoj poveznici. Ako rabite online aplikaciju za crtanje, trebate u polje za upis unijeti uređene parove brojeva, jedan po jedan.

Graf:

Slika prikazuje grafički prikaz kvadratne funkcije.

Zadatak 2.

  1. Kakve vrijednosti poprima funkcija g ( x ) iz prethodnog zadatka?
  2. Postoji li neka pravilnost u izgledu grafičkog prikaza te funkcije?
  3. Za koje vrijednosti argumenta x ta funkcija ima smisla?
  4. Kojem skupu brojeva pripadaju vrijednosti ove funkcije?
  5. Za koji je argument vrijednost funkcije g ( x ) najmanja?
  1. Funkcija g ( x ) poprima samo nenegativne vrijednosti.
  2. Graf je prikazane funkcije krivulja koja je osnosimetrična s obzirom na os y . Sve su vrijednosti funkcije nenegativne pa se graf nalazi iznad osi x .
  3. Argumenti funkcije pripadaju skupu realnih brojeva.
  4. Vrijednosti funkcije g ( x ) pripadaju skupu nenegativnih realnih brojeva.
  5. Vrijednost funkcije najmanja je za x = 0 .

Ako su a , b , c i x realni brojevi, pri čemu je a 0 , onda funkciju zadanu pravilom pridruživanja (formulom) f ( x ) = a x 2 + b x + c nazivamo (općom) kvadratnom funkcijom (na skupu R ). Broj x naziva se argument funkcije, dok je f ( x ) vrijednost funkcije za argument x . Brojeve a , b i c nazivamo koeficijentima kvadratne funkcije.     

Graf je kvadratne funkcije parabola s jednadžbom y = a x 2 + b x + c , a 0 , a , b , c , x R .

Primjer 1.

Pomicanjem klizača poigrajte se grafičkim prikazom opće kvadratne funkcije.

Povećaj ili smanji interakciju

Parabole u svijetu oko nas

 ​

Zanimljivost

U sljedećim videosadržajima pogledajte primjere parabola u svijetu koji nas okružuje te u videoigrici Super Mario. A svakako pogledajte i vodenu parabolu u Splitu.

Kvadratna funkcija oblika f ( x ) = a x 2 , a 0

U nastavku ćemo proučavati samo posebne slučajeve kvadratne funkcije, one zadane pravilom pridruživanja oblika f ( x ) = a x 2 , pri čemu su a i x realni brojevi, a 0 .

Zadatak 3.

Kvadratna funkcija f zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = 3 x 2 .

Izračunajte vrijednost funkcije f za vrijednost argumenta.

  1. 1
  2. - 4
  3. 0
  1. f ( 1 ) = 3 · 1 2 = 3 · 1 = 3
  2. f ( - 4 ) = 3 · ( - 4 ) 2 = 3 · 16 = 48
  3. f ( 0 ) = 3 · 0 2 = 3 · 0 = 0  

Zadatak 4.

Za kvadratnu funkciju i , zadanu pravilom pridruživanja i ( x ) = 0.5 x 2 , nacrtajte na papiru i popunite tablicu pridruženih vrijednosti.

i - 2 - 1 0 1 2
i ( x )
i - 2 - 1 0 1 2
i ( x )
2 0.5
0 0.5
2

Crtanje grafa kvadratne funkcije oblika f ( x ) = a x 2 , a 0 .

Graf je funkcije f , koja svakom realnom broju x pridružuje točno jedan realan broj f x , zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 , a 0 , krivulja koja se naziva parabola.

Činjenicu da funkcija f svakom realnom broju x pridružuje točno jedan realan broj f x kraće zapisujemo simbolički kao f : R R .

Primjer 2.

  1. Napišimo na papir pravilo pridruživanja funkcije f koja duljini polumjera kruga x pridružuje površinu tog kruga.
  2. Nacrtajmo graf te funkcije ako je π 3.14 .
  3. Za koje vrijednosti argumenta x funkcija f ima smisla?
  4. Kojem skupu brojeva pripadaju vrijednosti te funkcije?
Fotografija prikazuje graf funkcije koja opisuje ovisnost površine kruga o njegovom radijusu.
  1. Funkcija f , koja duljini polumjera kruga x pridružuje njegovu površinu, zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = π x 2 .
  2. Prema želji su odabrane vrijednosti argumenta x te su izračunane pripadne funkcijske vrijednosti f ( x ) . Graf je funkcije f ( x ) = π x 2 parabola.
  3. U zadanom kontekstu funkcija ima smisla samo za pozitivne vrijednosti argumenta.
  4. Vrijednosti funkcije pripadaju skupu nenegativnih realnih brojeva.

    x - 2 - 1 0 1 2
    f ( x ) 12.56 3.14 0 3.14 12.56

Primjer 3.

U istom pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini nacrtajmo grafove funkcija zadanih pravilima pridruživanja g ( x ) = x 2 i f ( x ) = π x 2 . Što možemo zamijetiti?

Uređene parove ( x , x 2 ) , odnosno x , π x 2 , uputno je prije crtanja upisati u tablicu pridruženih vrijednosti.

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 - 1 - 2
x 2 0 0.25 1 2.25 4 6.25 1 4
π x 2 0 0.785 3.14 7.065 12.56 19.625 3.14 12.56

Graf:

Slika prikazuje grafove funkcija f(x) i g(x) iz prethodnog zadatka.

Grafovi su obiju funkcija parabole, pri čemu je graf funkcije f ( x ) = π x 2 „uži” od grafa funkcije g ( x ) = x 2 .


Zadatak 5.

Što mislite, gdje će se u odnosu prema grafovima dviju funkcija iz prethodnog zadatka nalaziti graf funkcije h zadane pravilom pridruživanja h ( x ) = 5 x 2 , a gdje graf funkcije k zadane pravilom pridruživanja k x = 1 2 x 2 ? Nacrtajte na papir grafove svih četiriju funkcija u istome pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini. Što zamjećujete?

Tablica:

Prije crtanja grafova dopunimo tablicu pridruženih vrijednosti za kvadratne funkcije zadane pravilima pridruživanja h x   =   5 x 2 i k x = 1 2 x 2 .

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 - 1 - 2
x 2 0 0.25 1 2.25 4 6.25 1 4
π x 2 0 0.785 3.14 7.065 12.56 19.625 3.14 12.56
5 x 2 0 1.25 5 11.25 20 31.25 5 20
1 2 x 2 0 0.125 0.5 1.125 2 3.125 0.5 2

Graf:

Slika prikazuje grafički prikaz kvadratnih funkcija ako je parametar a pozitivan.
  • ​Grafovi su svih funkcija parabole simetrične s obzirom na os y .
  • Sve su parabole „okrenute prema gore”.
  • Što je koeficijent a , a > 0 veći, to je parabola „uža”.
  • Graf je funkcije h „uži”, a graf funkcije k „širi” od grafa funkcije g .

Provjerite navedene tvrdnje s pomoću GeoGebrine interakcije.

Mijenjajte vrijednost parametra a . Istražite ovisnost vrijednosti funkcije g , odnosno izgleda grafa te funkcije o vrijednosti parametra a ( a > 0 ).

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 4.

Kako bi izgledao graf kvadratne funkcije f : R R zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 koju dobijemo množenjem broja x 2 proizvoljnim koeficijentom a , a < 0 ?

U istome koordinatnom sustavu u ravnini prikažimo:

f ( x ) = - x 2 f 1 ( x ) = - 5 x 2 f 2 ( x ) = - 2 x 2 f 3 ( x ) = - 0.5 x 2

Što možemo zamijetiti?

Prije crtanja, popunit ćemo tablicu pridruženih vrijednosti.

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 - 1 - 2
- x 2 0 - 0.25 - 1 - 2.25 - 4 - 6.25 - 1 - 4
- 2 x 2 0 - 1.25 - 5 - 11.25 - 20 - 31.25 - 5 - 20
- 2 x 2 0 - 0.5 - 2 - 4.5 - 8 - 12.5 - 2 - 8
- 0.5 x 2 0 - 0.125 - 0.5 - 1.125 - 2 - 3.125 - 0.5 - 2

Graf:

Slika prikazuje grafički prikaz kvadratnih funkcija ako je parametar a negativan.

Na temelju nacrtanih grafova zaključujemo:

  • ​grafovi su svih funkcija parabole simetrične s obzirom na os y
  • sve su parabole „okrenute prema dolje”
  • što je apsolutna vrijednost koeficijenta a veća, parabola je „uža”.

Provjerite navedene tvrdnje s pomoću GeoGebrine interakcije.

Mijenjajte vrijednost parametra a . Istražite ovisnost vrijednosti funkcije g , odnosno izgleda grafa te funkcije o vrijednosti parametra a ( a < 0 ).

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Provjerimo razumijevanje.

  1. Ako je vijednost parametra a kvadratne funkcije oblika f ( x ) = a x 2 pozitivna, onda će parabola biti okrenuta prema gore.

    null
    null
  2. Što je apsolutna vrijednost parametra a kvadratne funkcije oblika f x = a x veća, to je graf te funkcije „uži”.

    null
    null
  3. Grafički je prikaz linearne funkcije parabola.

    null
    null
  4. Grafovi kvadratne funkcije oblika f ( x )   =   a x 2 simetrični su s obzirom na os y .

    null
    null
  5. Na slici je graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 + b . Parametar a funkcije f ima negativni predznak.

    Na slici je parabola s otvorom prema gore.

    null
    null

Postupak crtanja parabola možete još jedanput proučiti i s pomoću GeoGebrine interakcije.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

Pripada li točka s koordinatama ( 10 , - 50 ) grafu funkcije f zadane pravilom pridruživanja f x = - 1 2 x 2 ?

Slika prikazuje graf funkcije iz zadatka s točkom s koordinatom (10, -50).

Prvi je način rješavanja algebarski.

f 10 = - 1 2 · 10 2 = - 1 2 · 100 = - 50

Drugi je način grafički. Nacrtajmo graf funkcije te provjerimo pripada li zadana točka paraboli.

U oba slučaja vidimo da točka s koordinatama ( 10 , - 50 ) pripada grafu funkcije f zadane pravilom pridruživanja f x = - 1 2 x 2 .


Zadatak 8.

Slika prikazuje točku T na grafu kvadratne funkcije iz prethodnog zadatka.

Očitajte koordinate točke T koja pripada grafu neke kvadratne funkcije f ( x ) = a x 2 . Kakvog je predznaka parametar a ?

T - 2 , - 12

Budući da je parabola okrenuta prema dolje, parametar a je negativan.


Kutak za znatiželjne

U nastavku ćemo se pozabaviti složenijim oblicima kvadratne funkcije. Za početak to je...

Kvadratna funkcija oblika f ( x ) = a x 2 + c , a 0

Zadatak 9.

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = x 2 + 3 . Odredite vrijednost funkcije f za vrijednost argumenta:

  1. x = - 2
  2. x = - 1.5
  3. x = 0.5 .

Uvrštavanjem dobivamo:

  1. f ( - 2 ) = - 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7
  2. f ( - 1.5 ) = ( - 1.5 ) 2 + 3 = 2.25 + 3 = 5.25
  3. f ( 0.5 ) = 0.5 2 + 3 = 0.25 + 3 = 3.25 .

Primjer 5.

U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo grafove kvadratnih funkcija f , g , h i k zadanih pravilima pridruživanja f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x 2 + 4 , h ( x ) = x 2 - 2 , k ( x ) = x 2 - 5 .

Za svaku funkciju prvo treba popuniti tablicu pridruženih vrijednosti, na temelju tablice formirati uređene parove, i na kraju uređene parove ucrtati u pravokutni koordinatni sustav.

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x 2 9 4 1 0 1 4 9
x 2 + 1 10 5 2 1 2 5 10


x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x 2 9 4 1 0 1 4 9
x 2 + 4 13 8 5 4 5 8 13


x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x 2 9 4 1 0 1 4 9
x 2 - 2 7 2 - 1 - 2 - 1 2 7


x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x 2 9 4 1 0 1 4 9
x 2 - 5 4 - 1 - 4 - 5 - 4 - 1 4

Graf:

Slika prikazuje grafove funkcija f(x), g(x), h(x) i k(x).

 Uočite:

  • ​svi su grafovi parabole
  • sve su parabole jednake širine
  • sve su parabole simetrične s obzirom na os y
  • sve su parabole okrenute prema gore
  • najniža točka na osi y određena je brojem c , tj. najniža točka grafa kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x 2 + c ima koordinate 0 , c .

Graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x 2 + c dobivamo pomakom grafa osnovne kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja s ( x ) = x 2 duž osi y za vrijednost parametra c .


Pomicanjem klizača istražite što se događa s grafom kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 + c , a 0  u odnosu prema grafu kvadratne funkcije zadane sa s ( x ) = a x 2 , a 0 .

Povećaj ili smanji interakciju

Kvadratna funkcija oblika f ( x ) = ( a x + c ) 2 , a 0

Zadatak 10.

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = ( x + 2 ) 2 . Odredite vrijednost funkcije f za vrijednost argumenta:

  1. x = - 3
  2. x = - 1.5
  3. x = 0.5 .

Uvrštavanjem dobivamo:

  1. f ( - 3 ) = ( - 3 + 2 ) 2 = ( - 1 ) 2 = 1
  2. f ( - 1.5 ) = ( - 1.5 + 2 ) 2 = 0.5 2 = 0.25
  3. f ( 0.5 ) = ( 0.5 + 2 ) 2 = 2.5 2 = 6.25 .

Primjer 6.

U istome koordinatnom sustavu nacrtajmo grafove kvadratnih funkcija f , g , h i k zadanih pravilima pridruživanja f x = x + 1 2 , g x = x + 4 2 , h x = x - 2 2 i k x = x - 5 2 .

Za svaku funkciju prvo treba popuniti tablicu pridruženih vrijednosti, na temelju tablice formirati uređene parove i na kraju uređene parove ucrtati u pravokutni koordinatni sustav.

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x + 1 - 2 - 1 0 1 2 3 4
x + 1 2 4 1 0 1 4 9 16


x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x + 4 1 2 3 4 5 6 7
x + 4 2 1 4 9 16 25 36 49


x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x - 2 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1
x - 2 2 25 16 9 4 1 0 1


x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x - 5 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2
x - 5 2 64 49 36 25 16 9 4

Graf:

Slika prikazuje grafove zadanih kvadratnih funkcija oblika (ax + b) na kvadrat.

Uočite da vrijede svojstva:

  • ​svi su grafovi parabole
  • sve su parabole jednake širine
  • sve su parabole simetrične, ali ne s obzirom na os y nego na pravac koji prolazi najnižom točkom parabole
  • sve su parabole okrenute prema gore
  • najniža se točka nalazi na osi x i određena je brojem c , tj. najniža točka grafa kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = ( x + c ) 2 ima koordinate ( - c , 0 ).

Graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = ( x + c ) 2 dobivamo pomakom grafa osnovne kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja s ( x ) = x 2   duž osi x za suprotnu vrijednost parametra c .


Pomicanjem klizača istražite što se događa s grafom kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = ( a x + c ) 2 , a 0  u odnosu prema grafu kvadratne funkcije zadane sa s ( x ) = a x 2 , a 0 . ​​

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 11.

Odredite ordinatu točke s apscisom 9 koja pripada grafu funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x 2 .

Tražena točka je pridružena uređenom paru oblika ( 9 , y ), pri čemu je y = f ( 9 ) = 9 2 = 81 .


Zadatak 12.

Odredite apscisu točke s ordinatom 121 koja pripada grafu funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x 2 .

Tražena je točka pridružena uređenom paru oblika ( x , 121 ), pri čemu je f ( x ) = x 2 = 121 . Iz x 2 = 121 slijedi da je x = 11 ili x = - 11 .


Zadatak 13.

Kolika je vrijednost koeficijenta a funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 ako točka P ( 6 , 18 ) pripada grafu te funkcije?

Uvjete zadatka možemo zapisati u obliku f ( 6 ) = a · 6 2 = 18 , tj. 36 a = 18 , odakle je a = 0.5 .


Zadatak 14.

Kolika je vrijednost koeficijenta a kvadratne funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 - 1  ako točka P ( - 2 , 11 ) pripada grafu te funkcije?

Uvjete zadatka možemo zapisati u obliku a · - 2 2 - 1 = 11 , odakle je redom

4 a - 1 = 11 , 4 a = 12 i konačno a = 3 .


Zadatak 15.

Koja je najmanja moguća vrijednost funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = 5 x 2 - 2 ? Nacrtajtena papiru graf te funkcije te objasnite svoj odgovor. ​

Slika prikazuje graf zadane kvadratne funkcije.

Najniža je točka grafa ove funkcije ( 0 , - 2 ) . Zaključujemo da je najmanja moguća vrijednost zadane funkcije jednaka - 2 , a tu vrijednost funkcija poprima za x = 0 .  


...i na kraju

Slika prikazuje graf zadane kvadratne funkcije.

Naučili ste iskazati ovisnost dviju veličina riječima i tablicom pridruženih vrijednosti, nacrtati graf funkcije f ( x ) = x 2 , ispitati pripadnost točke grafu funkcije f ( x ) = x 2  te očitati koordinatu točke koja pripada grafu kvadratne funkcije. Koristeći se stečenim znanjem, riješite zadatak.

Na slici je graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 + c . Koristeći se nacrtanim grafom, odredite ordinate točaka A ( - 3 , a ) i B ( 1 , b ) , apscise točaka C ( c , 1 ) i D ( d , 9 ) .

Odredite pravilo pridruživanja funkcije f pa računski provjerite pripada li točka E ( 7 , 100 ) grafu nacrtane funkcije.

f ( x ) = 2 x 2 + 1  

f ( 7 ) = 2 · 7 2 + 1 = 2 · 49 + 1 = 99  što znači da točka s koordinatama ( 7 , 100 ) ne pripada grafu te funkcije. ​


Za kraj, možete procijeniti svoje znanje.

Ako želite, možete istražiti što se događa s grafom kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja g ( x ) = x 2 + c , c , x R te istražiti kosi hitac.

Povećaj ili smanji interakciju

Kutak za znatiželjne

S pomoću sljedeće animacije istražite kosi hitac te odgovorite na pitanje. Pod kojim kutom projektil treba biti izbačen kako bi postigao najveću udaljenost? ​

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja:

Zadani broj kvadriraj pa od rezultata oduzmi 3 . Prema tom pravilu, broju - 4 pridružen je broj - 19 .

Pomoć:

Pravilo pridruživanja možemo napisati u obliku f ( x ) = x 2 - 3 .

Postupak:

f ( - 4 ) = ( - 4 ) 2 -   3 = 16 - 3 = 13   ​

2

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = 1 2 x 2 . Koje od točaka pripadaju grafu ove funkcije?

3

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = - 2 x 2 . Zadanim vrijednostima argumenta pridružite odgovarajuće vrijednosti funkcije f .

0
- 1
2
1 2
- 8
4

Kvadratne funkcije f i g zadane su pravilima pridruživanja f ( x ) = 3 x 2 i g ( x ) = - 3 x 2

( 2 , - 12 )

Točke na grafu funkcije f  

 Točke na grafu funkcije g

5

Na slici je graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x 2 + c  na kojem su istaknute točke A , B , C i D . Svakoj od točaka pridruži odgovarajući uređeni par.

Slika prikazuje parabolu na kojoj su istaknute točke A, B, C i D.

A
( 1 , - 0.75 )
B  
  ( - 2 , 0 )
  C  
  ( 4 , 3 )
  D
  ( - 6 , 8 )
6

Kvadratne funkcije f , g , h i k zadane su pravilima pridruživanja f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = 2 ( x + 5 ) 2 - 15 , h ( x ) = 2 - x 2 i k ( x ) = - 0.5 x 2 - 1 . Poredajte po veličini, počevši od najmanje, vrijednosti ovih funkcija za vrijednost argumenta x = - 4 .

  • k ( - 4 )
  • f ( - 4 )
  • g ( - 4 )
  • h ( - 4 )
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

5.4 Graf funkcije drugog korijena