4.7 Primjena Pitagorina poučka na jednakostranični trokut

Ako je $a=6\mathrm{cm},$ onda je ​ $\frac{a}{2}=3\mathrm{cm}$ pa primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo redom:

$a^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+v^2$ 

$6^2 = 3^2 + v^2$ 

$36=9+v^2$ 

$v^2=27$ 

$v=\sqrt{27}=\sqrt{9 · 3}=3\sqrt{3}\mathrm{cm},$ tj. ​​ $v \approx 5.2\mathrm{cm}.$

1. Uvrštavanjem zadanog podatka $a=4\mathrm{cm}$ dobiva se:
   

   $v^2=\frac{3·4^2}{4}=\frac{3·16}{4}=12$
   

   $v=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3.46\mathrm{cm}.$

   Zadatak možemo riješiti izravnim uvrštavanjem u prije dobiveni izraz za duljinu visine jednakostraničnog trokuta $v=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

   U tom slučaju računamo:

   $v=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\approx 3.46\mathrm{cm}.$​

2. $v=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}=4.5\sqrt{3}\approx 7.79\mathrm{cm}$
3. $v=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}·\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}=1.5\mathrm{cm}$
4. $v=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}·\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\approx 2.45\mathrm{cm}.$
   

Ako je $v=3\mathrm{cm},$ onda primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo redom:

$a^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+v^2$

$a^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+3^2$

$a^2-\frac{a^2}{4}=3^2$

$\frac{3a^2}{4}=9$

$3a^2=36$

$a^2=12$

$a=\sqrt{12}=\sqrt{4·3}=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$ tj. ​ $a\approx 3.5\mathrm{cm}.$

1. Uvrštavanjem zadanog podatka $v=9\mathrm{cm}$ redom dobivamo:

   $a^2=\frac{4·9^2}{3}=\frac{324}{3}=108$

   $a=\sqrt{108}=\sqrt{36·3}=6\sqrt{3}$

   $a\approx 10.39\mathrm{cm}.$

2. Uvrštavanjem zadanog podatka $v=4\mathrm{cm}$ redom dobivamo:
   

   $a^2=\frac{4·4^2}{3}=\frac{64}{3}$

   $a=\sqrt{\frac{64}{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

   $a\approx 4.62\mathrm{cm}.$
   

3. Uvrštavanjem zadanog podatka $v=\sqrt{3}\mathrm{cm}$ redom dobivamo:

   $a^2=\frac{4·{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{3}=\frac{12}{3}=4$

   $a=\sqrt{4}=2\mathrm{cm}.$

4. Uvrštavanjem zadanog podatka $v=2\sqrt{2}\mathrm{cm}$ redom dobivamo:

   $a^2=\frac{4·{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{3}=\frac{4·8}{3}=\frac{32}{3}$

   $a=\sqrt{\frac{32}{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$

   $a=\frac{4\sqrt{6}}{3}\approx 2.66\mathrm{cm}.$
   

Uz oznake kao na slici opseg trokuta računamo prema formuli $o=3a$ pa je opseg tog trokuta $36\mathrm{cm}.$

Za izračunavanje površine prema formuli $p=\frac{1}{2}av$  potrebno je poznavati duljinu visine.

Za izračunavanje duljine visine primjenjujemo Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut ili upotrebljavamo gotovu formulu $v=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Na oba načina dobivamo da je $v=6\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

Uvrstimo li dobiveno u formulu za površinu, imamo:

$p=\frac{1}{2}av=\frac{1}{2}·12·6\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Za računanje opsega i površine jednakostraničnog trokuta potrebna je duljina stranice.

Primjenom Pitagorina poučka uz oznake kao na slici dobili smo da vrijedi odnos $v^2=\frac{3}{4}{a}^2$, odnosno $a^2=\frac{4}{3}{v}^2.$

Uvrštavanjem dobivamo da je $a^2=192,$ tj. da je $a=8\sqrt{3}\mathrm{cm}$.

Opseg tog trokuta jest $o=3a=3·8\sqrt{3}=24\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

Površina tog trokuta jest $p=\frac{1}{2}av=\frac{1}{2}·8\sqrt{3}·12=48\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2.$

Isti rezultat za površinu dobili bismo i izravnom primjenom formule $p=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}.$

1. Visina znaka opasnosti postavljenog na autocesti
   

   Ako je $a$ duljina stanice, a $v$ duljina visine jednakostraničnog trokuta, onda primjenom Pitagorina poučka dobivamo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta: $v^2=\frac{3a^2}{4}.$
   

   Uvrštavanjem zadanog podatka $a=120\mathrm{cm}$ dobivamo:

   $v^2=\frac{3·{120}^2}{4}=\frac{3·14400}{4}=\frac{43200}{4}=10800$
   

   $v=\sqrt{10800}\approx 104\mathrm{cm}.$​

2. Visina znaka opasnosti postavljenog na glavnoj gradskoj prometnici
   

   Ako je $a$ duljina stanice, a $v$ duljina visine jednakostraničnog trokuta, onda primjenom Pitagorina poučka dobivamo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta: $v^2=\frac{3a^2}{4}.$

   Uvrštavanjem zadanog podatka $a=90\mathrm{cm}$ dobivamo:

   $v^2=\frac{3·{90}^2}{4}=\frac{3·8100}{4}=\frac{24300}{4}=6075$
   

   $v=\sqrt{6075}\approx 78\mathrm{cm}.$
   

3. Visina znaka opasnosti postavljenog u tunelu
   

   Ako je $a$ duljina stanice, a $v$ duljina visine jednakostraničnog trokuta, onda primjenom Pitagorina poučka dobivamo vezu duljine stranice i duljine visine jednakostraničnog trokuta: $v^2=\frac{3a^2}{4}.$

   Uvrštavanjem zadanog podatka $a=60\mathrm{cm}$ dobivamo:

   $v^2=\frac{3·{60}^2}{4}=\frac{3·3600}{4}=\frac{10800}{4}=2700$ 

   $v=\sqrt{2700}\approx 52\mathrm{cm}.$
   

Da bi se izračunala duljina potrebne žice, potrebno je izračunati opseg trokuta (sa stranicom duljine $3\mathrm{cm}$) i duljinu kružnice s polumjerom duljine $r$.

Opseg trokuta iznosi $9\mathrm{cm}.$

Kako izračunati duljinu polumjera trokutu upisane kružnice?

U jednakostraničnom trokutu težište se podudara sa središtem tom trokutu upisane (i opisane) kružnice. Zato je polumjer jednakostraničnom trokutu upisane kružnice jednak trećini duljine visine tog trokuta, tj. uz uobičajene oznake računa se prema formuli $r_u=\frac{1}{3}v=\frac{1}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Uz zadane podatke ( $a=3\mathrm{cm}$) dobivamo da je $r_u=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$  pa opseg kruga s polumjerom duljine $r_u=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$ iznosi

$o=2r_u·\pi =2·\frac{\sqrt{3}}{2}·\pi =\sqrt{3}·\pi \approx 5.44\mathrm{cm}.$

Za izradu jedne takve naušnice trebalo je $9+5.44=14.44\mathrm{cm}$ žice.