Matematika 8 - 8.1 Prizme

Na početku...

Koliko ste puta u svakodnevnom govoru čuli izraze bilježnica na kockice ili naši kockasti? Jesu li ti izrazi pravilni? Pogledajmo.

Slike prikazuju bilježnicu s kvadratićima i bilježnicu s kockicama.

Slika prikazuje "kockasti" dres izrađen od jediničnih kockica.

Kvadrati su geometrijski likovi te su dvodimenzionalni, dok su kocke geometrijska tijela i trodimenzionalna su.

Stoga bi bilo vrlo nezgodno pisati u bilježnicu s kockicama ili odjenuti kockasti dres.

Pravilno bi bilo reći bilježnica s kvadratićima i dres s kvadratićima.

Geometrijski likovi i tijela

Prisjetimo se.

Geometrijski je lik dio ravnine te je omeđen s konačno mnogo dužina ili zakrivljenih crta. Crte koje omeđuju lik moraju biti zatvorene i ne smiju se međusobno sjeći.

Slika prikazuje različite geometrijske likove (krug, pravokutnik, trokut i kvadrat).

Ovo su geometrijski likovi.

Slika prikazuje nekoliko primjera oblika koji nisu geometrijski likovi.

Ovo nisu geometrijski likovi.

Geometrijsko tijelo dio je prostora omeđen plohama. Plohe koje omeđuju tijelo mogu biti ravne (dijelovi ravnina) ili zakrivljene.

Zanimljivost

Slika prikazuje nekoliko geometrijskih tijela ijela i njihovih sjena.

Razvrstajte na likove i tijela.

Zadatak 1.

Pažljivo promotrite tijela na slikama. Kakve mogu biti plohe koje omeđuju geometrijska tijela?

Slika prikazuje skupinu geometrijskih tijela.

Plohe koje omeđuju geometrijsko tijelo mogu biti ravne (dijelovi ravnina) ili zakrivljene.

Zanimljivost

Pogledajte različita geometrijska tijela iz različitih perspektiva.

Zbog toga što plohe koje omeđuju geometrijsko tijelo mogu biti ravne (dijelovi ravnina) ili zakrivljene, geometrijska tijela možemo podijeliti u dvije skupine:

Uglata tijela (poliedri) su tijela koja su omeđena samo ravnim plohama.

Obla tijela su tijela koja su omeđena barem jednom zakrivljenom plohom.

Najvažnije su skupine uglatih tijela (poliedara) prizme i piramide.

Podjela geometrijskih tijela

Zanimljivost

Istražite podrijetlo riječi prizma te njezina značenja na mrežnim stranicama Hrvatske enciklopedije.

Prizme

Zadatak 2.

Usporedite prizme s ostalim geometrijskim tijelima. Što primjećujete?

Slika prikazuje primjere tri skupine tijela -prizme, piramide i obla tijela.

Usporedimo li prizme s ostalim geometrijskim tijelima, možemo primijetiti:

Prizme su uglata geometrijska tijela.

Omeđene su s dva para sukladnih mnogokuta (trokuta, četverokuta, šesterokuta...) i paralelogramima (pravokutnicima).

Sukladni mnogokuti (baze prizme) pripadaju međusobno paralelnim (usporednim) ravninama.

Zanimljivost

Slika prikazuje glavu s kotačićima (osoba razmišlja).

Je li geometrijsko tijelo prizma, piramida ili oblo geometrijsko tijelo?

Razvrstajte.

Pogledajte različite prizme te razmislite kako biste ih opisali.

Slika prikazuje različite prizme. — Prizme

Prizma je geometrijsko tijelo omeđeno s dvama međusobno sukladnim $n$ -terokutima koji pripadaju međusobno paralelnim ravninama, a nazivamo ih bazama ili osnovkama prizme te s $n$ paralelograma koje nazivamo pobočkama i koji čine pobočje prizme. Baze i pobočke jednim imenom nazivamo stranama prizme.

Slika prikazuje uspravnu i kosu prizmu s osjenčanim bazama..

Prizma je uspravna ako su pobočke prizme okomite na ravninu baze. Pobočke uspravne prizme su pravokutnici.

Mi ćemo u ovoj cjelini proučavati samo uspravne prizme.

Sljedeća animacija prikazuje razlike uspravne i kose prizme.

Slika prikazuje uspravnu i kosu četverostranu prizmu.

U sljedećoj animaciji proučite nastanak različitih prizmi.

Nastanak prizmi translacijom

Proučite sljedeću animaciju te uočite svojstva baza i pobočki prizmi.

Svojstva baza i pobočki pravilne uspravne prizme

Zanimljivost

Razlika između prizmi i piramida

U ovom videu možete pobliže proučiti razliku između prizmi i piramida.

Zanimljivost

Ako bijela svjetlost (Sunčeva ili ona iz žarulje) prođe kroz staklenu trostranu prizmu, svjetlost će se razložiti na dugine boje. Više o nastanku duge pogledajte u videozapisu. Također možete pogledati i epizodu Duga serije Laboratorij na kraju svemira.

Više o disperziji svjetlosti i nastanku duge možete pogledati i u videozapisu na engleskom jeziku.

Uspravna je prizma pravilna ako su njezine baze pravilni mnogokuti.

Slika prikazuje pravilne uspravne prizme i pravilne prizme koje nisu uspravne.

Zanimljivost

Pogledajte različite pravilne prizme iz različitih perspektiva.

Ovisno o vrsti mnogokuta koji je baza prizme razlikujemo trostranu (baza joj je trokut), četverostranu (baza je četverokut), peterostranu (baza je peterokut), šesterostranu... $n$ -terostranu prizmu.

Osnovni brid ili brid baze prizme jest dužina po kojoj se sijeku baza i pobočka.

Pobočni brid ili brid pobočke jest dužina po kojoj se sijeku dvije susjedne pobočke prizme. Pobočni su bridovi prizme međusobno usporedni i jednakih su duljina.

Slika prikazuje prizmu na kojoj je istaknuti jedan osnovni i jedan bočni brid.

Primjer 1.

Na slici je uspravna peterostrana prizma $A B C D E A' B' C' D' E' .$ Ispišimo njezine vrhove, osnovne bridove, pobočne bridove, baze i pobočke.

Vrhovi nacrtane prizme su točke $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $A',$ $B',$ $C',$ $D'$ i $E' .$

Osnovni su bridovi nacrtane prizme dužine $\bar{A B},$ $\bar{B C},$ $\bar{C D},$ $\bar{D E},$ $\bar{E A},$ $\bar{A ´ B ´},$ $\bar{B ´ C ´},$ $\bar{C ´ D ´},$ $\bar{D ´ E ´},$ $\bar{E ´ A ´},$ dok su njezini pobočni bridovi dužine $\bar{A A'},$ $\bar{B B'},$ $\bar{C C'},$ $\bar{D D'},$ $\bar{E E}' .$ Baze te prizme su peterokuti $A B C D E$ i $A' B' C' D' E'$ , a pobočke su pravokutnici $A B B' A',$ $B C C' B',$ $C D D' C'$ , $D E E' D'$ i $E A A' E'$ .

Vrh prizme je točka u kojoj se sijeku tri ravnine: ravnina baze i ravnine kojima pripadaju dvije susjedne pobočke. Svaki je vrh zajednička rubna točka triju bridova, dvaju osnovnih i jednoga pobočnog brida.

Visina prizme je udaljenost njezinih baza. Za uspravne prizme visina je jednaka duljini pobočnog brida.

Slika prikazuje prizmu na kojoj je istaknuta visina i vrh.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Promotrite prizme, tablicu precrtajte u bilježnicu pa dopunite tablicu.

Baza	Naziv prizme	Broj vrhova	Broj osnovnih bridova	Broj pobočnih bridova	Broj pobočki	Broj strana
trokut
četverokut
peterokut
šesterokut
osmerokut
$n$ -terokut

Slika prikazuje različite uspravne prizme.

Baza	Naziv prizme	Broj vrhova	Broj osnovnih bridova	Broj pobočnih bridova	Broj pobočki	Broj strana
trokut	trostrana	$6$	$6$	$3$	$3$	$5$
četverokut	četverostrana	$8$	$8$	$4$	$4$	$6$
peterokut	peterostrana	$10$	$10$	$5$	$5$	$7$
šesterokut	šesterostrana	$12$	$12$	$6$	$6$	$8$
osmerokut	osmerostrana	$16$	$16$	$8$	$8$	$10$
$n$ -terokut	$n$ -terostrana	$2 n$	$2 n$	$n$	$n$	$n + 2$