Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Likovi u ravnini mogu, ali ne moraju, biti simetrični. Među simetričnim likovima razlikovali smo osnosimetrične likove i centralnosimetrične likove, pri čemu su neki likovi istodobno mogli biti i osnosimetrični i centralnosimetrični.

Promotrite sliku i razvrstajte likove prema vrsti njihove simetrije.

Slika prikazuje različite geometrijske likove.

Osnosimetrični i centralnosimetrični

Centralnosimetrični, ali ne osnosimetrični

Osnosimetrični, ali ne centralnosimetrični

Nisu simetrični

null

Zadatak 1.

Jednostavne geometrijske likove jednostavno je razvrstati prema vrsti simetrije koju imaju. Što reći o sljedećim likovima? Jesu li osnosimetrični? A centralnosimetrični?

Slika prikazuje znak recikliranog materijala.

Slika prikazuje dizajne u kojima se skriva rotacijska simetrija.

Ni jedan od ovih likova nije ni osnosimetričan, ni centralnosimetričan, no oni ipak izgledaju nekako „pravilno“.

Zanimljivost

Primjere prekrasnih simetrija u prirodi i svijetu oko nas možete pogledati u videu 1 i videu 2.

Rotacijska simetrija

Svi ovi likovi u „svojoj sredini“ imaju (na slikama skrivenu) točku oko koje se rotacijom za određeni kut preslikavaju sami na sebe. Za takve likove kažemo da su rotacijski simetrični.

Geometrijski je objekt (figura, lik) u ravnini rotacijski simetričan ako u ravnini postoji rotacija objekta oko neke točke (centra rotacije) kojom se taj objekt preslika sam na sebe.

Rotacijski su simetrični svi pravilni mnogokuti, pri čemu je kut rotacije bilo koji (cjelobrojni) višekratnik središnjeg kuta tog pravilnog mnogokuta.

Zanimljivost

O rotacijskoj simetriji u ravnini i prostoru pročitajte u članku Izidora Hafnera Rotacijska simetrija, Matka broj 81.

Evo i nekoliko primjera kristalnih struktura koje imaju i svojstvo rotacijske simetrije.

Kutak za znatiželjne

Naučili ste translatirati, zrcaliti i rotirati razne pravilne i nepravilne oblike. U nastavku možete naučiti kako popločiti ravninu koristeći zadane (ili odabrane) oblike i neke od navedenih transformacija.

Popločivanja ravnine

Zanimljivost

Na sljedećem linku možete pogledati primjere popločivanja ravnine u svijetu koji nas okružuje.

Popločivanja sa zgodnim uzorcima možete pogledati na linku.

Slika prikazuje popločavanje likova sukladnim mnogokutima.

Popločiti ravninu znači prekriti je u potpunosti sukladnim geometrijskim likovima pri čemu se likovi ne preklapaju.

Zadatak 2.

Crtanjem istražite koji pravilni mnogokuti mogu popločiti ravninu. Objasnite zbog čega.

Zanimljivost

Pomoću sljedeće interakcije istražite popločivanje ravnine pravilnim mnogokutima.

Ravnina se može popločiti jednakostraničnim trokutima, kvadratima i pravilnim šesterokutima. Ukupan zbroj unutarnjih kutova pravilnog mnogokuta koji se susreću u jednome vrhu mora iznositi $360 ° .$

Veličina unutarnjeg kuta jednakostraničnog trokuta iznosi $60 ° .$ To znači da će šest jednakostraničnih trokuta pri popločivanju ravnine dijeliti zajednički vrh.

Veličina unutarnjeg kuta kvadrata iznosi $90 ° .$ To znači da će četiri kvadrata pri popločivanju ravnine dijeliti zajednički vrh.

Veličina unutarnjeg kuta pravilnog šesterokuta iznosi $120 ° .$ To znači da će tri pravilna šesterokuta pri popločivanju ravnine dijeliti zajednički vrh.

Slika prikazuje popločavanje ravnine kvadratima.

Slika prikazuje popločavanje ravnine jednakostraničnim trokutima.

Slika prikazuje popločavanje ravnine pravilnim šesterokutima.

Zadatak 3.

Istražite može li se ravnina popločiti koristeći pravilne osmerokute i kvadrate ili jednakostranične trokute i kvadrate. Nacrtajte slike i objasnite.

Slika prikazuje popločavanje ravnine kombinacijom dvaju mnogokuta.

Pravilni osmerokut i kvadrat mogu popločiti ravninu tako da zajednički vrh dijele dva pravilna osmerokuta i jedan kvadrat. Veličina unutarnjeg kuta pravilnog osmerokuta iznosi $135 °,$ a kvadrata $90 °,$ a $2 \cdot 135 ° + 90 ° = 360 ° .$

Jednakostranični trokut i kvadrat mogu popločiti ravninu tako da zajednički vrh dijele dva kvadrata i tri jednakostranična trokuta. Veličina unutarnjeg kuta jednakostraničnog trokuta iznosi $60 °,$ a kvadrata $90 °,$ a $3 \cdot 60 ° + 2 \cdot 90 ° = 360 ° .$

Zanimljivost

Istražite kako pomoću translacije kvadrata i jednakostraničnog trokuta te dizajna nacrtanih unutar njih nastaju zanimljive slike. Za to će vam pomoći aplikacija 1, aplikacija 2 i aplikacija 3.

Pogledajte animaciju koja prikazuje nastajanje popločivanja ravnine nepravilnim oblicima i izradu slike te pokušajte nacrtati vlastiti dizajn.

Kutak za znatiželjne

Geoploča i/ili točkasti papir mogu pomoći vašem boljem snalaženju u preslikavanjima ravnine.

Osna simetrija na geoploči ili točkastom papiru

Sljedeće zadatke možete rješavati na točkastom papiru ili geoploči.

Zanimljivost

Online geoploča dostupna je na sljedećoj poveznici.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Istaknuti je pravac os simetrije. Prikažite trokut tako da se cijeli trokut nalazi s desne strane istaknutog pravca. Prikažite njegovu osnosimetričnu sliku.

Slika prikazuje geoploču podijeljenu na dva jednaka dijela.

Slika prikazuje osnosimetričnu sliku trokuta na geoploči.

Zadatak 5.

Istaknuti je pravac os simetrije. Na geoploči prikažite trokut tako da se jedan njegov vrh nalazi na zadanom pravcu, a dva vrha s lijeve strane zadanog pravca. Prikažite osnosimetričnu sliku tog trokuta.

Zadatak 6.

Na slici je istaknuta os simetrije. Na geoploči prikažite trokut tako da se dva vrha nalaze iznad, a jedan ispod zadanog pravca, Prikažite njegovu osnosimetričnu sliku.

Slika prikazuje trokut na geoploči preslikan osnom simetrijom.

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Na slici je istaknuta os simetrije. Na geoploči prikažite neki trokut te njegovu osnosimetričnu sliku.

Slika prikazuje trokut preslikan osnom simetrijom.

Zadatak 8.

Istaknuti je pravac os simetrije. Koristeći geoploču, dovršite sliku osnosimetričnog lika.

Slika prikazuje dio osnosimetričnog lika na geoploči.

Slika prikazuje preslikavanje jedne strane lika na drugu preko zadanog pravca na geoploči.

Zadatak 9.

Prikazani su osnosimetrični likovi. Prikažite svakog od njih na geoploči te istaknite njihove osi simetrije.

Slika prikazuje osnosimetrične likove na geoploči.

Slika prikazuje osnosimetrične likove na geoploči s istaknutom osi simetrije.

Zatvori

Praktična vježba

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Prikažite osnosimetričnu sliku zadanog trokuta s obzirom na istaknutu os simetrije.

Udaljenost između dva čavlića (točkica) u istome retku ili istome stupcu iznosi 1 jedinicu.

Odredite duljine stranica svakog trokuta. Što primjećujete?
Koje je vrste zadani trokut s obzirom na veličinu unutarnjih kutova?
Koje je vrste novonastali trokut s obzirom na veličinu unutarnjih kutova?
Usporedite veličine unutarnjih kutova dvaju trokuta. Što primjećujete?

Slika prikazuje trokut na geoploči te os simetrije.

Duljine kateta originalnog trokuta iznose $3$ i $4$ jedinice. Prema Pitagorinu poučku, duljina hipotenuze tog trokuta iznosi $5$ jedinica. Duljine stranica osnosimetrične slike toga trokuta također iznose $3,$ $4$ i $5$ jedinica. Možemo zaključiti da osna simetrija čuva udaljenosti.
Originalni trokut je pravokutan.
Preslikani trokut također je pravokutan.
Veličine su unutarnjih kutova obaju trokuta jednake. Možemo zaključiti da osna simetrija čuva veličinu kuta.

Zadatak 11.

Prikažite osnosimetričnu sliku zadanog četverokuta s obzirom na zadanu os simetrije.

Promotrite, jesu li parovi stranica ostali usporedni nakon što je kvadrat preslikan osnom simetrijom? Što primjećujete?

Slika prikazuje kvadrat na ploči te os simetrije.

Slika prikazuje osnosimetričnu sliku kvadrata na geoploči.

Parovi usporednih stranica ostali su usporedni i nakon preslikavanja. Osna simetrija čuva usporednost pravaca.

Zadatak 12.

Na geoploči prikažite trokut tako da se cijeli nalazi u trećem kvadrantu te ispišite koordinate njegovih vrhova. Preslikajte trokut s obzirom na os $x$ , te ispišite koordinate vrhova preslikanog trokuta. Promotrite, ako mnogokut s vrhom $(x, y)$ preslikamo s obzirom na os $x,$ kako će se to odraziti na njegove koordinate?

Slika prikazuje geoploču podijeljenu na četiri jednaka dijela.

Slika prikazuje osnosimetričnu sliku trokuta u na geoploči.

Koordinata $x$ ostaje nepromijenjena, dok koordinata $y$ mijenja predznak. Osnosimetrična slika točke zadane koordinatom $(x, y)$ preslikane preko osi $x$ ima koordinate $(x, - y) .$

Zadatak 13.

Na geoploči prikažite trokut tako da se cijeli nalazi u drugom kvadrantu te ispišite koordinate njegovih vrhova. Preslikajte trokut s obzirom na os $y$ , te ispišite koordinate vrhova preslikanog trokuta. Promotrite, ako mnogokut s vrhom $(x, y)$ preslikamo s obzirom na os $y,$ kako će se to odraziti na njegove koordinate?

Koordinata $y$ ostaje nepromijenjena, dok koordinata $x$ mijenja predznak. Osnosimetrična slika točke zadane koordinatom $(x, y)$ preslikane preko osi $y$ ima koordinate $(- x, y) .$

Zatvori

Translacija na geoploči

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 14.

Na geoploči gumicama prikažite trokut s vrhovima $(1, 2),$ $(1, 1),$ $(3, 1) .$ Trokut translatirajte za $- 4$ jedinice u smjeru $x$ -osi i $- 3$ jedinice u smjeru $y$ -osi. Nacrtajte odgovarajuću sliku te odredite koordinate vrhova translatiranog trokuta.

Ako translatirate mnogokut čiji je jedan vrh u $(x, y)$ za $- 4$ jedinice u smjeru $x$ -osi i $- 3$ jedinice u smjeru $y$ -osi, koje će koordinate poprimiti taj vrh?

Slika prikazuje translaciju trokuta na geoploči.

Koordinate trokuta su $(- 2, - 2),$ $(- 2, - 3),$ $(0, - 3) .$

Ako translatiramo mnogokut za $- 4$ jedinice u smjeru $x$ -osi i $- 3$ jedinice u smjeru $y$ -osi, $x$ koordinata točke smanjit će se za $3,$ a $y$ koordinata smanjiti za četiri, tj. poprimit će koordinate $(x - 4, y - 3) .$

Zadatak 15.

Slika prikazuje trokut i njegovu translatiranu sliku.

Je li trokut $A ´ B ´ C ´$ dobiven translacijom trokuta $A B C ?$ Ako je, odredite vektor translacije. Je li rješenje jednoznačno? Objasnite.

Slika prikazuje trokut, njegovu translatiranu sliku te vektor translacije.

Rješenje je jednoznačno. Vektori $\vec{A A'}, \vec{B B ´}, \vec{C C ´}$ su jednaki vektori jer imaju isti smjer, istu orijentaciju i istu duljinu.

Zadatak 16.

Na slici je trapez u drugom kvadrantu pravokutnog koordinatnog sustava, vrhovi su mu u čvorovima mreže.

Odredite vektor koji će trapez preslikati iz drugog u četvrti kvadrant. Je li rješenje jednoznačno? Objasnite.

Na slikama su dvije (od beskonačno mnogo) translacija koje zadani trapez iz drugog preslikavaju u četvrti kvadrant.

Rješenje nije jednoznačno. Primjerice, dva različita rješenja prikazana su slikom.

Zatvori

Centralna simetrija na geoploči

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 17.

Na slici je pravokutni koordinatni sustav i u njemu je istaknuta točka s koordinatama (1, 1)Centralna simetrija na geoploči

Neka je točka $A$ s koordinatama $(1, 1)$ središte centralne simetrije. Na geoploči prikažite trokut tako da se cijeli trokut nalazi u prvom kvadrantu. Preslikajte trokut s obzirom na točku $A$ kao centar simetrije. Usporedite trokut i njegovu centralnosimetričnu sliku. Što primjećujete?

Na slici je prikazano preslikavanje trokuta iz prvog kvadranta centralnom simetrijom s obzirom na točku (1, 1).

Originalni trokut i njegova centralnosimetrična slika su sukladni. To znači da su im odgovarajuće stranice jednakih duljina te odgovarajući kutovi jednakih veličina.

Zadatak 18.

Na slici je trokut ABC čiji su vrhovi u čvorovima mreže u drugom kvadrantu koordinatnog sustava.

Centralnom simetrijom preslikajte prikazani trokut preko ishodišta kao osi simetrije. Ispišite koordinate vrhova trokuta $A B C$ i trokuta $A ´ B ´ C ´ .$ Što primjećujete?

Na slici je rješenje zadatka - slika trokuta ABC dobivena preslikavanjem tog trokuta centralnom simetrijom s obzirom na ishodište koordinatnog sustava.

Koordinate vrhova trokuta $A B C$ su $A (- 5, 1),$ $B (- 1, 3)$ i $C (- 4, 4) .$

Koordinate vrhova trokuta $A ´ B ´ C ´$ su $A' (5, - 1),$ $B (1, - 3)$ i $C (4, - 4) .$

Centralnosimetrična slika točke s koordinatama $(x, y)$ s obzirom na ishodište koordinatnog sustava ima koordinate $(- x, - y) .$

Zatvori

Rotacija na geoploči

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 19.

Na geoploči prikažite trokut s vrhovima $(- 1, 3),$ $(- 4, 2)$ i $(- 3, 1) .$ Rotirajte trokut za $90 °$ u pozitivnom smjeru oko ishodišta. Nacrtajte sliku i odredite koordinate dobivenih vrhova. Što primjećujete?

Na slici je prikazana rotacija trokuta ABC oko ishodišta za kut veličine 90 stupnjeva u pozitivnom smjeru.

Koordinate vrhova trokuta $A B C$ su $A (- 1, 3),$ $B (- 4, 2)$ i $C (- 3, 1) .$

Koordinate vrhova trokuta $A ´ B ´ C ´$ su $A' (- 3, - 1),$ $B' (- 2, - 4)$ i $C' (- 1, - 3) .$

Slika točke s koordinatama $(x, y)$ rotirane za $90 °$ u pozitivnom smjeru oko ishodišta ima koordinate $(- y, x) .$

Zadatak 20.

Na geoploči prikažite trokut s vrhovima $(2, - 3),$ $(4, - 2)$ i $(3, - 1) .$ Rotirajte trokut za $90 °$ u negativnom smjeru oko ishodišta. Nacrtajte sliku i odredite koordinate dobivenih vrhova. Što primjećujete?

Na slici je prikazana rotacija trokuta ABC oko ishodišta za kut veličine 90 stupnjeva u negativnom smjeru.

Koordinate vrhova trokuta $A B C$ su $A (2, - 3),$ $B (4, - 2)$ i $C (3, - 1) .$

Koordinate vrhova trokuta $A ´ B ´ C ´$ su $A' (- 3, - 2),$ $B' (- 2, - 4)$ i $C' (- 1, - 3) .$

Slika točke s koordinatama $(x, y)$ rotirane za $90 °$ u negativnom smjeru oko ishodišta ima koordinate $(y, - x) .$

Zatvori

Na početku...

Osnosimetrični i centralnosimetrični

Centralnosimetrični, ali ne osnosimetrični

Osnosimetrični, ali ne centralnosimetrični

Nisu simetrični

Zadatak 1.

Zanimljivost

Rotacijska simetrija

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

Popločivanja ravnine

Zanimljivost

Zadatak 2.

Zanimljivost

Zadatak 3.

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

Osna simetrija na geoploči ili točkastom papiru

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Praktična vježba

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Translacija na geoploči

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Centralna simetrija na geoploči

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Rotacija na geoploči

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 19.

Zadatak 20.

...i na kraju