Matematika 8 - 3.7 Kvadratna jednadžba

Rješavanje kvadratne jednadžbe oblika $a x^{2} + c = 0$

Riješiti kvadratnu jednadžbu oblika $a x^{2} + c = 0,$ $a \neq 0$ znači odrediti racionalni broj $x$ koji, uvrštavanjem u jednadžbu, daje istinitu brojevnu jednakost.

Primjer 2.

Koji racionalni broj $x$ zadovoljava uvjet $x^{2} - 9 = 0 ?$

Uvjet (jednadžbu) $x^{2} - 9 = 0$ možemo pisati u obliku $x^{2} = 9$ pa bi netko (brzopleto) mogao zaključiti da je $x = 3$ jedino rješenje postavljene jednadžbe.

Sjetimo se da su kvadrati međusobno suprotnih brojeva jednaki, tj. da vrijedi $3^{2} = (- 3)^{2} = 9$ i zato ta kvadratna jednadžba ima dva rješenja $x_{1} = 3$ i $x_{2} = - 3.$

Možemo razmišljati i na drugi način.

Zadanu jednadžbu $x^{2} - 9 = 0$ možemo shvatiti kao razliku kvadrata i napisati je u obliku umnoška zbroja i razlike istih članova, tj. sjetiti se da vrijedi $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3) .$

Tada vrijedi $(x + 3) (x - 3) = 0 .$

Umnožak dvaju članova jednak je $0$ ako je barem jedan od njih jednak $0,$ tj. ako vrijedi $x + 3 = 0$ ili $x - 3 = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x + 3 = 0$ je $x = - 3 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x - 3 = 0$ je $x = 3 .$

Zadatak 3.

Riješite kvadratne jednadžbe i provjerite točnost rješenja.

a. $x^{2} - 25 = 0$

a. $\begin{array}{l} x^{2} - 25 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 5) (x + 5) = 0 \end{array}$

Umnožak je jednak $0$ ako je barem jedan od faktora jednak $0,$ tj. ako vrijedi $x - 5 = 0$ ili $x + 5 = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x - 5 = 0$ je $x = 5 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x + 5 = 0$ je $x = - 5 .$

Provjera:

$5^{2} - 25 = 25 - 25 = 0$

$(- 5)^{2} - 25 = 25 - 25 = 0 .$

b. $4 x^{2} - 49 = 0$

b. $\begin{array}{l} 4 x^{2} - 49 = 0 \Leftrightarrow (2 x)^{2} - 7^{2} = 0 \Leftrightarrow (2 x - 7) (2 x + 7) = 0 \end{array}$

Umnožak je jednak $0$ ako je barem jedan od faktora jednak $0,$ tj. ako vrijedi $2 x - 7 = 0$ ili $2 x + 7 = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $2 x - 7 = 0$ je $x = 3.5 .$

Rješenje linearne jednadžbe $2 x + 7 = 0$ je $x = - 3.5 .$

Drugi način:

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 49 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - \frac{49}{4} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - {(\frac{7}{2})}^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - \frac{7}{2}) (x + \frac{7}{2}) = 0 \end{array}$

Umnožak je jednak $0$ ako je barem jedan od faktora jednak $0,$ tj. ako vrijedi $x - \frac{7}{2} = 0$ ili $x + \frac{7}{2} = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x - \frac{7}{2} = 0$ je $x = \frac{7}{2} .$

Rješenje linearne jednadžbe $x + \frac{7}{2} = 0$ je $x = - \frac{7}{2}$

Provjera:

$4 \cdot {3.5}^{2} - 49 = 4 \cdot 12.25 - 49 = 49 - 49 = 0$

$4 \cdot (- 3.5)^{2} - 49 = 4 \cdot 12.25 - 49 = 49 - 49 = 0 .$

c. $9 x^{2} - 1 = 99$

c. $\begin{array}{l} 9 x^{2} - 1 = 99 \Leftrightarrow 9 x^{2} - 100 = 0 \Leftrightarrow (3 x)^{2} - 10^{2} = 0 \Leftrightarrow (3 x - 10) (3 x + 10) = 0 \end{array}$

Umnožak je jednak $0$ ako je barem jedan od faktora jednak $0,$ tj. ako vrijedi $3 x - 10 = 0$ ili $3 x + 10 = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $3 x - 10 = 0$ je $x = \frac{10}{3} .$

Rješenje linearne jednadžbe $3 x + 10 = 0$ je $x = - \frac{10}{3} .$

Provjera:

$9 \cdot {(\frac{10}{3})}^{2} - 1 = 9 \cdot \frac{100}{9} - 1 = 100 - 1 = 99$

$9 \cdot {(- \frac{10}{3})}^{2} - 1 = 9 \cdot \frac{100}{9} - 1 = 100 - 1 = 99 .$

d. $x^{2} - 10 = 0$

d. $\begin{array}{l} x^{2} - 10 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - {(\sqrt{10})}^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{10}) (x + \sqrt{10}) = 0 \end{array}$

Umnožak je jednak $0$ ako je barem jedan od faktora jednak $0,$ tj. ako vrijedi $x - \sqrt{10} = 0$ ili $x + \sqrt{10} = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x - \sqrt{10} = 0$ je $x = \sqrt{10} .$

Rješenje linearne jednadžbe $x + \sqrt{10} = 0$ je $x = - \sqrt{10} .$

Provjera:

${(\sqrt{10})}^{2} - 10 = 10 - 10 = 0$

$(- \sqrt{10})^{2} - 10 = 10 - 10 = 0 .$

e. $x^{2} = 0$

e. Postupimo li na isti način kao u prethodnim primjerima jednadžbu

$x^{2} = 0$ možemo pisati u obliku umnoška $x^{2} - 0^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 0) (x + 0) = 0 .$
Umnožak je jednak $0$ ako je barem jedan od faktora jednak $0,$ tj. ako vrijedi $x - 0 = 0$ ili $x + 0 = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x - 0 = 0$ je $x = 0 .$

Rješenje linearne jednadžbe $x + 0 = 0$ je $x = 0 .$

Dakle, ta jednadžba ima dva međusobno jednaka rješenja (često kažemo da ima jedno dvostruko rješenje).

f. $x^{2} + 4 = 0$

f. $x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2^{2} = 0$

Naučili ste da zbroj kvadrata nije moguće napisati u obliku umnoška dvaju linearnih izraza.

S druge strane vrijedi $x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = - 4$ , što je zahtjev koji ne zadovoljava ni jedan racionalni broj $x$ . (Ne zaboravite da je kvadrat svakoga racionalnog broja nenegativni racionalni broj.)

Zadana jednadžba nema rješenja u skupu racionalnih brojeva.

Promotrimo najjednostavniju kvadratnu jednadžbu oblika $x^{2} = a .$

Ako je $a > 0,$ onda ta jednadžba ima točno dva rješenja, $x_{1} = \sqrt{a}$ i $x_{2} = - \sqrt{a} .$

Ako je $a = 0,$ onda ta jednadžba ima jedno dvostruko rješenje, $x_{1} = x_{2} = 0 .$

Ako je $a < 0,$ onda ta jednadžba nema rješenja (u dosad poznatim vam skupovima brojeva) jer ne postoji broj koji pomnožen sa samim sobom daje negativan rezultat.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadane jednadžbe napišite na papir u obliku umnoška pa odredite sve racionalne brojeve $x$ za koje vrijedi zadana jednakost.

$x^{2} - 144 = 0$
$x^{2} = 4.41$
$x^{2} = \frac{81}{16}$
$3 x^{2} - 3.63 = 0$
${(x + 5)}^{2} = 0$

$\begin{array}{l} x^{2} - 144 = 0 \Leftrightarrow (x - 12) (x + 12) = 0 \end{array}$

$x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12$

$x + 12 = 0 \Rightarrow x = - 12$
$\begin{array}{l} x^{2} = 4.41 \Leftrightarrow (x - 2.1) (x + 2.1) = 0 \end{array}$

$x - 2.1 = 0 \Rightarrow x = 2.1$

$x + 2.1 = 0 \Rightarrow x = - 2.1$
$\begin{array}{l} x^{2} = \frac{81}{16} \Leftrightarrow (x - \frac{9}{4}) (x + \frac{9}{4}) = 0 \end{array}$

$x - \frac{9}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{4}$

$x + \frac{9}{4} = 0 \Rightarrow x = - \frac{9}{4}$
$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 3.63 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1.21 = 0 \Leftrightarrow (x - 1.1) (x + 1.1) = 0 \end{array}$

$x - 1.1 = 0 \Rightarrow x = 1.1$

$x + 1.1 = 0 \Rightarrow x = - 2.1$
$\begin{array}{l} {(x + 5)}^{2} = 0 \Leftrightarrow (x + 5) (x + 5) = 0 \end{array}$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$

Ova jednadžba ima dva međusobno jednaka rješenja.

Zadatak 5.

Zadanim jednadžbama pridružite njihova rješenja.

$x^{2} - 64 = 0$	$x = 8$ i $x = - 8$
$3 + x^{2} = 52$	$x = 5$ i $x = - 5$
$2 x^{2} - 50 = 0$	$x = 7$ i $x = - 7$
$8 x^{2} - 50 = 0$	$x = 2.5$ i $x = - 2.5$

Pomoć:

Zadane jednadžbe napišite u obliku $a x^{2} - c = 0 \Leftrightarrow x^{2} - {(\sqrt{\frac{c}{a}})}^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{\frac{c}{a}}) (x + \sqrt{\frac{c}{a}}) = 0$ pa riješi dobivene linearne jednadžbe.

null

Zatvori

Uvježbajte rješavanje kvadratne jednadžbe oblika $a x^{2} = b .$ Nakon što riješite zadanu jednadžbu, s pomoću interaktivnog programa provjerite svoje rješenje te postupak rješavanja.

Zadatak 6.

Riješite kvadratne jednadžbe.

$x (x + 9) = 0$
$(x + 2) (x - 3) = 0$
$(x - 4) (2 x + 3) = 0$

Umožak je jednak $0$ ako je barem jedan od faktora jednak $0 .$

$x (x + 9) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ili $x + 9 = 0$ pa je $x = 0$ ili $x = - 9$
$(x + 2) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0$ ili $x - 3 = 0$ pa je $x = - 2$ ili $x = 3$
$(x - 4) (2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 4 = 0$ ili $2 x + 3 = 0$ pa je $x = 4$ ili $x = - 1.5$

Kutak za znatiželjne

Iako rješavanje složenijih kvadratnih jednadžbi prelazi granice osnovne škole, i u osnovnoj je školi moguće rješavati neke od njih.

Pogledajte videozapis s rješavanjem dvaju primjera malo složenijih kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje kvadratne jednadžbe

(x + 5)^{2} = 64

Rješavanje kvadratne jednadžbe

x (x - 4) = 45

Primjer 3.

Primjenjujući razliku kvadrata, napišimo jednadžbu u obliku umnoška. Riješimo kvadratnu jednadžbu i provjerimo točnost rješenja jednadžbe ${(x + 2)}^{2} = 9 .$

$(x + 2)^{2} = 9 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} - 3^{2} = 0$

$(x + 2 + 3) (x + 2 - 3) = 0 \Leftrightarrow (x + 5) (x - 1) = 0$

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli, tj. ako vrijedi

$(x + 5) = 0,$ odakle je $x = - 5$ ili

$(x - 1) = 0,$ odakle je $x = 1 .$

Provjera:

${(- 5 + 2)}^{2} = (- 3 {)^{2}}^{} = 9$

${(1 + 2)}^{2} = 3^{2} = 9 .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Napišite na papiru u obliku umnoška i riješite kvadratne jednadžbe.

${(x - 3)}^{2} - 49 = 0$
${(4 + x)}^{2} - 81 = 0$
${(2 x + 13)}^{2} + 1 = 50$

$\begin{array}{l} {(x - 3)}^{2} - 49 = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} - 7^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 3 + 7) (x - 3 - 7) = 0 \end{array}$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 4$

$x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$
$\begin{array}{l} {(4 + x)}^{2} - 81 = 0 \Leftrightarrow {(4 + x)}^{2} - 9^{2} = 0 \Leftrightarrow (4 + x + 9) (4 + x - 9) = 0 \end{array}$

$x + 13 = 0 \Rightarrow x = - 13$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
$\begin{array}{l} {(2 x + 13)}^{2} + 1 = 50 \Leftrightarrow {(2 x + 13)}^{2} - 49 = 0 \Leftrightarrow (2 x + 13 + 7) (2 x + 13 - 7) = 0 \end{array}$

$2 x + 20 = 0 \Rightarrow x = - 10$

$2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 3$

Zadatak 8.

Kvadratne jednadžbe razvrstajte prema „vrsti” rješenja.

x^{2} + 5 = 0

{(x + 3)}^{2} - 25 = 0

x^{2} - 12 = 0

{(2 x - 1)}^{2} = 49

16 + x^{2} = 0

{(x - 3)}^{2} = 0

{(2 x + 1)}^{2} = 0

x^{2} - 25 = 0

2 x^{2} - 0.32 = 0

Jednadžbe koje imaju jedno dvostruko rješenje

Jednadžbe kojima su rješenja dva međusobno suprotna broja

Jednadžbe koje nemaju (realnih) rješenja

Jednadžbe koje imaju dva rješenja koja nisu međusobno suprotni brojevi

null

Zatvori

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Slika prikazuje ogradu s dva ulaza na igralište kvadratnog oblika. Ulazi se nalaze na suprotnim stranama igrališta.

Igralište u oblika kvadrata ima površinu od $3 025$ kvadratnih metara. Oko igrališta treba postaviti ogradu, pri čemu na dva mjesta ostaju neograđeni dijelovi duljine $5$ metara za ulaz. Koliko metara ograde treba postaviti?

Ako je površina kvadrata sa stranicom dujine $a$ jednaka $3 025 m^{2},$ možemo pisati jednadžbu $a^{2} = 3 025 .$ Budući da je duljina stranice kvadrata pozitivan broj, rješavanjem te kvadratne jednadžbe dobivamo da je pozitivno rješenje te jednadžbe $a = 55 m .$
Opseg tog kvadrata je $4 \cdot 55 = 220 m,$ a ogradu je potrebno postaviti na $220 - 10 = 210 m .$

Zadatak 10.

Ako neki predmet ispustimo iz ruke, brzina kojom tijelo pada stalno se povećava. Zanemarimo li otpor zraka, visina predmeta može se izračunati prema modelu: $y = \frac{1}{2} g t^{2},$ pri čemu $g$ predstavlja gravitacijsku konstantu s približnom vrijednošću $10 {m/s}^{2},$ $y$ vertikalni položaj u metrima, a $t$ vrijeme pada izraženo u sekundama. Koliko će vremena proći dok predmet ne padne na tlo ako je:

predmet ispušten iz ruke s visine od $20 m$
predmet ispušten iz ruke s visine od $103 m ?$

Uvrštavanjem podataka $y = 20 m$ i $g = 10 {m/s}^{2}$ u izraz $y = \frac{1}{2} g t^{2},$ dobivamo:

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^{2} = 20,$ tj. $t^{2} = 4 .$

Budući da rješenje mora biti pozitivan broj, u obzir uzimamo samo pozitivno rješenje jednadžbe te zaključujemo da je $t = 2$ sekunde.

Uvrštavanjem podataka $y = 103 m$ i $g = 10 {m/s}^{2}$ u izraz $y = \frac{1}{2} g t^{2},$ dobivamo:

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^{2} = 103,$ tj. $t^{2} = 20.6 .$

Budući da rješenje mora biti pozitivan broj, u obzir uzimamo samo pozitivno rješenje jednadžbe te zaključujemo da je $t = \sqrt{20.6} \approx 4.5$ sekunda.

Zadatak 11.

Energija koju ima tijelo u gibanju naziva se kinetička energija. Kinetičku energiju tijela računamo prema formuli $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ pri čemu je $m$ masa tijela u kilogramima, a $v$ brzina tijela u metrima po sekundi. Mjerna jedinica za energiju je džul (oznaka $J$ ).

Tijelo mase $5 kg$ kreće se i ima energiju od $40 J .$ Kolikom se brzinom kreće to tijelo?

Uvrstimo li zadane podatke u formulu za kinetičku energiju, dobit ćemo:

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot v^{2} = 40 .$

Nakon sređivanja dobivamo redom:

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot v^{2} = 40 \Leftrightarrow 5 v^{2} = 80 \Leftrightarrow v^{2} = 16 .$

Kvadratna jednadžba $\begin{array}{l} v^{2} = 16 \Leftrightarrow v^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow (v - 4) (v + 4) = 0 \Leftrightarrow v_{1} = 4 \end{array}$ ili $v_{2} = - 4$ ima dva rješenja, no negativno rješenje nema smisla.

Tijelo se giba brzinom od $4$ metra u sekundi.

Zadatak 12.

Tijelo mase $5.4 kg$ kreće se nepoznatom brzinom i ima energiju od $33.075 J .$

Kolikom se brzinom kreće?

35

metara u sekundi

3.5

metra u sekundi

0.35

metara u sekundi

Pomoć:

Kinetičku energiju tijela računamo prema formuli

$E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} .$

Postupak:

Uvrštavanjem zadanih podataka u izraz $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ dobivamo $\frac{1}{2} \cdot 5.4 \cdot v^{2} = 33.075,$

odnosno $2.7 \cdot v^{2} = 33.075 \Leftrightarrow v^{2} = 12.25 .$

Uvjet zadovoljavaju brojevi $3.5$ i $- 3.5,$ no brzina je gibanja izražena pozitivnim brojem.

Zatvori

Zanimljivost

Kvadratne jednadžbe rješavali su još u starom Babilonu.

Starogrčki matematičari kvadratne su jednadžbe rješavali konstruktivno. Posebno su se isticali Euklid (3. st. pr. Krista) i Hiparh (2. st. pr. Krista). U računskom rješavanju povijest bilježi doprinos Diofanta i Herona.

Prvu opću formulu za rješavanje kvadratnih jednadžbi dao je Brahmagupta (Indija, 7. st.), dok Bombelli (16. st.) i Girard (17. st.) poznaju postupak rješavanja koji se i danas koristi.

Povezani sadržaji

Slika prikazuje dužinu AB i na njoj istaknutu točku C koja dužinu dijeli u omjeru zlatnoga reza. Manji dio odnosi se prema većemu kao veći dio prema cijeloj dužini.

Zlatni rez

Točka $C$ dijeli dužinu $\bar{A B}$ u omjeru zlatnog reza ako vrijedi $|A B| : |A C| = |A C| : |C B| .$

Označimo li $|A B| = a$ i $|A C| = x,$ onda je $|C B| = a - x$ pa omjer zlatnog reza možemo zapisati kao $a : x = x : (a - x) .$

Taj se razmjer svodi na kvadratnu jednadžbu $x^{2} + a x - a^{2} = 0 .$

Pogledajte interakciju u kojoj je prikazan postupak konstrukcije točke koja nactranu dužinu dijeli u omjeru zlatnog reza.

Zanimljivost

Na slici je prikazana školjka nautilus kao primjer zlatnog reza u prirodi. — Školjka nautilus ‒ primjer zlatnog reza u prirodi

Na slici je prikazana zlatna spirala.

Pojam zlatnog reza (božanske proporcije) pripisuje se Pitagorejcima, a javlja se u prirodi, umjetnosti, arhitekturi...

Najpoznatija slika Leonarda da Vincija, Mona Lisa, primjer je primjene zlatnog reza u umjetnosti.

$5 x - 3 = 2 x + 1$	$3 x - 4 = 0$
$3 x^{2} + 5 x = x (x + 5) + 32$	$x^{2} - 3 x - 1 = 0$
$x (2 x - 3) = x^{2} + 1$	$2 x^{2} = 32$
$3 (x + 5) = 2 - 5 x$	$8 x + 13 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$	$x_{1} = x_{2} = 4$
$2 x^{2} = 32$	$x_{1} = 8 i x_{2} = - 8$
${(x + 4)}^{2} = 0$	$x_{1} = x_{2} = - 4$
$\frac{1}{2} x^{2} - 30 = 2$	$x_{1} = 4 i x_{2} = - 4$

3.7 Kvadratna jednadžba

Na početku...

Zanimljivost

Kvadratna jednadžba

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Linearne jednadžbe

Kvadratne jednadžbe

Zadatak 2.

Rješavanje kvadratne jednadžbe oblika $a x^{2} + c = 0$