x
Učitavanje

7.1 Točke, pravci i ravnine u prostoru

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje ¨šuplje¨ tijelo s točkama pravcima i ravninama u prostoru.Autor: Robert Webb's
Izvor: „Runcinated tesseract Schlegel diagram, solid tetrahedron cells“, autor: Robert Webb's Stella software, http://www.software3d.com/Stella.php, https://en.wikipedia.org/wiki/Runcinated_tesseracts#/media/File:Schlegel_half-solid_runcinated_8-cell.png, CC BY, slika je uvećana (CC BY)
Na umjetničkoj grafici vidimo točke, pravce i ravnine u različitim odnosima.

Točka, ravnina, pravac

Primjer 1.

n

Na slici vidimo istaknutu točku kojoj smo pridružili ime, T . Ime točke piše se velikim tiskanim slovom. Naprimjer, A , B , C , Z , ...

Slika prikazuje nekoliko različitih točaka

Na slici vidimo nekoliko različitih točaka. Različitim točkama pridružujemo različita imena.

Primjer 2.

Slika prikazuje točku T u ravnini pi

Točka T pripada ravnini. Nazovimo tu ravninu π .

Primjer 3.

Slika prikazuje točke T i M u ravnini pi . Točka T pripada pravcu p, a točka M mu ne pripada.

U ravnini π su nacrtane točke T i M .

Nacrtajmo pravac p kojem točka​ T pripada.

Točka M ne pripada pravcu p .

Točka, pravac i ravnina osnovni su pojmovi geometrije.

Zanimljivost

Slika prikazuje starogrčkog matematičara Euklida
Euklid, rođen 323. g. pr. Kr. u Aleksandriji, Egipat. Preminuo 285. g. pr. Kr.

Kad se nešto imenuje osnovnim pojmom, to znači da se ne definira i ne opisuje.

Euklid je bio starogrčki matematičar poznat po svom djelu "Elementi", u kojem je prikupio tada poznata znanja o geometriji.

Evo kako je Euklid pisao o osnovnim pojmovima geometrije.

  • Točka je ono što nema dijelova.
  • Crta je duljina bez širine.
  • Krajevi crte su točke.
  • Dužina je ona crta koja jednako leži prema točkama na njoj.
  • Ploha je ono što ima samo duljinu i širinu.
  • Krajevi plohe su crte.
  • Ravnina je ploha koja jednako leži prema dužinama na njoj.


Dužina

Primjer 4.

Slika prikazuje nekoliko različitih načina spajanja dvije različite točke A i B

Neka su zadane dvije točke. Nazovimo ih točkama A i B . Spojimo točke A i B .

Možemo ih spojiti na beskonačan broj načina. Samo je jedan način drukčiji od svih ostalih.

Poseban je način onda kada je u pitanju najkraća spojnica točaka A i B .

Najkraća spojnica točaka A i B je dužina te zapisujemo​ A B ¯ i čitamo "Dužina A , B ".

Točke A i B krajevi su dužine A B ¯ .

Dužina je najkraća spojnica dviju točaka.

Jednake dužine imaju iste krajnje točke.

Primjer 5.

Karta hrvatske s ucrtanim zračnim i kopnenim putem Zagreb - Zadar
Prikaz zračne udaljenosti (crvena crta) i cestovne udaljenosti (plava crta)

Promotrimo kartu Republike Hrvatske. Potražimo točku koja označava grad Zagreb te onu koja označava grad Zadar. ​Na karti je dužinom A B ¯ istaknuta linija zračne udaljenosti, najkraće udaljenost između Zagreba i Zadra. Plavom zakrivljenom linijom istaknuta je jedna od cestovnih linija.

Duljina dužine A B ¯ iznosi 197.79 km .

Duljina zakrivljene linije iznosi 286.30 km .

Primjer 6.

Na slici su prikazane četiri različite dužine, AB, CD, EF i GH različitih duljina

Promotrimo dužine na slici. Zapišimo duljine tih dužina.

A B = 5 cm

C D = 6.2 cm

E F = 3.5 cm

G H = 3.5 cm  

Dužine E F ¯ i G H ¯ jednakih su duljina, ​ E F = G H .

Dužine E F ¯ i G H ¯ su sukladne, ​ E F ¯ G H ¯ .

Dužine su jednakih duljina sukladne. Znak "¨ " znak je za sukladnost.

Zanimljivost

Jednake dužine uvijek su sukladne. Dužine A B ¯ i ​ M N ¯ su jednake i sukladne.

Sukladne dužine nisu uvijek jednake. Dužine C D ¯ i P R ¯  su sukladne/jednake duljine, ali nisu jednake.

Zadatak 1.

Odaberite točne odgovore.

 Na slici je zadan kvadrat A B C D .

Na slici je kvadrat ABCD

null
null

Pravac

Primjer 7.

točka t

Zadana je točka T . Odredimo koliko različitih pravaca, kojima točka  T pripada, možemo nacrtati.

Slika prikazuje pramen pravaca
Pramen pravaca

Točkom T možemo nacrtati beskonačno mnogo pravaca.



Pramen pravaca čine svi pravci ravnine koji imaju točno jednu zajedničku točku.

Zadatak 2.

Slika prikazuje dvije različite točke A i B

Odaberimo točke A i B . Odredimo koliko različitih pravaca, koji sadrže obje točke, možemo nacrtati.

Slika prikazuje pravac AB

Točkama A i B možemo nacrtati točno jedan pravac, pravac A B .


Pravac je određen sa svoje bilo koje dvije točke.

Primjer 8.

Na slici su dva različita pravca. Pravac​ A B   i pravac p .

Pravac opisujemo i imenujemo, ili koristeći imena njegovih bilo kojih dviju točaka, naprimjer, A B ili malim pisanim slovom, naprimjer p .

Zadatak 3.

Slika prikazuje četiri različite nekolinearne točke

Zadane su četiri točke A , B , C i D . Odredite sve pravce određene zadanim točkama.

Slika prikazuje četiri različite nekolinearne točke i svi pravci određeni njima

Pravac je određen s bilo koje dvije točke. Šest je pravaca određeno s četiri točke u zadanom položaju, A B , B C , C D , D A , C A i B D .


Primjer 9.

Na slici su kolinearne točke M, N, A

Na slici je pravac​ p i dvije točke M i N koje mu pripadaju. Također je zadana točka A koja pripada pravcu p   i točka B koja mu ne pripada. To možemo zapisati:

A , M , N p

B p

Za točke A , M i N kažemo da su kolinearne.

Za točke B , M i N kažemo da su nekolinearne.

Kolinearne točke pripadaju istom pravcu.

Zadatak 4.

Na slici su četiri točke. Točke A, B i C su kolinearne.

Zadane su četiri točke, A , B , C i D . Točke A , B i C su kolinearne. Koliko različitih pravaca određuju zadane točke?

Na slici su četiri točke, A, B i C su kolinearne i četiri pravca njima određeni.

Pravci određeni zadanim točkama sa zadanim uvjetima su: A C , C D , B D i A D . Točke A , B i C su kolinearne, pripadaju istom pravcu. Ostala tri su određena njima i točkom D koja ne pripada tom pravcu.

S četiri točke u zadanom položaju , određena su četiri različita pravca.



Zadatak 5.

Riješite kratki kviz.

  1. Odaberi sliku na kojoj su sve istaknute točke kolinearne.

    Na slici su točke E, F, G i H nacrtane na istom pravcu

    Na slici su točke A, B i C na jednom pravcu, a D i B na drugom pravcu.

    null
    null
  2. Kolinearne točke na slici su:

    Na slici je paralelogram ABCE s istaknutim dijagonalama i njihovim sjecištem D

    null
    null
  3. Kolinearne točke pripadaju    .
    null

    Postupak:

    Kolinearne točke pripadaju istom pravcu.

  4. Pravac je određen sa svoje bilo koje točke.
  5. Povuci točke C , H i F na sliku tako da vrijedi:

    Točka C je kolinearna s točkama A i B .

    Točka H je kolinearna s točkama B i D .

    Točka F je kolinearna s točkama C i E .

    Na slici su točke A i B na jednom pravcu, E, B i D na drugom pravcu, G i D na trećem pravcuTe E na četvrtom

      C

      H

    F

    Pomoć:

    Kolinearne točke pripadaju istom pravcu.

    Postupak:

    RJEŠENJE KOLINEARNOSTI

     ​

  6. Koliko je pravaca određeno s pet točaka kao na slici? Nikoje tri nisu kolinearne.
    Na slici je pet različitih točaka A, B, C, D i E
    Na slici je pet različitih točaka A, B, C, D i E i svih 10 pravaca određenih njima
  7. Koliko je različitih pravaca određeno s pet točaka, F , G , H , I , J kao na slici? Tri su točke, F , G i H , kolinearne.
    Na slici je 5 točaka F, G, H, I i J. Točke F, G i H su kolinearne.

     

    Postupak:

     ​

    Na slici je 5 točaka F, G, H, I i J. Točke F, G i H su kolinearne. Prikazano je i svih 8 pravaca tim točkama.

Prostor

kvadar

Točke, dužine, pravci su dijelovi ravnine i u ravnini smo ih proučavali. Kako bismo mogli proučavati ravninu ili više njih, potrebno je to učiniti u prostoru. Za proučavanje skupova točaka u prostoru potreban nam je model prostora koji možemo prikazati u ravnini.

Model prostora bit će kvadar s istaknutim vrhovima kao na slici.

Strane kvadra predstavljat će ravnine.

Ravnina

Primjer 10.

Znamo kako je pravac određen sa svoje bilo koje dvije točke. Sada kada uočavamo ravnine, možemo razmisliti s koliko je točaka određena ravnina. Odnosno, koliko je točaka dovoljno kako bismo imali točno određenu ravninu.

određenost ravnine
Točke A , B i D nisu kolinearne. Ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

Ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

U narednom videu, u Zanimljivosti, ćete saznati nešto više o određenosti ravnine.

Zanimljivost

Određenost ravnine možemo promatrati i iz druge perspektive.

Ravnina može biti određena:

  1. pravcem i točkom koja mu ne pripada
  2. dvama usporednim pravcima koji se ne podudaraju.
  3. dvama pravcima koji se sijeku

Sva tri slučaja mogu se svesti na određenost ravnine trima nekolinearnim točkama.

Primjer 11.

Slika na kvadru kao modelu prostora prikazuje točku, pravac i ravninu.

Sada znamo:

  • pravac je određen sa svoje bilo koje dvije točke
  • ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

Slijedeći te dvije činjenice, na modelu prostora (kvadar) ćemo pravce imenovati sa bilo koje dvije točke koje su vrhovi kvadra.

Ravnine ćemo imenovati s bilo koje tri nekolinearne točke koje su vrhovi kvadra.

Na primjer, na slici je istaknuta:

  • točka A
  • pravac A F
  • ravnina A B C .

Uočimo kako istu ravninu, A B C , možemo imenovati na različite načine:

  • odabirući neke druge tri točke te ravnine: B C D , C D A i D A B .
  • mijenjajući redoslijed imena vrhova: C B A , C D B , A D C , A D B ...

Primjer 12.

Slika prikazuje tri pravca određena vrhovima kvadra, BD, BH i FC

Na modelu prostora nacrtani su pravci. Imenujmo te pravce koristeći vrhove kvadra. Iscrtkani dijelovi pravca govore da se oni zapravo ne vide iza ravnina koje su ispred ili iznad njih.

Nacrtani pravci su: B D , C F , G E i B H .

Zadatak 6.

Na modelu prostora crtajte pravce određene vrhovima kvadra (klikom na tražene vrhove, pojavljuje se pravac koji prolazi kroz njih). Točnost provjerite odabirom gumba Provjerite.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 13.

Na slici su istaknute tri ravnine ABG, BCG i EFG

Na modelu prostora istaknute su ravnine. Imenujmo te ravnine koristeći vrhove kvadra.

Ravnine su:

  • A B G koju još možemo imenovati i B G H , G H A , H A B
  • B C G koju još možemo imenovati i C G F , G F B , F B C
  • E F G koju još možemo imenovati i F G H , G H E , H E F .

Zadatak 7.

Na modelu prostora crtajte ravnine određene vrhovima kvadra. Točnost provjerite odabirom gumba Provjerite.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 8.

U sljedećem kvizu uvježbajte označavanje zadanih istaknutih točaka, pravaca i ravnina.

  1. Na modelu prostora istaknut je pravac.
    Zapišite njegovo ime određeno vrhovima kvadra koji mu pripadaju.
    Na slici je prikazan na modelu prostora istaknut pravac EB
     ​
    null
    null
  2. Na modelu prostora istaknut je pravac.
    Zapišite njegovo ime određeno vrhovima kvadra koji mu pripadaju.
    Na slici je prikazan na modelu prostora istaknut pravac CF
    null
    null
  3. Na modelu prostora istaknut je pravac.
    Zapišite njegovo ime određeno vrhovima kvadra koji mu pripadaju.
    Na slici je prikazan na modelu prostora istaknut pravac DG
    null
    null
  4. Prema modelu pravca imenujte nacrtane pravce A E i D F .

    Na slici je model prostora-kvadar


    Na slici su prikazani na modelu prostora istaknuti pravci

    A

    E

    D

    F

    Postupak:

    Na slici su prikazani na modelu prostora istaknuit pravci AE i DF

     ​

  5. Prema modelu pravca imenujte nacrtane pravce B G i H F .

    Na slici je model prostora-kvadar


    Na slici na modelu prostora istaknuti su pravci

    B

    G

    H

    F

    Pomoć:

    Oznake se moraju staviti ispod crte.

    Postupak:

    Na slici na modelu prostora istaknuti su pravci BG i HF

     ​

  6. Odaberite ime nacrtane ravnine za svaku sliku.

    Na slici je na modelu prostora-kvadru istaknuta lijeva ravnina
    Na slici je na modelu prostora-kvadru istaknuta dijagonalna ravnina
     ​
    Na slici je na modelu prostora-kvadru istaknuta dijagonalna ravnina

     ​
    Na slici je na modelu prostora-kvadru istaknuta dijagonalna ravnina
  7. Na slici je istaknuta ravnina:

    Na slici je na modelu prostora -kvadru istaknuta ravnina DBF

    null

    Postupak:

    D B F , B F H , F H D , H D B

  8. Na slici je istaknuta ravnina:

    Na slici je na modelu prostora -kvadru istaknuta ravnina ACG

    null

    Postupak:

    A C G , C G E , G E A , E A C

  9. Na slici je istaknuta ravnina:

    Na slici je na modelu prostora -kvadru istaknuta ravnina DCF

    null

    Postupak:

    D C F , C F E , F E D , E D C  

  10. Na slici je istaknuta ravnina:

    Na slici je na modelu prostora -kvadru istaknuta ravninaDCG

    null

    Postupak:

    D C G , C G H , G H D , H D C

  11. Dopunite rečenice.

    Na slici je na modelu prostora -kvadru istaknuta ravnina BCG i pravac HD

    Na slici promatramo istaknuti pravac i istaknutu ravninu.
    Točka H ;
     
     pravcu H D , a
     
     ravnini C G F .

     ne pripada
      pripada

    null
  12. Dopunite rečenice.

    Na slici je na modelu prostora -kvadru istaknuta ravnina EFG i pravac AG
    Na slici promatramo istaknuti pravac i istaknutu ravninu.
    Točka G
     
     pravcu A G i
     
      H E F .

    pripada
     ravnini

    null
    null
  13. Dopunite rečenice.

    Na slici je na modelu prostora -kvadru istaknuta ravnina DBG i pravac FB

    Na slici promatramo istaknuti pravac i istaknutu ravninu.
    Točka H
     
     ravnini A B G , a
     
     pravcu F B .

     ne pripada
    pripada

    null
    null

Zadatak 9.

Slika prikazuje sobu oblika kvadra s namještajem oblika kvadra

Na slici je prikaz studentske sobe. Ormar i krevet prikazani su kvadrima, a vrata i prozor pravokutnicima. Koristeći istaknute točke, odgovorite koji je zid slobodan, odnosno na kojem nema predmeta, vrata i prozora.

Slobodan zid, na kojem nema nikakvih predmeta, predstavlja ravnina A B F i strop koji predstavlja ravnina E F G .


Zadatak 10.

U sljedećoj je interakciji prikazan prazan prostor sobe. Ponuđeni su komadi namještaja. Namjestite tu sobu koristeći maksimalno 5 komada namještaja tako da prostor sobe bude koristan i dobro iskorišten. Također, vodite računa da elementi ne "smetaju" jedan drugome.

Primjer 14.

Slika prikazuje prostor na modelu lvadra s istaknutom ravninom ABC i njoj nekomplanarnim točkama E, F, G i H

Promotrimo model prostora. Istaknuta je ravnina A B C .

Ravnini A B C pripadaju istaknute točke A , B , C i D .

Za točke koje pripadaju istoj ravnini kažemo da su komplanarne.

Točka E ne pripada ravnini A B C , stoga za točku E kažemo da je nekomplanarna s točkama A , B i C .

Komplanarne točke pripadaju istoj ravnini.

Primjer 15.

Slika prikazuje kvadar kao model prostora

Pravac je određen sa svoje bilo koje dvije točke.

Ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

Možete li opisati s koliko kakvih točaka je određen prostor?

Prostor je određen s četiri nekomplanarne točke.

Svake tri točke uvijek čine ravninu. Četvrta koja joj ne pripada određuje prostor.


Zanimljivost

Slika prikazuje kuharski kotlić na tri noge

Šipke tronošca predstavljaju pravce. Tronožac je najstabilniji jer tri noge određuju ravninu, a četvrta točka iznad tla određuje prostor kuhanja.

...i na kraju

Slika prikazuje model prostora s istaknutom točkom, pravcem i ravninom.

Pravac je određen sa svoje bilo koje dvije točke.

Ravnina je određena sa svoje bilo koje tri nekolinearne točke.

Prostor je određen s četiri nekomplanarne točke.

Na modelu prostora istaknuta je točka E , pravac A G i ravnina A D H .

Točka E ne pripada pravcu A G .

Točka E pripada ravnini A D H .

Ravninu A D H možemo još opisati kao ravinu D H E , H E A i E A D .

Idemo na sljedeću jedinicu

7.2 Međusobni položaji pravaca i ravnina u prostoru