Matematika 8 - 3.6 Racionalizacija nazivnika

Na početku...

Na slici je prikazan jednostavni kalkulator (džepno računalo) s osnovnim računskim operacijama i tipkom za računanje drugog korijena.

Ema se znoji nad zadatkom iz domaće zadaće. Zadatak glasi:

S točnošću na tri decimale izračunaj $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{5}} .$

Nije joj se svidjela ideja dijeljenja broja $1$ s $1.414 ...,$ odnosno s $2.236 ...$

Njezina starija sestra Sonja pokušava joj pomoći, no ne želi joj riješiti zadatak.

Uputila ju je da razlomke proširi i napiše u ekvivalentnom obliku pa da pokuša ponovno.

Ema je ramišljala i razmišljala pa pokušala ovako: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ pa je onda $\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{4}},$ odnosno $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Slično vrijedi: $\frac{1}{5} = \frac{5}{25} \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5}{25}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} .$

Sonja je potvrdno kimnula. Rekla je Emi: „Sad ćeš puno lakše riješiti zadatak!”

Ema je trebala izračunati $\frac{1}{\sqrt{2}}$ i $\frac{1}{\sqrt{5}},$ tj. količnike $1 : \sqrt{2}$ i $1 : \sqrt{5}$ s točnošću od tri decimale. U nazivniku imamo iracionalne brojeve $\sqrt{2}$ i $\sqrt{5}$ čije približne vrijednosti zaokružene na tri decimale iznose $1.414$ i $2.236 .$

Dijeljenjem izračunamo da je $1 : 1.414 \approx 0.707$ i $1 : 2.236 \approx 0.447 .$

Bez upotrebe džepnog računala takav zadatak iziskuje spretno dijeljenje prirodnog s racionalnim brojem u decimalnom zapisu.

Nakon opisanih postupaka, Ema je podijelila $1.414$ s $2$ i $2.236$ s $5$ i izračunala

$1.414 : 2 + 2.236 : 5 = 0.707 + 0.447 = 1.154 .$

Umjesto traženja ekvivalentnih razlomaka, Ema je mogla zadane razlomke proširiti tako da „izgubi” drugi korijen iz nazivnika. Faktor proširivanja za razlomak $\frac{1}{\sqrt{2}}$ je $\sqrt{2},$ a za razlomak $\frac{1}{\sqrt{5}}$ je $\sqrt{5} .$

Dobivamo $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5} .$

Prisjetimo se: Proširiti razlomak znači pomnožiti brojnik i nazivnik tog razlomka istim brojem. Prošireni je razlomak ekvivalentan (jednakovrijedan) početnom razlomku.

Racionalizacija je nazivnika postupak proširivanja razlomka oblika $\frac{a}{\sqrt{b}}$ (uz uvjet da je broj $b$ pozitivan) tako da se dobije razlomak s racionalnim nazivnikom.

Primjer 1.

Racionalizirajmo nazivnike.

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\frac{5}{\sqrt{2}}$

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3^{2}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2^{2}}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Primjer 2.

Racionalizirajmo nazivnike.

$\frac{3}{2 \sqrt{3}}$

$\frac{2}{3 \sqrt{6}}$

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{2}{3 \sqrt{6}} = \frac{2}{3 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{9}$

Racionalizirati nazivnik razlomka $\frac{a}{\sqrt{b}}$ znači proširiti taj razlomak pogodno odabranim brojem ( $\sqrt{b}$ ) tako da se ukloni drugi korijen u nazivniku tog razlomka.

Pogledajmo videoisječak u kojem je objašnjen primjer kako racionalizirati nazivnik istog zadanog razlomka na tri različita načina.

Racionalizacija nazivnika razlomka

Primjer 3.

Racionalizirajmo nazivnike.

$\frac{4}{\sqrt{12}}$

$\frac{3}{\sqrt{45}}$

Uputa:

Ovaj primjer možete riješiti na dva načina:

kao i prethodne primjere, množeći nazivnik do potpunog kvadrata

djelomičnim korjenovanjem nazivnika, a zatim racionalizacijom.

Rješenja dobivena djelomičnim korjenovanjem nazivnika, a zatim racionalizacijom.

$\frac{4}{\sqrt{12}} = \frac{4}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{2 \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\frac{3}{\sqrt{45}} = \frac{3}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Ako su $a$ i $b$ racionalni brojevi takvi da je $b \neq 0,$ onda vrijedi

$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{{(\sqrt{b})}^{2}} = \frac{a \sqrt{b}}{b} .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Racionalizacijom nazivnika razlomka $\frac{2}{\sqrt{5}}$ dobivamo $\frac{\sqrt{2}}{5} .$

Pokušaj još jednom pažljivije!

Racionalizacijom nazivnika razlomka

\frac{2}{\sqrt{5}}

dobivamo

\frac{\sqrt{2}}{5}

Pomoć:

Zadani razlomak proširi brojem $\sqrt{5}$

Postupak:

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Zadatak 6.

Zadanim razlomcima pridruži njima ekvivalentne razlomke s cjelobrojnim nazivnicima.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$	$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\frac{6}{\sqrt{12}}$	$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
$\frac{21}{\sqrt{3}}$	$7 \sqrt{3}$
$\frac{1}{\sqrt{8}}$	$\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\frac{4}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$

Pomoć:

Zadane razlomke proširi njihovim nazivnikom, a dobivene razlomke potpuno skrati.

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Racionaliziraj nazivnike razlomaka.

$\frac{3}{\sqrt{5}}$
$\frac{6}{\sqrt{3}}$
$\frac{3}{\sqrt{6}}$
$\frac{- 2}{\sqrt{10}}$

$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$
$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}$
$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
$\frac{- 2}{\sqrt{10}} = \frac{- 2}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{- 2 \sqrt{10}}{10} = \frac{- \sqrt{10}}{5}$

Zadatak 8.

Racionalizirajte nazivnike razlomaka.

$\frac{9}{\sqrt{18}}$
$\frac{2}{\sqrt{20}}$
$\frac{16}{3 \sqrt{8}}$
$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{50}}$

$\frac{9}{\sqrt{18}} = \frac{9}{\sqrt{18}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{36}} = \frac{9 \sqrt{2}}{6} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{100}} = \frac{2 \sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$\frac{16}{3 \sqrt{8}} = \frac{16}{3 \sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{16 \sqrt{2}}{3 \sqrt{16}} = \frac{16 \sqrt{2}}{3 \cdot 4} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$
$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{50}} = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{50}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{100}} = \frac{4 \sqrt{6}}{10} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Zadatak 9.

Racionalizirajte nazivnike pa izračunajte.

$\frac{2 - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$
$\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{2}}$
$\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{3}}$

Rezultate napišite na papir u najjednostavnijem obliku.

$\frac{2 - \sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{8}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{8}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \sqrt{2} - 4}{2} = \sqrt{2} - 2$
$\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{6} + \frac{9 \sqrt{2}}{6} = \frac{4 \sqrt{3} + 9 \sqrt{2}}{6}$
$\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \frac{6 \sqrt{2}}{6} - \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

Zatvori

Povezani sadržaji

Zadatak 10.

Slika prikazuje kvadrat ABCD nacrtan u mreži kvadratića i kvadrat BEFD čija je stranica dijagonala kvadrata ABCD. Određuje se omjer površina nacrtanih kvadrata i omjer duljina njihovih stranica.

Promotrite sliku i odgovorite.

Koliki je omjer površina kvadrata $A B C D$ i kvadrata $B E F D ?$
Koliki je omjer duljina njihovih stranica $\bar{A B}$ i $\bar{B D} ?$
Koliki je omjer duljina njihovih dijagonala $\bar{B D}$ i $\bar{B F} ?$

Neka je $|A B| = a .$ Onda je površina kvadrata $A B C D$ jednaka $a^{2} .$

Neka je $|B E| = b .$ Onda je površina kvadrata $B E F D$ jednaka $b^{2} .$

Uočite da je kvadrat $B E F D$ sastavljen od $4,$ a kvadrat $A B C D$ od $2$ međusobno sukladna jednakokračna pravokutna trokuta. Zato vrijedi:

$a^{2} : b^{2} = 2 : 4 = 1 : 2 .$
Uz oznake uvedene u rješenju a. vrijedi:

$|A B| : |B D| = |A B| : |B E| = a : b = \sqrt{a^{2}} : \sqrt{b^{2}} = \sqrt{2} : \sqrt{4} = \sqrt{2} : 2 .$
Uz oznake uvedene u rješenju a. vrijedi:

$|B D| : |B F| = |B E| : |B F| = b : 2 a = \sqrt{b^{2}} : 2 \sqrt{a^{2}} = \sqrt{4} : 2 \sqrt{2} = 2 : 2 \sqrt{2} = 1 : \sqrt{2} .$

Napomena: Na temelju riješenog zadatka, budući da su trokuti $A B D$ i $E F B$ međusobno slični, duljine su njihovih stranica proporcionalne, tj. vrijedi $|B D| : |F B| = |A B| : |E F| .$

Uz oznake, kao u rješenju zadatka a), pišemo $b : 2 a = a : b,$ odakle zaključujemo da je $1 : \sqrt{2} = \sqrt{2} : 2,$ tj. $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Tako smo na geometrijskom primjeru dobili potvrdu postupka racionalizacije nazivnika.

Kutak za znatiželjne

Slijedi blok zadataka koji proširuje gradivo propisano planom i programom osnovne škole. Zadatci su namijenjeni učenicima koji žele produbiti i proširiti znanje.

Zadatak 11.

Podsjetite se!

Obavite naznačena množenja pa zadatku pridružite rješenje.

${(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}$	$- 2$
$(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$	$5 - 2 \sqrt{6}$
$(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$	$9 + 4 \sqrt{5}$
${(2 + \sqrt{5})}^{2}$	$2$
$(2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})$	$5$

Pomoć:

Primijeni naučeno o računanju s korijenima i pravila kvadriranja zbroja i razlike te razlike kvadrata.

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

null

Znanje stečeno rješavanjem ovakvih zadataka možete primijeniti u rješavanju sljedećih, nešto složenijih primjera.

Primjer 4.

Racionalizirajmo nazivnike razlomaka.

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

$\frac{5}{2 \sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Uputa: Prisjetimo se razlike kvadrata, tj. činjenice da je $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .$

Proširimo li zadani razlomak brojem $(\sqrt{5} - \sqrt{2}),$ redom dobivamo:

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} .$
Proširimo li zadani razlomak brojem $(2 \sqrt{3} + \sqrt{2}),$ redom dobivamo:

$\frac{5}{2 \sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{5}{2 \sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{5 (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{5 (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{12 - 2} = \frac{5 (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{10} = \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Racionalizirajte nazivnike.

$\frac{2}{1 + \sqrt{3}}$
$\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Uputa: Prisjetite se razlike kvadrata! Dodatna objašnjenja potražite u primjeru 2. i zadatku 3. u jedinici 3.5.

$\frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (1 - \sqrt{3})}{1^{2} - {\sqrt{3}}^{2}} = \frac{2 (1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{2 (1 - \sqrt{3})}{- 2} = - (1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$
$\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}} = \frac{3 (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3 (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

Zadatak 13.

Uvježbajte racionalizaciju nazivnika. Ako je rješenje razlomak, napišite ga u obliku $a / b .$ Primjer zapisa rješenja zadatka prikazan je na slici.

Zadatak 14.

Kojim brojem pri racionalizaciji nazivnika treba proširiti razlomak $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} ?$

(\sqrt{7} - \sqrt{2})

Ne, budući da vrijedi

(\sqrt{7} - \sqrt{2}) (\sqrt{7} - \sqrt{2}) = 7 - 2 \sqrt{7 \cdot 2} + 2 = 9 - 2 \sqrt{14}

što nije racionalni broj.

\sqrt{7}

Ne, budući da vrijedi

(\sqrt{7} - \sqrt{2}) (\sqrt{7} - \sqrt{2}) = 7 - 2 \sqrt{7 \cdot 2} + 2 = 9 - 2 \sqrt{14}

što nije racionalni broj.

\sqrt{2}

Ne, budući da vrijedi

(\sqrt{7} - \sqrt{2}) (\sqrt{7} - \sqrt{2}) = 7 - 2 \sqrt{7 \cdot 2} + 2 = 9 - 2 \sqrt{14}

što nije racionalni broj.

(\sqrt{7} + \sqrt{2})

Da, budući da je

(\sqrt{7} - \sqrt{2}) (\sqrt{7} + \sqrt{2}) = 7 - 2 = 5

null

Postupak:

$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = \frac{2 (\sqrt{7} + \sqrt{2})}{5}$

Zatvori

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

racionalizirati nazivnik
primijeniti racionalizaciju nazivnika pri rješavanju problema iz matematike, drugih područja ili svakodnevnog života.

Zadatak 15.

Primijenite naučeno i izraze napišite na papir u najjednostavnijem obliku.

$\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{8}$

$\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} (1 + \sqrt{2})}{{(\sqrt{2})}^{2}} + \frac{\sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2}{2} + \frac{\sqrt{3} - 3}{3} = \frac{3 (\sqrt{2} + 2)}{6} + \frac{2 (\sqrt{3} - 3)}{6} = \frac{3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{3} - 6}{6} = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{6}$
$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5 + \sqrt{15}}{5} + \frac{\sqrt{15} - 3}{3} = \frac{(5 + \sqrt{15}) \cdot 3}{15} + \frac{(\sqrt{15} - 3) \cdot 5}{15} = \frac{15 + 3 \sqrt{15} - 5 \sqrt{15} - 15}{15} = \frac{- 2 \sqrt{15}}{15}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{8} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \sqrt{4 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{2} + 2) = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

3.6 Racionalizacija nazivnika

Na početku...

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Povezani sadržaji

Zadatak 10.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 11.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

...i na kraju

Zadatak 15.

3.7 Kvadratna jednadžba