Matematika 8 - 4.6 Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trokut

Jednakokračni trokut i Pitagorin poučak

Visina trokuta jest okomica iz vrha trokuta na pravac kojem pripada suprotna stranica.

Crtanjem visine na osnovicu jednakokračnog trokuta dobijemo dva sukladna pravokutna trokuta. Pravokutni trokut potreban nam je kako bismo mogli primijeniti Pitagorin poučak.

Uz oznake na slici jednakokračni trokut:

ima dvije sukladne stranice $\bar{A B}$ i $\bar{A C}$ koje nazivamo krakovi jednakokračnog trokuta

treću stranicu $\bar{B C}$ nazivamo osnovica jednakokračnog trokuta

kutovi uz osnovicu sukladni su, $∠ A B C ≅ ∠ B C A$

visina na osnovicu dijeli osnovicu na dva jednaka dijela.

Slika prikazuje jednakokračni trokut s visinama na krakove

Preostale dvije visine jednakokračnog trokuta okomice su na krakove trokuta.

U jednakokračnom trokutu Pitagorin poučak na pravokutnom trokutu nastalom povlačenjem visine na osnovicu, uz oznake na slici, glasi:

${(\frac{a}{2})}^{2} + {v_{a}}^{2} = b^{2} .$

Katete imaju duljine $\frac{a}{2}$ i $v_{a} .$ Hipotenuza je duljine $b .$

Primjer 1.

Napišimo kako glasi Pitagorin poučak ako nacrtamo visinu na krak jednakokračnog trokuta.

Uočavamo dva pravokutna trokuta pa imamo i dvije formule za Pitagorin poučak:

Prva formula za Pitagorin poučak glasi: $p^{2} + {v_{b}}^{2} = a^{2},$ gdje su duljine kateta $p$ i $v_{b},$ a duljina hipotenuze $a .$

Druga formula za Pitagorin poučak glasi: $q^{2} + {v_{b}}^{2} = b^{2},$ gdje su duljine kateta $q$ i $v_{b},$ a duljina hipotenuze $b .$

Zadatak 1.

U sljedećim zadatcima odaberite jedan točan odgovor.

Zadatak 2.

Prouči jednakokračne trokute kojima je istaknut jedan pravokutni trokut.

Za istaknuti pravokutni trokut, uz oznake kao na slici, zapisan je

Pitagorin poučak $a^{2} + c^{2} = b^{2} .$

Da

Ne

null

null
Za istaknuti pravokutni trokut, uz oznake kao na slici, zapisan je

Pitagorin poučak $a^{2} + c^{2} = b^{2} .$

Da
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Ne
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

null

null
Za istaknuti pravokutni trokut, uz oznake kao na slici, zapisan je

Pitagorin poučak $a^{2} + c^{2} = b^{2} .$

Da
$b^{2} + c^{2} = a^{2}$

Ne
$b^{2} + c^{2} = a^{2}$

null

null

Zatvori

Površina jednakokračnog trokuta

Primjer 2.

Izračunajmo površinu jednakokračnog trokuta na slici.

Slika prikazuje jednakokračni trokut sa krakovima duljine 5 i osnovicom duljine 6 centimetara. Istaknuta je visina na okomicu i tako nastao pravokutni trokut.

Za izračun površine trokuta na slici potrebna nam je duljina visine na jednu stranicu trokuta.

U ovom će slučaju to biti visina $v_{a}$ na osnovicu trokuta $a = 6 cm .$

Za istaknuti pravokutni trokut postavimo Pitagorin poučak kako bismo izračunali duljinu visine na osnovicu.

$\begin{array}{l} {v_{a}}^{2} + 3^{2} = 5^{2} \\ {v_{a}}^{2} + 9 = 25 \\ {v_{a}}^{2} = 25 - 9 \\ {v_{a}}^{2} = 16 /^{\sqrt{}} \\ v_{a} = 4 cm \end{array}$

Izračunajmo površinu trokuta.

$\begin{array}{l} p = \frac{a \cdot v_{a}}{2} \\ p = \frac{6^{3} \cdot 4}{2_{1}} \\ p = 12 {cm}^{2} \end{array}$

Površina trokuta iznosi $12 {cm}^{2} .$

Zadatak 3.

Izračunajte i odgovorite.

Površina jednakokračnog trokuta na slici iznosi
$60$

.

Pomoć:

$5^{2} + x^{2} = 13^{2}$

Postupak:

$\begin{array}{l} 5^{2} + x^{2} = 13^{2} \\ x^{2} = 13^{2} - 5^{2} \\ x^{2} = (13 - 5) \cdot (13 + 5) \\ x^{2} = 8 \cdot 18 \\ x = \sqrt{2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 9} \\ x = \sqrt{4^{2}} \sqrt{3^{2}} \\ x = 12 \end{array}$

$p = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60$
Površina jednakokračnog trokuta na slici iznosi
$120$
.

Pomoć:

$15^{2} + x^{2} = 17^{2}$

Postupak:

$15^{2} + x^{2} = 17^{2}$

$x^{2} = 17^{2} - 15^{2}$

$x^{2} = (17 - 15) \cdot (17 + 15)$

$x^{2} = 2 \cdot 32$

$x^{2} = 64$

$x = 8$

$p = \frac{8 \cdot 30}{2}$

$p = 120.$
Površina jednakokračnog trokuta na slici iznosi
$360$
.

Pomoć:

$9^{2} + x^{2} = 41^{2}$

Postupak:

$9^{2} + x^{2} = 41^{2}$

$x^{2} = 41^{2} - 9^{2}$

$x^{2} = (41 - 9) \cdot (41 + 9)$

$x^{2} = 32 \cdot 50$

$x^{2} = 16 \cdot 2 \cdot 50$

$x^{2} = 16 \cdot 100$

$x = 4 \cdot 10$

$x = 40$

$p = \frac{18 \cdot 40}{2}$

$p = 360$
Površina jednakokračnog trokuta na slici iznosi
$256$
.

Pomoć:

Pitagorinim poučkom $x^{2} + x^{2} = 32^{2}$ ili primjenom izvedene formule za dijagonalu kvadrata $d = a \sqrt{2} .$

Postupak:

$p = \frac{16 \sqrt{2} \cdot 16 \sqrt{2}}{2} = 256$

$x^{2} + x^{2} = 32^{2}$

$2 x^{2} = 32^{2}$

$x = \sqrt{512} = 16 \sqrt{2}$

ili

$d = a \sqrt{2}$

$32 = a \sqrt{2}$

$a = \frac{32}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{32 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} = \frac{32 \sqrt{2}}{2} = 16 \sqrt{2}$

Zadatak 4.

Zadane su duljine stranica jednakokračnog trokuta, osnovica $a$ i krak $b .$ Vaš je zadatak izračunati i upisati iznos površine trokuta (nakon upisa iznosa stisnuti tipku ENTER). Riješite točno sve zadatke iz sljedeće aktivnosti i naučit ćete nešto zanimljivo.

Zatvori

Opseg jednakokračnog trokuta

Primjer 3.

Izračunajmo opseg jednakokračnog trokuta kojem je osnovica duljine $60 cm,$ a visina $16 cm .$

Za izračun opsega trokuta potrebne su nam duljine svih triju stranica.

Duljina je osnovice zadana $a = 60 cm,$ a treba izračunati duljinu kraka $b .$

Primjenom Pitagorina poučka izračunajmo duljinu kraka. Krak je hipotenuza pravokutnog trokuta s katetama $16 cm$ i $30 cm .$

Uz oznake kao na slici vrijedi:

$16^{2} + 30^{2} = b^{2}$

$b^{2} = 256 + 900$

$b^{2} = 1 156$

$b = 34 cm.$

Izračunajmo opseg jednakokračnog trokuta.

$o = 2 b + a$

$o = 2 \cdot 34 + 60$

$o = 128 cm$

Opseg zadanog trokuta je $128 cm .$

Povezani sadržaji

Slika prikazuje dva jednakokračna trokuta u koordinatnom sustavu osnosimetrična s obzirom na y - os

Izračunajte opseg lika na slici.

Lik na slici osnosimetričan je s obzirom na os $y$ (sastoji se od dvaju sukladnih jednakokračnih trokuta).

Koordinate vrhova su cjelobrojne. Jedinična dužina duga je $1 cm .$

Slika prikazuje dva jednakokračna trokuta u koordinatnom sustavu osnosimetrična s obzirom na y-os. istaknute su duljine visine jednog trokuta i duljina osnovice.

Kako je lik osnosimetričan, dovoljno je izračunati opseg samo za jedan trokut.

Za izračun opsega trokuta potrebne su nam duljine svih triju stranica.

Duljinu osnovice očitamo sa slike, ona iznosi $a = 6 cm,$ a treba izračunati duljinu kraka $b .$

Duljinu visine očitamo sa slike, ona iznosi $4 cm .$

Duljinu kraka treba izračunati primjenjujući Pitagorin poučak na pravokutni trokut s katetama duljine $4$ i $3$ te hipotenuzom duljine $b .$

${(\frac{a}{2})}^{2} + v = b^{2}$

$32 + 4^{2} = b^{2}$

$9 + 16 = b^{2}$

$b^{2} = 25 /^{\sqrt{}}$

$b = 5 cm$

Trokut s katetama $3$ i $4$ i hipotenuzom duljine $5$ jest takozvani egipatski trokut.

Opseg lika iznosi:

$o = 2 \cdot (2 b + a) o = 2 \cdot (2 \cdot 5 + 6) o = 2 \cdot (10 + 6) o = 32 cm .$

Opseg i površina jednakokračnog trokuta

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Na slici je jednakokračni trokut sa zadanim duljinama krakova korijen iz 17 i duljinom visine 4 na osnovicu.

Izračunajte opseg i površinu trokuta na slici.

Jednakokračni trokut

Za izračun opsega trokuta potrebne su nam duljine svih triju stranica.

Duljina krakova zadana je $b = \sqrt{17}$ jediničnih dužina. Potrebno je odrediti duljinu osnovice $a$ zadanog trokuta.

Primjenjujući Pitagorin poučak za pravokutni trokut s katetama duljine $4$ i $x$ te hipotenuzom duljine $\sqrt{17},$ izračunajmo duljinu polovice osnovice $x .$

$x^{2} + 4^{2} = {\sqrt{17}}^{2}$

$x^{2} + 16 = 17$

$x^{2} = 17 - 16$

$x^{2} = 1 /^{\sqrt{}}$

$x = 1$

Duljina osnovice jest $a = 2 x = 2$ jedinične dužine.

Opseg je jednak zbroju duljina krakova i duljine osnovice.

$o = 2 b + a$

$o = 2 \cdot \sqrt{17} + 2$

$o = 2 \sqrt{17} + 2$

$o = 2 (1 + \sqrt{17})$

Opseg iznosi $2 (1 + \sqrt{17})$ jediničnih dužina.

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška duljine osnovice $a = 2$ i duljine $v_{a} = 4$ na tu osnovicu.

$p = \frac{a \cdot v_{a}}{2}$

$p = \frac{2 \cdot 4}{2}$

$p = 4$

Površina trokuta iznosi $4$ jedinična kvadrata.

Zadatak 6.

Na slici je jednakokračni trokut sa zadanim duljinama krakova korijen iz 34 i duljinom visine 5 na osnovicu.

Izračunajte opseg i površinu trokuta na slici.

Za izračun opsega trokuta potrebne su nam duljine svih triju stranica. Duljina krakova trokuta zadana je $b = \sqrt{34}$ jedinične dužine. Potrebno je odrediti duljinu osnovice $a = 2 x$ tog trokuta.

Primjenjujući Pitagorin poučak za pravokutni trokut s katetama duljine $5$ i $x$ te hipotenuzom duljine $\sqrt{34},$ izračunajmo duljinu polovice osnovice $x .$

$x^{2} + 5^{2} = {\sqrt{34}}^{2}$

$x^{2} + 25 = 34$

$x^{2} = 34 - 25$

$x^{2} = 9 /^{\sqrt{}}$

$x = 3$

Duljina osnovice je $a = 2 x = 6$ jedinične dužine.

Opseg je jednak zbroju duljina krakova i duljine osnovice.

$o = 2 b + a$

$o = 2 \cdot \sqrt{34} + 6$

$o = 2 \sqrt{34} + 6$

$o = 2 (3 + \sqrt{34})$

Opseg iznosi $2 (3 + \sqrt{34})$ jedinične dužine.

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška duljine osnovice, $a = 6,$ i duljine visine, $v_{a} = 5,$ na tu osnovicu.

$p = \frac{a \cdot v_{a}}{2}$

$p = \frac{6 \cdot 5}{2}$

$p = 15$

Površina trokuta iznosi 15 jediničnih kvadrata.

Zadatak 7.

Na slici je jednakokračni trokut sa zadanim duljinama krakova korijen iz 13 i duljinom visine 2 na osnovicu.

Izračunajte opseg i površinu trokuta na slici.

Za izračun opsega trokuta potrebne su nam duljine svih triju stranica.

Duljina krakova trokuta zadana je $b = \sqrt{13}$ jediničnih dužina. Potrebno je odrediti duljinu osnovice $a$ toga trokuta $a = 2 x .$

Primjenjujući Pitagorin poučak za pravokutni trokut s katetama duljine $2$ i $x$ te hipotenuzom duljine $\sqrt{13}$ izračunajmo duljinu polovice osnovice $x .$

$2^{2} + x^{2} = {\sqrt{13}}^{2}$

$x^{2} = 13 - 4$

$x^{2} = 9$

$x = 3$

Duljina osnovice iznosi $a = 2 x = 2 \cdot 3 = 6$ jediničnih dužina.

Opseg je jednak zbroju duljina krakova i duljine osnovice.

$o = a + 2 b$

$o = 6 + 2 \cdot \sqrt{13}$

$o = 6 + 2 \sqrt{13}$

Opseg iznosi $6 + 2 \sqrt{13}$ jediničnih dužina.

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška duljine osnovice, $a = 6,$ i duljine visine, $v_{a} = 2,$ na tu osnovicu.

$p = \frac{a \cdot v_{a}}{2}$

$p = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6$

Površina iznosi $6$ jediničnih kvadrata.

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 8.

Na slici je jednakokračni trokut sa zadanim duljinama krakova korijen iz 20 i duljinom visine 4 na osnovicu.

Izračunajte opseg i površinu trokuta na slici.

Za izračun opsega trokuta potrebne su nam duljine svih triju stranica.

Duljina krakova trokuta je $b = \sqrt{20}$ jediničnih dužina. Potrebno je odrediti duljinu osnovice $a$ toga trokuta.

Primjenjujući Pitagorin poučak za pravokutni trokut s katetama duljine $4$ i $x$ te hipotenuzom duljine $\sqrt{20},$ izračunajmo duljinu polovice osnovice $x .$

$x^{2} + 4^{2} = {\sqrt{20}}^{2}$
$x^{2} = 20 - 16$
$x^{2} = 4$
$x = 2$

Duljina osnovice je $a = 2 x = 4$ jediničnih dužina.

Opseg je jednak zbroju duljina krakova i duljine osnovice.

$o = a + 2 b$

$o = 4 + 2 \cdot \sqrt{20}$

$o = 4 + 2 \sqrt{20}$

$o = 4 + 2 \sqrt{4 \cdot 5}$

$o = 4 + 2 \sqrt{4} \sqrt{5}$

$o = 4 + 2 \cdot 2 \sqrt{5}$

$o = 4 + 4 \sqrt{5}$

$o = 4 (1 + \sqrt{5})$

Opseg iznosi $4 (1 + \sqrt{5})$ jediničnih dužina.

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška duljine osnovice, $a = 4,$ i duljine visine, $v_{a} = 4,$ na tu osnovicu.

$p = \frac{a \cdot v_{a}}{2}$

$p = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8$

Površina iznosi $8$ jediničnih kvadrata.

Na zadane slike jednakokračnih trokuta upišite simbole tako da za istaknuti pravokutni trokut vrijedi Pitagorin poučak.

Zadan je jednakokračni trokut s osnovicom duljine $a$ i krakovima duljine $b .$ Povuci oznake na sredine linija tako da vrijedi ${(\frac{a}{2})}^{2} + {v_{a}}^{2} = b^{2}$ .

$\frac{1}{2} a$

$b$

$v_{a}$

null

null
Zadan je jednakokračni trokut s osnovicom duljine $2 k$ i krakovima duljine $m$ $.$ Povuci oznake na sredine linija tako da vrijedi $m^{2} - n^{2} = k^{2} .$

$m$

$n$

$k$

null

null
Zadan je jednakokračni trokut s osnovicom duljine $2 n$ i krakovima duljine $m$ $.$ Povuci oznake na sredine linija tako da vrijedi $m^{2} - n^{2} = k^{2} .$

$n$

$m$

$k$

null

null

Zadatak 9.

U tablici su zadani podatci o nekim duljinama u jednakokračnim trokutima. Koristeći se u tablici zadanim podatcima, odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

Duljina osnovice $[cm]$ $a$	Duljina kraka $[cm]$ $b$	Duljina visine na osnovicu $[cm]$ $v_{a}$
$2 \sqrt{2}$	$\sqrt{5}$
$2 (\sqrt{10} - \sqrt{2})$		$\sqrt{10} + \sqrt{2}$
	$\sqrt{8} + \sqrt{2}$	$\sqrt{8} - \sqrt{2}$
$2 (\sqrt{2} + 1)$		$\sqrt{2} + 1$
$\sqrt{80}$	$\sqrt{5}$

Duljina osnovice $[cm]$ $a$	Duljina kraka $[cm]$ $b$	Duljina visine na osnovicu $[cm]$ $v_{a}$	Površina $[{cm}^{2}]$ $p$	Opseg $[cm]$ $o$
$2 \sqrt{2}$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{3}$	$\sqrt{6}$	$2 (\sqrt{2} + \sqrt{5})$
$2 (\sqrt{10} - \sqrt{2})$	$2 \sqrt{6}$	$\sqrt{10} + \sqrt{2}$	$8$	$2 (\sqrt{10} - \sqrt{2}) + 4 \sqrt{6}$
$8$	$\sqrt{8} + \sqrt{2}$	$\sqrt{8} - \sqrt{2}$	$4 (\sqrt{8} - \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$	$8 + 2 (\sqrt{8} + \sqrt{2})$
$2 (\sqrt{2} + 1)$	$\sqrt{2} + 2$	$\sqrt{2} + 1$	$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$	$4 \sqrt{2} + 6$
$\sqrt{80}$	$\sqrt{5}$		$10$	$6 \sqrt{5}$

Zatvori

Primjena

Primjer 4.

Izračunajmo opseg i površinu trokuta na slici.

Slika prikazuje pravokutni trokut s jednim kutom od 60° i hipotenuzom duljine 7 m koji je osnosimetrično preko dulje katete nadopunjen do jednakostraničnog trokuta

Ako trokut preslikamo osnosimetrično preko stranice nasuprot kutu od $60 °,$ dobit ćemo jednakostranični trokut. Svaki je jednakostranični trokut jednakokračan.

Opseg iznosi $o = 3 \cdot 7 = 21$ metar.

Da bismo izračunali površinu, potrebno je izračunati duljinu visine.

${(\frac{7}{2})}^{2} + {v_{a}}^{2} = 7^{}$

${v_{a}}^{2} = 49 - 12.25$

${v_{a}}^{2} = 36.75$

$v \approx 6.06 m$

Površina trokuta ABC iznosi:

$P = \frac{3.5 \cdot 6.06}{2}$

$P = 10.605 m^{2} .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 10.

Slika prikazuje rampu za sketeboard u obliku jednakokračnog trokuta krakova duljine 5 metara.

Prijatelji su sami napravili rampu za skateboard. Upotrijebili su dvije daske duljine $5$ metara i složili ih kao na slici pod kutom od $30 °$ prema tlu.

Koliko je rampa visoka?

Visina rampe jednaka je polovini duljine daske, $2.5 m$ (vidi sliku).

Zadatak 11.

U parku je cvjetnjak u obliku pravilnog osmerokuta.

Glavna dijagonala duga je $10$ metara, a opseg mu je $30.84$ metra.

Kolika je površina tog cvjetnjaka?

Proučimo rješenje zadatka u animaciji.

Zadatak 12.

Na slici je prikaz ljuljačka u obliku slova A s istaknutim dimenzijama

Konstrukcija ljuljačke sastoji se od četiriju drvenih greda duljine $250 cm$ u obliku slova A kao na slici. U podnožju su grede razmaknute $120 cm .$ Kolika je visina ljuljačke?

Na slici je prikaz jednakokračnog trokuta s istaknutim duljinama krakova 250 cm i osnovica 120 cm.

Rješenje je duljina visine $h$ jednakokračnog trokuta.

Postavimo Pitagorin poučak za pravokutni trokut.

$\begin{array}{l} 60^{2} + h^{2} = 250^{2} \\ h^{2} = 250^{2} - 60^{2} \\ h^{2} = (250 - 60) (250 + 60) \\ h^{2} = 190 \cdot 310 \\ h^{2} = 58 900 / \\ h \approx 242.7 cm \end{array}$

Visina ljuljačke približno je $242.7 cm .$

Zatvori

4.6 Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trokut

Na početku...

Jednakokračni trokut i Pitagorin poučak

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Površina jednakokračnog trokuta

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Opseg jednakokračnog trokuta

Povezani sadržaji

Opseg i površina jednakokračnog trokuta

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Primjena

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

...i na kraju

4.7 Primjena Pitagorina poučka na jednakostranični trokut