Matematika 8 - 8.6 Pravilna trostrana prizma

Oplošje pravilne trostrane prizme

Oplošje je prizme zbroj površina svih njezinih strana.
Oplošje svake (pa tako i pravilne trostrane) prizme računamo po formuli $O = 2 B + P$ .

Primjenom Pitagorina poučka na polovinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $a$ dobivamo da je duljina visine baze jednaka $v = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Površina se jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $a$ (bazom prizme) računa po formuli $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Površina je pobočke te prizme (pravokutnika sa stranicama duljina $a$ i $h$ ) $p_{1} = a h,$ a površina je pobočja tada $P = 3 a h .$

Slika prikazuje mrežu pravilne trostrane prizme u koju su ispisane formule za površinu svake strane.

Na slici su prikazane površine svih strana pravilne trostrane prizme.

Primjer 1.

Izračunajmo oplošje pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine $a = 4 cm$ i visinom $h = 5.5 cm$ .

Površina je baze te prizme jednaka $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{4^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} {cm}^{2},$ a površina je pobočja $P = 3 a h = 3 \cdot 4 \cdot 5.5 = 66 {cm}^{2} .$

Oplošje je te prizme jednako $O = 2 B + P = 2 \cdot 4 \sqrt{3} + 66 \approx 13.9 + 66 = 79.9 {cm}^{2} .$

Zadatak 3.

Površina je pobočja pravilne trostrane prizme $135 {cm}^{2},$ a njezina je visina $75 mm .$ Izračunajte oplošje te prizme.

Budući da se površina pobočja pravilne trostrane prizme računa prema formuli

$P = 3 a h,$ nakon uvrštavanja zadanih podataka dobivamo: $135 = 3 \cdot a \cdot 7.5,$ iz čega slijedi da je $a = 6 cm .$

Tada je površina baze jednaka $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} {cm}^{2},$ što znači da je oplošje te prizme $O = 2 B + P = 2 \cdot 9 \sqrt{3} + 135 \approx 31.2 + 135 = 166.2 {cm}^{2} .$

Volumen (obujam) pravilne trostrane prizme

Slika prikazuje pravilnu trostranu prizmu s osjenčanom bazom i istaknutom visinom prizme.

Volumen pravilne trostrane prizme jednak je umnošku površine baze i visine prizme, tj. računamo ga prema formuli $V = B h .$

Primjer 2.

Izračunajmo volumen pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine $a = 4 cm$ i visinom $h = 5.5 cm .$

Površina je baze te prizme jednaka $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{4^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} {cm}^{2}$ pa je njezin volumen $V = B h = 4 \sqrt{3} \cdot 5.5 = 22 \sqrt{3} \approx 38.1 {cm}^{3} .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Izračunajte oplošje i volumen pravilne trostrane prizme kojoj je duljina osnovnog brida jednaka duljini visine i iznosi $5 cm .$

Oplošje te prizme jednako je zbroju površina svih njezinih strana: $O = 2 B + P$ .

$B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{5^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} = 6.25 \sqrt{3} {cm}^{2}$

$P = 3 a h = 3 a^{2} = 3 \cdot 5^{2} = 75 {cm}^{2}$

$O = 2 \cdot 6.25 \sqrt{3} + 75 = 12.5 \sqrt{3} + 75 \approx 96.7 {cm}^{2}$

Volumen te prizme jednak je umnošku površine baze i duljine visine, tj. računa se prema formuli $V = B h .$ Uvrštavanjem u formulu za volumen dobivamo $V = B h = 6.25 \sqrt{3} \cdot 5 = 31.25 \sqrt{3} \approx 54.1 {cm}^{3} .$

Zadatak 5.

Uvježbajte određivanje oplošja i obujma (volumena) pravilne trostrane prizme za zadanu duljinu brida te visinu.

Zadatak 6.

Volumen pravilne trostrane prizme iznosi $81 {cm}^{3},$ a opseg je njezine baze $18 cm .$ Koliko je oplošje te prizme?

Duljina brida baze te prizme iznosi $a = 18 : 3 = 6 cm$ pa je površina baze jednaka $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} {cm}^{2} .$

Uvrštavanjem dobivenog podatka u izraz za volumen, $V = B h,$ dobivamo $81 = 9 \sqrt{3} \cdot h,$ odakle je $h = 3 \sqrt{3} \approx 5.2 cm .$

Površina je pobočja tada $P = 3 a h = 3 \cdot 6 \cdot 3 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} \approx 62.4 {cm}^{2},$ a oplošje je $O = 2 B + P = 2 \cdot 9 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3} \approx 93.5 {cm}^{2} .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Slika prikazuje pravilnu trostranu prizmu.

Čokolada je pakirana u kutiju koja ima oblik pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom $a$ duljine $3 cm$ i visinom $h$ duljine $12 cm .$ Koliki je najveći mogući obujam čokolade u kutiji? Koliko je kartona potrebno za izradu kutije?

Površina je baze te prizme $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} = 2.25 \sqrt{3} {cm}^{2},$ a površina pobočja $P = 3 a h = 3 \cdot 3 \cdot 12 = 108 {cm}^{2} .$

Najveći mogući obujam čokolade u kutiji je $V = B h = 2.25 \sqrt{3} \cdot 12 = 27 \sqrt{3} \approx 46.8 {cm}^{3} .$

Oplošje te prizme računamo po formuli $O = 2 B + P$ i zato uvrštavanjem dobivamo $O = 2 B + P = 2 \cdot 2.25 \sqrt{3} + 108 = 4.5 \sqrt{3} + 108 \approx 115.8 {cm}^{2} .$ To je najmanja potrebna površina kartona za izradu kutije.

Zadatak 8.

Duljina je osnovnog brida pravilne trostrane prizme $5 cm,$ a duljina bočnog brida $5 \sqrt{3} cm .$ Koliko je oplošje te prizme? $\sqrt{3} {cm}^{2} .$

Pomoć:

$B = 6.25 \sqrt{3} {cm}^{2}$

$P = 75 \sqrt{3} {cm}^{2}$

$O = 2 B + P$
Površina je pobočja pravilne trostrane prizme $120 \sqrt{3} {cm}^{2}$ , a duljina visine $5 \sqrt{3} cm$ $.$ Duljina brida baze te prizme je $cm,$ a volumen te prizme je ${cm}^{3} .$
Volumen je pravilne trostrane prizme $50 \sqrt{3} {cm}^{3},$ a duljina je bočnog brida $8 cm .$ Kolika je duljina osnovnog brida te prizme?

$6.25 cm$

$8 cm$

$5 cm$

$6.25 \sqrt{3} cm$

$8 \sqrt{3} cm$

$5 \sqrt{3} cm$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Oplošje je pravilne trostrane prizme pet puta veće od površine njezine baze. Duljina je osnovnog brida te prizme $4 cm .$ Kolika je duljina bočnog brida te prizme?

Ako je oplošje trostrane prizme pet puta veće od površine baze, onda na temelju izraza $O = 2 B + P$ zaključujemo da je $5 B = 2 B + P,$ tj. $P = 3 B .$ Iz toga slijedi da je površina pobočke jednaka površini baze, tj. da je $a h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$ Konačno se dobiva da je $h = \frac{a \sqrt{3}}{4},$ tj. $h = \sqrt{3} cm .$

Zadatak 10.

Pravilna trostrana prizma presječena je ravninom koja je određena visinama njezinih baza. Duljina je osnovnog brida prizme $10.4 cm,$ a duljina njezine visine $8 cm .$ Kolika je površina nastalog presjeka?

Površina nastalog presjeka je pravokutnik čija je jedna stranica jednaka visini baze, a druga visini prizme. Duljina brida baze iznosi $v = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{10.4 \sqrt{3}}{2} \approx 9 cm .$ Površina presjeka iznosi $p = v h = 9 \cdot 8 = 72 {cm}^{2} .$

Slika prikazuje presjek pravilne trostrane prizme.

Zatvori

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Slika prikazuje kolač s jagodama oblika pravilne trostrane prizme.

Nika je napravila kolač s jagodama u obliku pravilne trostrane prizme. Opseg je baze tog kolača $1.8 dm,$ a visina je kolača $375 mm .$ Izračunajte oplošje i volumen te prizme. Rezultat zaokružite na jednu decimalu.

Duljina brida baze iznosi $a = 18 : 3 = 6 cm,$ površina baze $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} {cm}^{2},$ a površina pobočja $P = 3 \cdot 6 \cdot 37.5 = 675 {cm}^{2} .$ Oplošje tog kolača iznosi $O = 2 B + P = 2 \cdot 9 \sqrt{3} + 675 \approx 706.2 {cm}^{2} .$

Obujam tog kolača iznosi $V = B \cdot h = 9 \sqrt{3} \cdot 37.5 \approx 584.6 {cm}^{3} .$

Zadatak 12.

U drvenoj su gredi napravljena dva jednaka utora oblika pravilne trostrane prizme. Dubina je utora $10.4 mm,$ a duljina mu je $55 mm .$ Koliki je volumen otpadnog materijala?

Dubina je utora jednaka visini baze te prizme. Stoga iz $\frac{a \sqrt{3}}{2} = 10.4$ dobivamo $a = 12 mm .$ Površina je baze stoga $B = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} \approx 62.4 {mm}^{2} .$

Volumen svake od tih prizmi je $V = B h \approx 62.4 \cdot 55 \approx 3 432 {mm}^{3} .$

Ukupan volumen otpadnog materijala jednak je dvostrukom volumenu prizme te iznosi $2 \cdot 3 432 \approx 6 864 {mm}^{3} .$

Na slici je jedan od dvaju utora u gredi. Utor je oblika pravilne trostrane prizme.

Zadatak 13.

Slika prikazuje lom svjetlosti kroz pravilnu trostranu prizmu. — Izvor: Prisms with high and low dispersion (autor Peo); https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Prisms_with_high_and_low_dispersion.png, GNU FDL i CC BY-SA 3.0. Slika je smanjena i rezana (GNU FDL i CC BY-SA 3.0)

Kada bijela svjetlost prođe kroz staklenu pravilnu trostranu prizmu, razlaže se na spektar duginih boja. Kako bi objasnila disperziju svjetlosti i nastanak duge, učiteljica fizike želi kupiti takvu prizmu. Pronašla je prizmu čija je duljina brida baze $3 cm,$ a obujam $15.59 {cm}^{3}$ . Koliko je oplošje te prizme?

Oplošje prizme jednako je $O = 2 B + P .$ Površina baze iznosi $B=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{3^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{9 \sqrt{3}}{4}{cm}^{2}$ . Za površinu pobočja treba nam visina prizme jer je $P = 3 a h$ .

Visinu prizme možemo izračunati iz volumena prizme pa iznosi $h = V : B = 15.59 : \frac{9 \sqrt{3}}{4} \approx 4 cm .$

Oplošje prizme iznosi $O = 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h = 2 \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot 3 \cdot 4 = 43.8 {cm}^{2} .$

Zatvori

Zanimljivost

Ako želite, pogledajte kako tehnikom origamija izraditi kutijicu koja ima oblik pravilne uspravne trostrane prizme.

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

opisati pravilnu trostranu prizmu

nacrtati pravilnu trostranu prizmu i njezinu mrežu

primijeniti izraze za oplošje i obujam pravilne trostrane uspravne prizme

riješiti problemski zadatak koristeći se mjerljivim obilježjima pravilne trostrane prizme.

Ako želite, možete razmisliti od koliko se međusobno različitih mreža može izgraditi pravilna trostrana prizma.

Rješavanjem zadataka koji slijede otkrit ćete šifru koju trebate upisati kako biste otključali zanimljivu animaciju sa svim mrežama pravilne trostrane prizme te provjerili svoj odgovor.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

Izračunajte oplošje i volumen pravilne trostrane prizme s bridom baze duljine $0.8 dm$ i visinom $15 cm .$ Rezultat zaokružite na dvije decimale. Oplošje te prizme iznosi ${cm}^{2},$ a volumen ${cm}^{3} .$ Zbroj znamenke desetice oplošja i znamenke stotica obujma dat će vam prvu znamenku šifre.

null
Staklena vaza ima oblik pravilne trostrane prizme s bridom baze duljine $8 cm .$ Kolika mora biti dubina te vaze da bismo u nju mogli uliti $1$ litru vode? Zaokružite na najbliži centimetar. Dubina je te vaze približno $cm .$ Znamenka jedinica rješenja dat će vam drugu znamenku šifre.

Pomoć:

$1 l = 1 {dm}^{3} = 10^{3} {cm}^{3}$

null
Površina pobočja pravilne trostrane prizme iznosi $216 {cm}^{2},$ a njezina je visina $1.8 dm .$ Izračunajte oplošje i volumen te prizme. Rezultat zaokružite na dvije decimale. Oplošje te prizme iznosi ${cm}^{2},$ a volumen ${cm}^{3} .$ Zbroj znamenke desetinki oplošja i znamenke stotinki obujma dat će vam treću znamenku šifre.

null

Zatvori

8.6 Pravilna trostrana prizma

Zadatak 1.

U mreži pravilne trostrane prizme

Zadatak 2.

Oplošje pravilne trostrane prizme

Zadatak 3.

Volumen (obujam) pravilne trostrane prizme

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zanimljivost

...i na kraju

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

8.7 Pravilna šesterostrana prizma