Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Promotrite jednakosti.

Slika prikazuje uzorke koji nastaju kod nekih množenja i kvadriranja.

Na slici je zapis kvadrata prirodnih brojeva do 9 kao zbroja uzastopnih neparnih brojeva.

Matematika je puna zanimljivih zakonitosti koje se jako lijepo daju opisati.

U ovoj ćete jedinici promatrati i opisati različite zakonitosti te samostalno istraživati nove ideje vezane za kvadriranje.

Kutak za znatiželjne

Gaussova dosjetka

Poznata je anegdota o matematičaru Carlu Friedrichu Gaussu kojem je učitelj zadao izračunati zbroj prvih $100$ brojeva. Na učiteljevo iznenađenje, Gauss je u trenutku došao do točnog rezultata. Naime, on je združio prvi i posljednji broj, drugi i pretposljednji itd. Uočio je da takvih parova ima $50$ te da je zbroj svakog para $101 .$ Na osnovi toga zaključio je da je zbroj prvih $100$ prirodnih brojeva jednak $50 \cdot 101 = 5 050 .$

Općenito, za zbroj $n$ uzastopnih prirodnih brojeva $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + n$ vrijedi:

$S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (1 + n) = \frac{n (n + 1)}{2}$

Na ilustraciji je matematičar Carl Friedrich Gauss.

Način na koji je Gauss riješio taj zadatak naziva se Gaussova dosjetka.

Izvod formule za zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva

Zadatak 1.

Odredite zbroj prvih $1 000$ prirodnih brojeva.

$S_{1 000} = \frac{1 000}{2} \cdot (1 + 1 000) = \frac{1 000 (1 000 + 1)}{2} = 500 500$

Zbroj prvih $1 000$ brojeva je $500 500 .$

Pogledajmo sada zbrojeve uzastopnih neparnih brojeva.

$1 = 1 = 1^{2}$

$1 + 3 = 4 = 2^{2}$

$1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$

$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^{2}$

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6^{2}$

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7^{2}$

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8^{2}$

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 = 9^{2}$

Uočavamo da je zbroj prvih $n$ uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak kvadratu prirodnog broja $n .$ Provjerimo zbog čega je to tako.

Kako bismo dobili niz od $n$ neparnih članova iz niza uzastopnih prirodnih brojeva, morali smo oduzeti sve parne brojeve. Zato je takav niz morao sadržavati $2 n - 1$ članova (posljednji je broj tog niza neparan), a vrijednost je njegova posljednjeg člana $2 n - 1 .$

Odrediti zbroj prvih $n$ uzastopnih neparnih prirodnih brojeva znači izračunati zbroj $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + \dots + (2 n - 1) .$

Vidimo da u prvih $n$ neparnih prirodnih brojeva ima $\frac{n}{2}$ parova, a zbroj je svakog para $2 n - 1 + 1 = 2 n .$ Zato je zbroj prvih $n$ uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak $\frac{n}{2} \cdot 2 n = n^{2} .$

Uočimo.

$1 + 3 + 5 + . . . + (2 n - 1)$

$= (2 \cdot 1 - 1) + (2 \cdot 2 - 1) + (2 \cdot 3 - 1) + . . . + (2 n - 1)$

$= (2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + . . . 2 \cdot n) - (1 + 1 + 1 + . . . + 1)$

$= 2 \cdot 1 (+ 2 + 3 + . . . + n - n) = n (n + 1) - n = n^{2}$

Trokutasti i kvadratni brojevi

Na slici je dan slikovni prikaz trokutastih brojeva.

Prirodne brojeve možemo predočiti na geometrijski način. Primjerice, od određenog broja točkica možemo složiti različite oblike kao što su trokuti ili kvadrati. Tako nastaje, primjerice, niz trokutastih brojeva $1, 3, 6, 10, 15.. .$

… i niz kvadratnih brojeva $1, 4, 9, 16, 25.. .$

Na slici je dan slikovni prikaz kvadratnih brojeva.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Odredite sljedeća dva člana niza trokutastih brojeva $1, 3, 6, 10, 15.. .$

Na slici je dano vizualno pojašnjenje nastajanja niza. Sljedeći član niza dobiva se pribrajanjem prethodnog člana i rednog člana niza.

Sljedeći su članovi niza trokutastih brojeva brojevi $21$ i $28 .$

Zadatak 3.

Odredite sljedeća dva člana niza kvadratnih brojeva $1, 4, 9, 16, 25.. .$

Vrijednost svakog člana niza jednaka je kvadratu njegova rednoga broja u nizu. Zato je šesti član toga niza $36,$ a sedmi $49 .$

Zadatak 4.

Kolika je vrijednost $21 .$ člana niza kvadratnih brojeva?

Vrijednost je $21 .$ člana niza $21^{2} = 441 .$

Zadatak 5.

Promotrimo brojeve $13$ i $16$ i njihove kvadrate.

$13^{2} = 169$

$16^{2} = 256$

Provjerite zbrojeve znamenaka dobivenih kvadrata. Što zamjećujete?

Zbroj znamenaka kvadrata broja $13$ je $16,$ a zbroj znamenaka kvadrata broja $16$ je $13 .$ Zgodno, zar ne?

Zatvori

Aktivnosti za samostalan rad

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Rina promatra brojevne izraze s prirodnim brojevima...

$2 \cdot 4 + 1 = 9$

$4 \cdot 6 + 1 = 25$

$5 \cdot 7 + 1 = 36$

$9 \cdot 11 + 1 = 100$

Nakon nekoliko primjera uočava da ako pomnoži dva broja koja se razlikuju za dva te umnožak uveća za jedan, zbroj je jednak kvadratu broja između početnih dvaju brojeva. Zanima je vrijedi li to uvijek?

Pretpostavimo da je srednji broj jednak n. Izraze koje tada promatra može zapisati u obliku $(n - 1) (n + 1) + 1 .$ Iz toga slijedi da je $n^{2} - 1 + 1 = n^{2} .$

Dakle, zakonitost koju je uočila na tih nekoliko jednakosti vrijedit će za sve takve izraze s prirodnim brojevima.

Zadatak 7.

Promotrite, istražite i opišite zakonitost.

$2 \cdot 1 - 1 = ?$

$5 \cdot 4 - 4 = ?$

$4 \cdot 3 - 3 = ?$

$9 \cdot 8 - 8 = ?$

Rješavanjem svakog od zadanih izraza dobivamo kvadrat nekoga prirodnog broja. Ako pretpostavimo da je prvi broj $n,$ tada možemo pisati:

$n (n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n - 1) = (n - 1)^{2}$

Ako pretpostavimo da je drugi broj $n,$ tada možemo pisati:

$(n + 1) n - n = n^{2} + n - n = n^{2}$

Zadatak 8.

Postoji li prirodni broj čija je dvostruka vrijednost jednaka njegovu kvadratu? Objasnite.

$2 n = n^{2}$

Ako podijelimo obje strane jednakosti brojem $n,$ $n \in N,$ dobivamo da je $2 = n .$

Dvostruka vrijednost broja dva je $4,$ što je jednako kvadratu broja 2 , tj. vrijedi:

$2 \cdot 2 = 2^{2}$

$4 = 4 .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Postoji li broj čija je dvostruka vrijednost veća od njegova kvadrata? Objasnite.

$2 n > n^{2}^{}$

Ako obje strane jednakosti podijelimo brojem $n,$ $n \in N,$ dobivamo $2 > n .$

Postoji samo jedno rješenje, a to je broj $1 .$

Dvostruka vrijednost broja $1$ veća je od kvadrata broja $1 .$

$2 \cdot 1 > 1^{2}$

$2 > 1$

Zadatak 10.

Ako neki broj povećamo šest puta, za koliko će se puta povećati njegov kvadrat?

Ako neki broj $n$ povećamo šest puta, dobit ćemo broj $6 n .$ Nakon što $6 n$ kvadriramo, dobit ćemo $36 n^{2} .$ Zato će se kvadrat tog broja povećati $36$ puta.

Zadatak 11.

Koliko se promijeni površina kvadrata ako njegovu stranicu najprije povećamo za $10 %,$ a zatim smanjimo za $10 % ?$

Ako stranicu kvadrata povećamo za $10 %,$ duljina njegove stranice bit će $1.1a .$ Nakon što smanjimo duljinu te stranice za $10 %,$ duljina stranice konačnog kvadrata iznosit će $0.99a .$

Površina tog kvadrata iznosit će ${(0.99a)}^{2} = 0.9801 a^{2} .$

Dakle, ukupna se površina smanjila za $100 % - 98.01 % = 1.99 % .$

Zadatak 12.

Na crtu upišite odgovarajući broj.

Ako neki broj povećamo tri puta, koliko će se puta povećati njegov kvadrat? Njegov će se kvadrat povećati puta.

null

null
Ako neki broj smanjimo četiri puta, koliko će se puta smanjiti njegov kvadrat? Njegov će se kvadrat smanjiti puta.

null

null
Ako neki broj smanjimo za $30 %,$ za koliko će se posto smanjiti njegov kvadrat? Njegov će se kvadrat smanjiti posto.

null

null
Ako neki broj povećamo za $10 %,$ za koliko će se posto povećati njegov kvadrat? Njegov će se kvadrat povećati posto.

null

null
Duljina stranice kvadrata povećala se pet puta. Za koliko se puta promijenila njegova površina? Njegova se površina povećala puta.

null

null
Duljina stranice kvadrata povećala se za $40 % .$ Za koliko se posto povećala njegova površina? Njegova se površina povećala posto.

null

null
Za koliko se posto promijeni površina kvadrata ako njegovu stranicu najprije smanjimo za $25 %,$ a zatim povećamo za $20 % ?$ Površina kvadrata smanji se posto.

null

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Omjer je duljina stranica dvaju kvadrata $1 : 3 .$ U kojem su omjeru njihove površine?

Omjer njihovih površina bit će $1 : 9 .$

Zadatak 14.

Površine dvaju kvadrata razlikuju se za $21 {cm}^{2},$ a duljine njihovih stranica izražene su prirodnim brojevima (u centimetrima). Kolike su duljine stranica tog kvadrata?

Pretpostavimo da je duljina dulje stranice $x,$ a kraće $y .$ Tada vrijedi $x^{2} - y^{2} = 21 .$ S obzirom na to da je $x^{2} - y^{2} = (\begin{array}{l} x + y \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} x - y \end{array}),$ broj $21$ prikazat ćemo u obliku umnoška dvaju prirodnih brojeva (od kojih je veći jednak vrijednosti $x + y,$ a manji vrijednosti $x - y$ ). Broj $21$ možemo zapisati kao $21 \cdot 1$ i $7 \cdot 3$ pa se zadatak svodi na rješavanje dvaju sustava linearnih jednadžbi:

$\{\begin{cases} x + y = 21 \\ x - y = 1 \end{cases}$ ili $\{\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Rješavanjem prvog sustava dobivamo $x = 11,$ $= 10,$ a drugog $x = 5,$ $y = 2 .$ Zadatak ima dva rješenja: duljine stranica kvadrata mogu biti $11 cm$ i $10 cm$ ili $5 cm$ i $2 cm.$

Zadatak 15.

Zbroj kvadrata triju uzastopnih neparnih prirodnih brojeva iznosi $1 883$ . Koji su to brojevi?

${(\begin{array}{l} x - 2 \end{array})}^{2} + x^{2} + {(\begin{array}{l} x + 2 \end{array})}^{2} = 1 883$

$x^{2} - 4 x + 4 + x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 = 1 883$

$3 x^{2} = 1 883 - 4 - 4$

$3 x^{2} = 1 875$

$x^{2} = 625$

$x = 25$

To su brojevi $23,$ $25$ i $27 .$

Zatvori

Na početku...

Kutak za znatiželjne

Izvod formule za zbroj prvih n prirodnih brojeva

Zadatak 1.

Trokutasti i kvadratni brojevi

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Aktivnosti za samostalan rad

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

...i na kraju

Izvod formule za zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva