Matematika 8 - 6.3 Translacija

Na početku...

Fotografija zgrade u Den Haggu, Nizozemska. — Den Haag, Nizozemska

Slika prikazuje rad inspiriran Escherom.

Maurits Cornelis Escher, nizozemski grafičar, rođen je 17. lipnja 1898. godine, a umro 27. ožujka 1972. godine. Brojna su njegova djela inspirirana matematikom.

Pretražite na internetu neke od njegovih radova izrađene olovkom. Posebice Eagle (orao), Two birds (dvije ptice) i Bird/Fish (ptica/riba) te prikazani rad inspiriran Escherovim slikama.

Što primjećujete u tim radovima? Na koji način nastaju likovi na njima?

Zanimljivost

Escherove radove možete pronaći na sljedećoj poveznici.

Kao što ste mogli primijetiti, Escher uzima jedan lik, preslikava ga pomicanjem u određenom smjeru za istu udaljenost te prekriva cijelu ravninu pomoću toga lika bez da se likovi preklapaju ili da ostaje praznog prostora. Takvo prekrivanje ravnine naziva se popločavanje.

Preslikavanje koje svaku točku ravnine pomiče u istom smjeru i za istu udaljenost naziva se translacija.

Pojam translacije

Slika prikazuje vektor koji definira translaciju.

Neka je u ravnini zadan vektor $\vec{a} .$ Taj vektor određuje preslikavanje koje svakoj točki $A$ te ravnine pridružuje točku $A'$ takvu da je $\vec{A A'} = \vec{a} .$

Tako definirano preslikavanje svaku točku ravnine pomiče u istom smjeru i za istu udaljenost. Opisano preslikavanje nazivamo translacija (ili paralelni pomak) ravnine za vektor $\vec{a} .$

Zanimljivost

Proučite značenje pojma translacija u fizici i biologiji na mrežnim stranicama Hrvatskoga jezičnog portala.

Zadatak 1.

Uz pomoć interakcije (pomičući klizače) proučite svojstva translacije.

Mijenja li translacija oblik lika? A veličinu kuta? A duljinu stranica?

Zanimljivost

Pomoću interakcije u GeoGebri, mijenjanjem vektora možete dodatno proučiti svojstva translacije.

Na temelju prethodne aktivnosti slutimo da translacija ne mijenja ni oblik, ni veličinu lika (dakle ni veličine kutova, ni duljine stranica), već da samo pomiče svaku točku lika u istom smjeru i za istu udaljenost. Slutnje ćemo nešto kasnije provjeriti koristeći „matematičke alate".

Translacija točke, dužine, trokuta...

Primjer 1.

Sliku točke $A$ u zadanoj translaciji nalazimo tako da od točke $A$ kao početne točke nanesemo zadani vektor (nacrtamo vektor jednak zadanom). Završna točka vektora slika je točke $A$ u toj translaciji.

Konkretno, točkom $A$ nacrtamo paralelu sa zadanim vektorom, a onda šestarom prenesemo duljinu vektora na nacrtanu paralelu (pazeći na orijentaciju vektora). Presjek kružnice i paralele je slika točke $A$ koju označavamo $A' .$

Translaciju točke možete dodatno proučiti pomoću interakcije. Pomičite klizač te nakon svakog pomaka klizača pritsnite tipku Prikaži. Početni vektor možete mijenjati pomicanjem njegovih rubnih točaka.

Zadatak 3.

Nacrtajte točku zadanu koordinatom $(10, 1)$ te je translatirajte prema pravilu pod brojem 1. Zatim translatiranu točku translatirajte prema uputi 2. Preslikavanja nastavite na isti način tako da uvijek translatirate netom nacrtanu točku.

Kada ste završili s crtanjem, nacrtajte točku zadanu koordinatom $(3, 5) .$

Za crtanje se možete poslužiti interakcijom. Točke crtate tako da odaberete alat Točka, a dužine tako da odaberete alat Dužina te krajnje točke dužine koju želite nacrtati.

Slika prikazuje upute za crtanje zadane vektorima.

Slika prikazuje rješenje crteža zadanog vektorima translacije.

Da bismo odredili sliku nekog lika u zadanoj translaciji, dovoljno je translatirati točke značajne za taj lik (npr. rubne točke dužine, vrhove trokuta ili mnogokuta, bilo koje dvije točke pravca...).

Kako translatirati točku, dužinu i pravac, možete još jednom proučiti gledajući pripremljeni videosadržaj.

Translacija točke, dužine i pravca

Primjer 2.

U ravnini je zadan vektor $\vec{a}$ i dužina $\bar{A B} .$ Translatirajmo dužinu $\bar{A B}$ za zadani vektor $\vec{a} .$

Slika prikazuje postupak translacije dužine AB za vektor a.

Da bismo translatirali dužinu $\bar{A B},$ moramo translatirati njezine rubne točke $A$ i $B .$

Točkama $A$ i $B$ nacrtamo paralele sa zadanim vektorom $\vec{a}$ pa šestarom prenesemo njegovu duljinu na nacrtane paralele.

Budući da je $A A' ∥ B B'$ i $|A A'| = |B B'|,$ zaključujemo da je četverokut $A A' B' B$ paralelogram. Odatle slijedi da je i $|A B| = |A' B'| .$

Translacija čuva duljinu dužine, tj. translatirana je dužina sukladna početnoj dužini.

Translaciju dužine možete dodatno proučiti pomoću interakcije. Pomičite klizač te nakon svakog pomaka klizača pritsnite tipku Prikaži. Početni vektor i dužinu možete mijenjati pomicanjem njihovih rubnih točaka.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Zadan je pravac $p$ i vektor $\vec{a} .$ Translatirajte pravac $p$ za zadani vektor.

Slika prikazuje postupak translacije pravca p za vektor a.

Izaberite bilo koje dvije točke $A$ i $B$ pravca $p$ pa ih translatirajte za zadani vektor.

Budući da je

A A' ∥ B B'

|A A'| = |B B'|,

zaključujemo da je četverokut

A A' B' B

paralelogram. Zato je

A B ∥ A' B'

, tj.

p ∥ p'

(translatirani je pravac paralelan polaznom).

Zadatak 5.

Točka $D$ je polovište stranice $\bar{B C}$ trokuta $A B C$ . Translatirajte trokut $A B C$ za vektor $\vec{A D} .$

Slika prikazuje translaciju trokuta ABC za zadani vektor.

U toj se translaciji točka $A$ preslika u točku $D$ . Slike vrhova $B$ i $C$ nalaze se na paralelama sa zadanim vektorom, pri čemu je $|B B'| = |C C'| = |A D|$ .

Četverokuti $A B B' A',$ $A C C' A'$ i $C B B' C'$ su paralelogrami pa je $|A B| = |A' B'|,$ $|A C| = |A' C'|$ i $|B C| = |B' C'| .$

Translatirani trokut sukladan je polaznom, pa su njihovi odgovarajući kutovi međusobno sukladni.

Zatvori

Proučite translaciju trokuta pomoću interakcije. Pomičite klizač te nakon svakog pomaka klizača pritsnite tipku Prikaži. Početni vektor i trokut možete mijenjati pomicanjem rubnih točaka vektora, odnosno vrhova trokuta.

Proučite translaciju trokuta i pomoću sljedeće animacije.

Translacija trokuta

Zadatak 6.

Zadana je kružnica $k$ i vektor $\vec{a} .$ Translatirajte kružnicu $k$ za zadani vektor.

Slika prikazuje postupak translacije kružnice k za vektor a.

Kružnicu translatiramo tako da translatiramo neke njezine dvije značajne točke, npr. središte $S$ i neku točku $T$ koja pripada kružnici.

Pri tome, $|S S^{'}| = |T T^{'}|$ i $|S T| = |S^{'} T^{'}| .$
Translatirana slika kružnice je kružnica jednakog polumjera.

Translacija čuva duljinu dužine, tj. translatirana je dužina sukladna početnoj dužini.

Translatirani je pravac paralelan početnom pravcu.

Translacija čuva veličinu kutova, tj. translatirani je kut sukladan početnom kutu.

Dakle, translacija je preslikavanje ravnine koje čuva oblik i veličinu likova.

...i na kraju

U ovoj ste cjelini naučili: