x
Učitavanje

10.3 Kugla i sfera

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Oblik kugle možemo susresti u svim dijelovima ljudskog djelovanja, oblicima koje nalazimo u prirodi, umjetnosti... I Zemlja, naš jedini svemirski dom, ima oblik kugle.

Slika prikazuje gdje se sve oblik kugle može pronaći: kugla u sportu, prirodi, hrani, svemiru...
kugla u sportu, prirodi, hrani, svemiru...

Zanimljivost

 U uvodnom smo dijelu vidjeli kako je kugla bitan dio svakodnevice Zemljinih stanovnika:

  • u prošlosti – kamene kugle Kostarike – video, članak
  • u sadašnjosti – umjetnost i arhitektura
  • u budućnosti – predviđa se da će ljudi u budućnosti živjeti u velikim kuglama/sferama na drugim planetima kao u filmu Interstellar ili pod morem kao u filmu Sfera.

Primjer 1.

Slika prikazuje crtež kugle s istaknutim središtem i glavnom kružnicom

Kugla je oblo tijelo i nije ju lako prikazati u ravnini. Kada želimo nacrtati kuglu, nacrtamo krug i elipsu. Elipsa nam služi kako bismo dočarali prostornost kugle. Ta je elipsa u stvarnosti kružnica. Istaknuta točka je središte sfere odnosno kugle.

Primjer 2.

Promotrimo ilustracije. Na jednoj je prikazana sfera koju možemo zamisliti kao mjehur sapunice.

Na drugoj su kugle. Kuglu možemo opisati kao u potpunosti popunjenu unutrašnjost sfere zajedno sa sferom, kao drvene kugle na slici.

Primjer 3.

Na slici je crtež sfere s istaknutim točkama A, B, C, D, E i F koje joj pripadaju

Zadana je sfera sa središtem S . Promotrimo istaknute točke A , B , C , D , E i F koje pripadaju sferi na slici. Odredimo što im je zajedničko.

Na slici je crtež sfere s istaknutim točkama A, B, C, D, E i F koje joj pripadaju. Sve istaknute točke sferespojene su dužinama-polumjerima sfere

Sve istaknute točke A , B , C , D , E i F koje pripadaju sferi jednako su udaljene od središta sfere. Te su dužine polumjeri sfere.

S A ¯ S B ¯ S C ¯ S D ¯ S E ¯ S F ¯

Kako već za duljinu polumjera kružnice imamo oznaku malo r , duljinu polumjera sfere označit ćemo s velikim tiskanim slovom R . Duljinu polumjera nazivamo radijus.

S A = S B = S C = S D = S E = S F = R


Primjer 4.

Slika prikazuje sferu prekrivenu točkama
SFERA PREKRIVENA TOČKAMA

Zamislimo sada sferu prekrivenu točkama. Pokušajmo definirati sferu.

Sve su točke koje pripadaju sferi jednako udaljene od njezina središta S .

Sfera je skup svih točaka prostora jednako udaljenih od jedne čvrste točke, središta sfere. ​

Polumjer sfere je dužina koja spaja središte sfere s bilo kojom točkom koja pripada sferi.

Primjer 5.

Na slici je prikazan crtež kugle s istaknutim središtem S, polumjerom i glavnom kružnicom

Sve točke unutar sfere i na sferi čine kuglu. Zadana je kugla sa središtem S i radijusom R .

Što vrijedi za sve točke prostora unutar i na sferi?

Polumjer kugle jednak je polumjeru sfere.

Sve točke unutar sfere i na sferi udaljene su od središta sfere za iznos jednak radijusu R ili manji od njega.


Kugla je skup svih točaka prostora omeđen sferom uključujući i sferu. Udaljenost svih točaka kugle od središta kugle je manja od radijusa ili jednaka radijusu kugle.

Kuglu označujemo s K S , R , gdje je S  središte, a R duljina polumjera kugle, tj. radijus kugle.

Neka točka A pripada kugli K S , R sa središtem S i radijusom R , tada vrijedi S A R .

Kutak za znatiželjne

Možemo uspostaviti vezu, analogiju, između kružnice i sfere te kruga i kugle:

KRUŽNICA SFERA
SKUP SVIH TOČAKA RAVNINE JEDNAKO UDALJENIH OD ČVRSTE TOČKE.
SKUP SVIH TOČAKA PROSTORA JEDNAKO UDALJENIH OD ČVRSTE TOČKE.

KRUG
KUGLA
SKUP SVIH TOČAKA RAVNINE OMEĐEN KRUŽNICOM UKLJUČUJUĆI I TOČKE KRUŽNICE.
SKUP SVIH TOČAKA PROSTORA OMEĐEN SFEROM UKLJUČUJUĆI I TOČKE SFERE .
DIO RAVNINE OMEĐEN KRUŽNICOM UKLJUČUJUĆI I TOČKE KRUŽNICE.
DIO PROSTORA OMEĐEN SFEROM UKLJUČUJUĆI I TOČKE SFERE.

Primjer 6.

Na slici je prikazan crtež kugle s istaknutim središtem S, promjerom i glavnom kružnicom

Zadana je sfera sa središtem S i radijusom R . Zadane su točke A i B koje pripadaju sferi. Središte sfere pripada dužini A B ¯ . Odredimo duljinu dužine A B ¯ .

  • Duljina dužine jednaka je dvostrukom radijusu, A B = 2 · R .
  • Dužina A B ¯ je promjer sfere odnosno kugle.
  • Duljinu promjera nazivamo dijametar i označujemo ga s malim pisanim d , d = 2 R .

Promjer sfere odnosno promjer kugle je dužina kojoj pripada središte sfere odnosno kugle i čiji krajevi pripadaju sferi.

Zadatak 1.

Riješite kviz.

  1. Duljina polumjera ili  , duljina promjera ili  .
    null

    Postupak:

    Duljina polumjera ili radijus, duljina promjera ili dijametar.

  2. Zadana je sfera s polumjera 5 cm . Zadane su i točke te je napisana njihova udaljenost od središta S . Odaberi točke koje pripadaju sferi.

    Na slici su prikazane zadane točke i napisana je njihova udaljenost od središta S.

    null
  3. Zadana je sfera s polumjera 5 cm . Zadane su i točke te je napisana njihova udaljenost od središta S . Odaberi točke koje pripadaju kugli, ali ne i sferi.

    Na slici su prikazane zadane točke i napisana je njihova udaljenost od središta S.

    null
    null

Zadatak 2.

  1. Kugla polumjera duljine 56 metara ima promjer duljine  metara.

    Pomoć:

    d = 2 R  

    Postupak:

    d= 2 R d= 2 · 56 d= 112 m  

  2. Duljina promjera kugle iznosi 40 dm . Duljina njegova polumjera iznosi

    Pomoć:

    d = 2 R   ​

    Postupak:

    d = 2 R 40 = 2 R R = 20 dm   ​

  3. Ako radijus kugle iznosi 1.5 m , iznosi 3 m .

    Pomoć:

    d = 2 R   ​

    Postupak:

    d = 2 R d = 2 · 1.5 d = 3 m

  4. Dijametar sfere iznosi 4 5 m . Radijus te sfere iznosi

     

    Postupak:

    d = 2 R 4 5 5 = 2 R R = 4 5 : 2 R = 4 5 · 1 2 R = 4 10 = 0.4 m = 4 dm  
  5. Polumjer kugle je  koja spaja  kugle s bilo kojom točkom koja pripada  .

    Postupak:

    Polumjer sfere je dužina koja spaja središte sfere s bilo kojom točkom koja pripada sferi.

  6. Dijametar kugle je  od polumjera kugle.

    Pomoć:

    d = 2 R   ​

  7. Duljina polumjera je

     
    , a duljina promjera
     
    .

    dijametar
    radijus

Zadatak 3.

Slika prikazuje crtež kugle upisane  kocki

Kugla je upisana kocki duljine brida 5 dm . Odredite polumjer kugle.

Slika prikazuje crtež kugle upisane  kocki s istaknutim promjerom

Duljina brida kocke jednaka je duljini promjera kugle, 5 dm .

R = 5 : 2 = 2.5 dm  

Duljina polumjera kugle iznosi 2.5 dm .


Presjek sfere i kugle s ravninom

Primjer 7.

U sljedećoj aktivnosti proučite što nastaje kao presjek: ​

  • ravnine i sfere ​
  • ravnine i kugle.​

Odabirom i pomicanjem crvene točke pomicat ćete cijelu ravninu. Cijelu dobivenu sliku možete i zakretati.

Povećaj ili smanji interakciju

Presjek ravnine i sfere je kružnica.

Glavna kružnica je najveća kružnica sfere i ima isto središte i isti polumjer kao i kugla.

Glavni krug je najveći krug kugle i ima isto središte i isti polumjer kao i kugla.

Zanimljivost

Ilustracija prikazuje Zemlju s istaknutima meridijanim ai paralelama

Podsjetimo se! Kako bi mogao određivati položaj brodova, zrakoplova i sl. čovjek je osmislio zamišljenu mrežu meridijana i paralela.

Svi meridijani pripadaju glavnim kružnicama.

Ekvator je nulta paralela i predstavlja glavnu kružnicu.

Na slici je prikaz presjeka ravnine i kugle- krug

Pogledajmo jedan prikaz presjeka ravnine i kugle. Središte je kruga S 1 , a polumjer je presjeka r .

Polumjer kruga koji je nastao kao presjek kugle s ravninom manji je od polumjera ili jednak polumjeru kugle, r R , gdje su r i R  nenegativni realni brojevi.

Primjer 8.

Ravnina presijeca kuglu polumjera R = 5 dm   na udaljenosti k = 4 dm od središta kugle. Odredimo površinu presjeka kugle i ravnine. 

Slika prikazuje kuglu s glavnim krugom i presjekom s ravninom na udaljenosti k.

Presjek ravnine i kugle je krug. Za površinu kruga potrebna nam je duljina polumjera kruga r . Točka K pripada sferi. Uočimo na slici pravokutni trokut s katetama duljine k i r te hipotenuzom duljine R . Primjenom Pitagorina poučka na taj pravokutni trokut odredit ćemo duljinu polumjera kruga.

R 2 = r 2 + k 2 5 2 = r 2 + 4 2 r 2 = 25 - 16 r 2 = 9 dm 2

Kako nam je za površinu potreban r 2 , tu ćemo završiti račun. Izračunajmo površinu kruga.

p = r 2 π p = 9 π dm 2 28.27 dm 2

Površina presjeka iznosi 9 π dm 2 .


Zadatak 4.

  1. Glavna kružnica sfere ima isto  i isti  kao i sfera kojoj pripada.
    null

    Postupak:

    Glavna kružnica sfere ima isto središte i isti polumjer kao i sfera kojoj pripada.

  2. Presjek ravnine i kugle je  , a presjek ravnine i sfere  .
    null

    Postupak:

    Presjek ravnine i kugle je krug, a ravnine i sfere kružnica.

  3. Površina najvećeg kruga omeđenog sferom polumjera 7 mm iznosi

    Pomoć:

    p = R 2 π   ​

     

  4. Opseg kružnice koja pripada sferi polumjera 41 cm na udaljenosti 40 cm od središta iznosi

    Pomoć:

    o = 2 r π ,   r 2 + 40 2 = 41 2   ​

    Postupak:

    r 2 + 40 2 = 41 2 r 2 = 81 r = 9 cm

    o = 2 r π = 18 π cm 2

Zadatak 5.

Izračunajte površinu kruga najvećeg opsega u kugli polumjera 7.5 cm .

Na slici je prikaz kugle i njenog glavnog kruga s polumjerom

Najveći presjek je glavni krug čija površina ovisi o polumjeru kugle R .

p = R 2 π p = 7.5 2 π p = 56.25 π cm 2

Površina najvećeg presjeka iznosi 56.25 cm 2 .


Zadatak 6.

Duljina Zemljina ekvatora iznosi 4 · 10 4 km . Uzmimo da je Zemlja savršena kugla. Koliki bi bio polumjer te kugle?

Na fotografiji je prikazan model globusa
globus

Duljina ekvatora jednaka je duljini najveće, glavne kružnice čiji je polumjer jednak polumjeru kugle R .

o = 2 R π 4 · 10 4 = 2 R π R = 4 · 10 4 : 2 π R = ( 4 : 2 π ) · 10 4 R 0.636619 · 10 4 R 6 366 km

Kad bi Zemlja bila savršena kugla, polumjer bi joj iznosio oko​ 6 366 km .


Povezani sadržaji

Grad Senj nalazi se na 45 . paraleli koju nazivamo sunčanik. Kolika je duljina paralele na kojoj se nalazi Senj? (Duljina je polumjera Zemlje 6 371 km . )

Na slici je prikaz Senja  na 45. paraleli
prikaz Senja na 45. paraleli

Duljina paralele jednaka je opsegu kruga polumjera r . Promotrimo trokut S e n j T S . To je jednakokračni pravokutni trokut s katetama duljina r i hipotenuzom duljine R . Duljinu polumjera odredit ćemo primjenom Pitagorina poučka na taj trokut.

r 2 + r 2 = R 2 2 r 2 = 6 371 2 r 2 = 40 589 641 : 2 r 2 = 20 294 820.5 r 4 505 km

Izračunajmo opseg kruga s tim polumjerom.

o = 2 r π o = 2 · 4 505 · π o = 9 010 π o 28 306 km

Duljina paralele na kojoj se nalazi Senj iznosi približno 28 306 km .


Oplošje kugle, površina sfere

Kugla je jedino tijelo kojemu ne možemo napraviti mrežu i sastaviti je u kuglu. Odnosno idejno možemo, ali nam je to praktički teško. Pogledajmo video koji opisuje kako može nastati mreža kugle na primjeru guljenja naranče.

Pokus

Pokus treba ponoviti nekoliko puta s različitim promjerima voćke. Za oba bi rezultata, promjer voćke i promjer kruga od oguljene kore, trebalo izračunati aritmetičku sredinu.

  1. Odaberite voćku koja ima oblik kugle ili je što bliže tom obliku – jabuku ili naranču.
  2. Pomičnim mjerilom izmjerite njezin promjer i zapišite ga.
  3. Ogulite tu voćku bez prekidanja i koru posložite u obliku kruga najbolje što možete.
  4. Pomičnim mjerilom izmjerite promjer složenog kruga i zapišite ga.

Koliki je polumjer tog kruga u odnosu na polumjer kugle?

Promjer kruga složenog od kore približno je dvostruko veći od promjera voćke.

Zaključak: Oplošje kugle jednako je površini kruga dvostruko većeg polumjera.

O = 4 R 2 π = 2 R 2 π   ​

 ​

Zanimljivost

Slika prikazuje u valjak upisanu kuglu

Arhimed je promatrao oplošje kugle upisane u valjak.

Preciznije, promatrao je oplošje kugle i površinu plašta valjka koji ima duljinu promjera baze i duljinu visine jednaku duljini polumjera kugle.

Oplošje kugle polumjera R jednako je površini plašta valjka u koji je kugla upisana.

O = 4 R 2 π

Oplošje kugle odnosno površina sfere polumjera R iznosi O = 4 R 2 π .

Primjer 9.

Izračunajmo oplošje O kugle polumjera R = 1 737 km .

O = 4 R 2 π O = 4 · 1 737 2 π O = 4 · 3 017 169 · π O = 12 068 676 π O = 1.2068676 · 10 7 π O 3.81 · 10 7 km 2


Primjer 10.

Oplošje kugle iznosi​ O = 36 π cm 2 . Odredimo promjer te kugle.

Za određivanje promjera potreban nam je polumjer kugle. Polumjer kugle R odredit ćemo iz oplošja.

O = 4 R 2 π 36 π = 4 R 2 π / : π R 2 = 36 : 4 R 2 = 9 / R = 3 cm

Promjer kugle iznosi 2 R = 2 · 3 = 6 cm .


Zadatak 7.

  1. Oplošje kugle četiri je puta veće od površine glavnog kruga te kugle.

    Pomoć:

    O = 4 R 2 π = 4 · R 2 π   ​

    null
  2. Oplošje kugle promjera 26 cm iznosi

    Pomoć:

    O = 4 R 2 π   ​

    Postupak:

    O = 4 R 2 π O = 4 · 13 2 π O = 676 π cm 2   ​

  3. Površina glavnog kruga kugle iznosi  64 π m 2 . Oplošje te kugle iznosi

     
    m 2 .
    Opseg glavne kružnice iznosi
     
    m .

    256 π
    16 π   ​

    Pomoć:

    O = 4 R 2 π ,   o = 2 R π   ​

    Postupak:

    O = 4 R 2 π = 256 π m 2 ,   o = 2 R π = 16 π m   ​

  4. Površina sfere iznosi O = 200 π mm 2 . Polumjer te sfere iznosi

    Pomoć:

    O = 4 R 2 π   ​

    Postupak:

    O = 4 R 2 π 200 π = 4 R 2 π R 2 = 50 R = 5 2 mm   ​

Zadatak 8.

Ispravno izračunajte oplošja kugli O sa zadanim polumjerom R i otkrijte sliku u pozadini. Za broj π upotrijebite približnu vrijednost π = 3.14 . Ako je potrebno, zaokružite rezultat na dvije decimale.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 9.

Oplošje kugle iznosi O = 100 π m 2 . Koliko iznosi oplošje kugle dvostruko manjeg polumjera?

Prvo treba odrediti polumjer početne kugle iz oplošja.

O = 4 R 2 π 100 π = 4 R 2 π / : π R 2 = 100 : 4 R 2 = 25 R = 5 m

Dvostruko manji polumjer iznosi R : 2 = 5 : 2 = 2.5 m .

Izračunajmo oplošje kugle prepolovljenog polumjera.

O = 4 · 2.5 2 π O = 4 · 6.25 π O = 25 π m

Oplošje kugle dva puta manjeg polumjera je četiri puta manje.


Volumen ili obujam kugle

U videu koji slijedi promotrite ideju i izvod formule za izračun volumena (obujma) kugle zadane svojim radijusom R .

Volumen ili obujam kugle duljine polumjera R računamo V = 4 3 R 3 π .

Primjer 11.

Odredimo volumen kugle radijusa​ R = 12 cm .

V = 4 3 R 3 π V = 4 3 12 3 π V = 4 3 1 1 728 576 π V = 2 304 π cm 3
V 7 238.23 cm 3


Primjer 12.

Volumen kugle iznosi V = 36 π m 3 . Odredimo joj oplošje.

Za oplošje kugle treba nam radijus kugle. Izračunajmo ga iz volumena.

V = 4 3 R 3 π 36 π = 4 3 R 3 π / : π R 3 = 36 : 4 3 R 3 = 36 9 · 3 4 1 R 3 = 27 R 3 = 3 · 3 · 3 = 3 3 R = 3 m

Oplošje.

O = 4 R 2 π O = 4 · 3 2 π O = 36 π m 2

Primijetimo: Kugla s polumjerom R = 3 ima iste iznose volumena i oplošja, 36 π .


Ponovimo:

tablica s brojevima potencija na treću

Zadatak 10.

U sljedećoj interakciji ispravnim računanjem iz oplošja, s točnošću na dvije decimale, odredite obujam (volumen) kugle. Za broj π upotrijebite približnu vrijednost π = 3.14 .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 11.

Na fotografiji je nogometna lopta
nogometna lopta

Opseg nogometne lopte iznosi 70 cm . Koliko je litara zraka u nogometnoj lopti? Kolika joj je površina? 1 L = 1 dm 3

Opseg lopte je opseg glavne kružnice kugle. Polumjer te kružnice jednak je radijusu R kugle.

  1. Izračunajmo radijus kugle.

    o = 2 R π 70 = 2 R π R = 70 : 2 π R = 35 π cm

  2. Količina litara zraka je volumen V lopte polumjera R koji ćemo izraziti u dm 3 .

    V = 4 3 R 3 π V = 4 3 35 π 3 π V = 4 3 · 35 3 π 3 2 · π V = 4 · 42 875 3 π 2

    V 5 792.19 cm 3 5.79 dm 3 = 5.79 L

    U nogometnoj lopti je približno 5.79 litara zraka.

  3. Površina lopte jednaka je oplošju lopte polumjera R = 35 π cm .

    O = 4 R 2 π O = 4 35 π 2 π O = 4 · 1 225 π 2 · π O = 4 900 π O 1 559.72 cm 2

    Površina nogometne lopte približno iznosi 1 559.72 cm 2 .

Zadatak 12.

Na ilustraciji je selo Inuita, Oopungnewing, blizu zaljeva Frobisher na Baffinovom otočju sredinom 19. stoljeća.
Oopungnewing, selo Inuita blizu zaljeva Frobisher na Baffinovu otočju sredinom 19. stoljeća

Iglu, kuća od snijega, izgleda poput polovice lopte. Inuitima (Eskimima) danas služi kao privremeno boravište kad idu u lov, a nekada su u njima živjeli. Grade ih od blokova smrznutog snijega i iznutra ih oblažu kožama i krznima životinja radi izolacije. Koliko metara kubnih iznosi unutrašnjost iglua koji ima najveću visinu unutrašnjosti 170 cm ? Kolika je površina koža potrebna za oblaganje svoda tog iglua?

Treba izračunati volumen izražen u metrima kubnim. Kako je iglu oblika polukugle, najveća je visina polumjer kugle: R = 170 cm = 1.7 m .

Volumen tog iglua V i jednak je polovini obujma kugle polumjera R .

V i = 1 2 1 · 4 2 3 R 3 π V i = 2 3 · 1.7 3 π V i = 2 3 · 4.913 π V i = 3.275 3 ˙ π V i 10.29 m 3

Volumen iglua najveće visine 1.7 metara iznosi 10.29 metara kubnih.

Površinu kože odredit ćemo kad odredimo polovinu oplošja O i kugle polumjera R = 1.7 m .

O i = 1 2 1 · 4 2 R 2 π O i = 2 · 1.7 2 π O i = 2 · 2.89 π O i = 5.78 π O i 18.16 m 2

Površina kože potrebna za oblaganje svoda tog iglua iznosi približno 18.16 m 2 .


Zanimljivost

Više o Inuitima (Eskimima) pročitajte na poveznici.

Povezani sadržaji

U maloj je slastičarnici posloženo 20 posuda sladoleda različitih okusa. Posude imaju oblik kvadra dimenzija 360 × 165 × 100 milimetara. Kuglica sladoleda ima promjer oko 4 cm . Ako svaka kuglica ima cijenu 8 kuna, kolika je moguća brutozarada* od sladoleda?

*brutozarada – nisu uračunati troškovi proizvodnje i usluge.

Treba izračunati broj kuglica sladoleda i pomnožiti ih s jediničnom cijenom. Kako bismo odredili broj kuglica sladoleda, treba izračunati ukupan volumen sladoleda u posudama i volumen jedne kuglice i te iznose podijeliti.

Ukupan volumen sladoleda V s jednak je broju posuda pomnoženih s volumenom kvadra dimenzija 36 × 16.5 × 10 centimetara.

V s = 20 · 36 · 16.5 · 10 V s = 20 · 36 · 16.5 · 10 V s = 118 800 cm 3

Volumen kuglice sladoleda V k promjera i polumjera 2 R = 4 cm , R = 2 cm :

V k = 4 3 R 3 π V k = 4 3 2 3 π V k = 4 3 · 8 π V k = 32 3 π V k 33.51 cm 3  

Broj kuglica iznosi 118 800 : 33.51 3 545.2 kuglica. Zaokružit ćemo taj broj na jedinicu više: 3 546  kuglica.

Pomnožimo broj kuglica s jediničnom cijenom.

Moguća brutozarada iznosi 3 546 · 8 = 28 368 kuna.


Zanimljivost

Na slici je prikazan stožac upisan u kuglu koja je upisana valjku

oli turbare (tangere) circulos meos!

 – u prijevodu –

Ne dirajte moje krugove!

Tako je, prema legendi, uzviknuo Arhimed sirakuškom vojniku koji ga ubio dok je u pijesku crtao kuglu upisanu u valjak te razmišljao o omjeru njihovih volumena 2 : 3 .

Kažu da mu je zadnji motiv koji je nacrtao, kugla upisana valjku, bio uklesan u spomenik.

No postoji još jedna zanimljiva činjenica kojom se bavio Demokrit, 200 godina prije Arhimeda, a to je omjer volumena valjka i stošca, 3 : 1 .

Istražimo:

Omjer volumena valjka, kugle i stošca iste baze i iste visine/promjera iznosi 3 : 2 : 1 .

Ispišimo redom izraze za izračun volumena :

  • valjka,  V v = r 2 π h = R 2 π 2 R = 2 R 3 π
  • kugle, V k = 4 3 R 3 π
  • stošca, V s = 1 3 r 2 π h = 1 3 R 2 π 2 R = 2 3 R 3 π .

Stavimo ih u omjer.

V v : V k : V s = = 2 R 3 π : 4 3 R 3 π : 2 3 R 3 π / : R 3 π = 2 : 4 3 : 2 3 / : 2 = 1 : 2 3 : 1 3 / · 3 = 3 : 2 : 1
V v : V k : V s = 3 : 2 : 1 _

Kutak za znatiželjne

Na slici je crtež oktaedra upisanog u kuglu koja je upisana u kvadrat

Odredi omjer oplošja i volumena tijela na slici, kocke, kugle i oktaedra, upisanih jedno u drugo. Duljina brida kocke iznosi a .

Na slici je crtež oktaedra upisanog u kuglu koja je upisana u kvadrat

Treba redom odrediti volumene svih triju tijela i staviti ih u omjer.

Volumen kocke iznosi V = a 3 .

Volumen kugle V k polumjera R = a 2 iznosi:

V k = 4 3 R 3 π V k = 4 3 a 2 3 π V k = 4 1 3 · a 3 8 2 π V k = a 3 6 π

Volumen oktaedra V o jednak je dvostrukom obujmu pravilne čeverostrane piramide brida baze duljine a 2 2 i visine h = a 2 .

V o = 2 1 · 1 3 a 2 2 2 · a 2 1 V o = 1 3 · a 2 4 2 · 2 1 · a V o = a 3 6

Volumen obujama zadanih tijela:

V : V k : V o = a 3 : a 3 6 π : a 3 6 =

= a 3 : a 3 : a 3 6 π : a 3 : a 3 6 : a 3

= 1 : π 6 : 1 6

= 1 · 6 : π 6 · 6 : 1 6 · 6

V : V k : V o = 6 : π : 1 _


Povezani sadržaji

Koliki postotak prostora zauzimaju 3 lopte za tenis promjera 6.7 cm spremljene u valjkastu kutiju? Poklopac kutije dodiruje treću spremljenu loptu, a lopte dodiruju unutarnju plohu kutije.

1. način:

Kutija ima oblik valjka. Treba izračunati volumen valjka promjera 6.7 cm . Visina tog valjka jednaka je tri duljine promjera lopte, h = 3 · 6.7 = 20.1 cm .

Treba izračunati volumen svih triju lopti. Ti će podatci biti dovoljni za izračun postotka prostora kutije koji ispunjavaju tri lopte za tenis.

Volumen valjka V promjera 6.7 cm , a radijusa baze r = 6.7 : 2 = 3.35 cm i visine,

V = r 2 π h V = 3.35 2 π · 20.1 V = 11.2225 · 20.1 · π V = 225.57225 π cm 3

Volumen triju lopti V 3 L jednak je volumenu triju kugli polumjera R = 3.35 cm ,

V 3 L = 3 · 4 3 R 3 π V 3 L = 3 1 · 4 3 1 · 3.35 3 π V 3 L = 4 · 37.595375 π V 3 L = 150.3815 π cm 3

Odredimo postotak odnosno udio volumena lopti V 3 L u ukupnom volumenu valjka V .

V 3 L V = 150.3815 π 1 225.57225 π 1 = 0 . 6 ˙ = 2 3 67 %

Tri lopte zauzimaju približno 67 % prostora kutije.

Iz izračuna možemo odrediti i omjer volumena lopti i volumena kutije: V 3 L : V = 2 : 3 .

Na slici je prikazan valjak u kojeg su upisane tri kugle, jedna iznad druge

2. način:

U zanimljivosti smo spomenuli da je Arhimed otkrio kako je omjer kugle upisane u valjak i valjka 2 : 3 .

Ovdje možemo zamisliti situaciju s trima takvim kuglama i valjkom pa je omjer volumena lopti i volumena kutije, V 3 L : V = 2 : 3 .


Zadatak 13.

Iz oplošja izračunajte volumen kugle.

 Spojite parove.

O = 0.36 π   ​
V = 0.085 3 ˙ π   ​
O = 0.64 π   ​
V = 0.288 π   ​
O = 1.44 π   ​
V = 0.010 6 ¯ π   ​
O = 0.16 π   
V = 0.036 π   ​
O = π  
V = 0.1 6 ˙ π   ​

Pomoć:

O = 4 R 2 π , V = 4 3 R 3 π   ​

null

Projekt

 Zadane su dimenzije lopti za: ​

Istraži omjer njihovih volumena.

...i na kraju

Na slici su prikazani Sunce, Zemlja i Mjesec sa svojim orbitama

Kugla je najsavršenije tijelo. Mi živimo na planetu Zemlji koja ima oblik kugle. Bez Sunca, koji je isto kugla, ne bi bilo života na Zemlji. Mjesec, Zemljin najvjerniji pratitelj, ima oblik kugle.