Matematika 8 - 5.2 Realni brojevi i brojevni pravac

Na početku...

Lana i njezina sestrična Vera osmislile su način tajnoga kodiranja svojih poruka. Svakom su samoglasniku pridružile po jedan negativni cijeli broj, a svakom suglasniku po jedan pozitivni cijeli broj. Slovu R pridružile su broj $0$ jer katkad može preuzeti ulogu samoglasnika.

Zanimljivost

U skupu cijelih brojeva svaki broj ima neposrednog prethodnika i neposrednog sljedbenika, tj. između dvaju susjednih cijelih brojeva ne postoji ni jedan cijeli broj. Ni jedan racionalni broj nema neposrednog prethodnika ni neposrednog sljedbenika, tj. između svaka dva racionalna broja postoji još beskonačno mnogo njih.

Zadatak 1.

Svoj su šifrarnik nacrtale preko cijelog lista papira u bilježnicu iz Matematike, pri čemu je udaljenost između dvaju slova iznosila $1 cm .$ Nakon nekog vremena zaključile su da trebaju dodati slova Q, X i Y, ali ne žele brojevni pravac crtati ispočetka. Kako to mogu učiniti?

Slika prikazuje brojevni pravac od -5 do 24 pri čemu je svakoj točki s cjelobrojnom koordinatom pridruženo jedno slovo abecede od A do Ž.

Slika prikazuje brojevni pravac od -5 do 24 pri čemu je svakoj točki s cjelobrojnom koordinatom pridruženo jedno slovo abecede od A do Ž. Na sliku su u crvenoj boji nadodane točke Q. X i Y.

Lana i Vera svoj problem mogu riješiti tako da slovima Q, X i Y pridruže neki racionalni broj veći od $- 5,$ a manji od $24 .$ Za razliku od cijelih brojeva, u skupu racionalnih brojeva, između neka dva broja koja pripadaju tome skupu, uvijek se može odrediti beskonačno mnogo brojeva koji također pripadaju skupu racionalnih brojeva.

Pogledajte primjer prikazan na slici.

Zanimljivost

Podskup je skupa realnih brojeva gust skup ako se između svaka dva njegova elementa nalazi barem jedan element. Skup $Q$ gust je u skupu $R .$

Racionalni i iracionalni brojevi – „za koga ima mjesta” na pravcu?

Zadatak 2.

Lana i Vera uočile su da se u skupu racionalnih brojeva između bilo koja dva broja toga skupa uvijek može odrediti neki broj koji je također element skupa racionalnih brojeva. Sada ih zanima prekrivaju li racionalni brojevi cijeli brojevni pravac, tj. postoji li broj pridružen nekoj točki brojevnog pravca, a koji nije racionalan.

U njihov razgovor umiješala se Lanina starija sestra Tiana koja je donijela novčić od $10$ lipa i komad špage. Špagu je omotala oko novčića te izmjerila njegov opseg. Rastvorila je špagu i duljinu opsega prenijela na brojevni pravac. Utvrdila je kako je upravo pokazala da se na brojevnom pravcu mogu prikazati brojevi i koji nisu racionalni. Ima li Tiana pravo? Ako nema, objasnite. Ako ima, koji je broj prikazala na brojevnom pravcu te kojem skupu brojeva pripada?

Zanimljivost

Zanimljivosti o novčiću od $10$ lipa možete pročitati na sljedećoj poveznici.

Slika prikazuje postupak određivanja opsega novčića pomoću špagice. Špagica koja se omota oko kruga polumjera 1, razmotat će se do otprilike 6.28 jedinica.

Promjer novčiča od $10$ lipa iznosi $20 mm .$ Opseg kruga računa se formulom $o = 2 r π,$ tj. $o = d π .$ Opseg novčića zato iznosi $o = 20 π mm$ . Tiana je na brojevnome pravcu prikazala iracionalni broj $20 π .$

U animaciji koja slijedi pokazan je način prikazivanja broja $π$ „odmotavanjem ” kruga promjera $1$ jedinice.

Između svaka dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva. Dakle, racionalni su brojevi gusto poredani na brojevnom pravcu, ali ga ipak ne ispunjavaju potpuno. Na pravcu postoje i točke koje su pridružene iracionalnim brojevima.

Zanimljivost

Broj $π$ jednak je količniku opsega i promjera kruga. Njegova približna vrijednost iznosi $3.14 .$ Mnoštvo zanimljivosti o tom broju možete pročitati u članku Branimira Dakića Uz dan broja $π$ objavljenom u časopisu Matematika i škola, broj 38.

Slika prikazuje odnose između skupova N, Z, Q, I te R. Skup N podskup je skupa Z. Skup Z podskup je skupa Q, a skup Q podskup je skupa R. Skup I podskup je skupa R, a sa skupom Q ne dijeli niti jedan zajednički član.

Prisjetimo se, iracionalni brojevi su brojevi kojima se u decimalnom zapisu znamenke ne ponavljaju periodično.

Skup racionalnih brojeva, skup $Q$ i skup iracionalnih brojeva, skup $I,$ zajedno izgrađuju skup realnih brojeva, skup $R .$

Zadatak 3.

Razvrstajte brojeve s obzirom na to pripadaju li skupu racionalnih brojeva, skupu $Q,$ ili skupu iracionalnih brojeva, skupu $I .$

Razvrstajte brojeve.

\sqrt{2}

3 . \bar{12345}

\sqrt{4}

- 1 \frac{1}{2}

- π

\sqrt{3}

\frac{1}{2} π

5 - \sqrt{7}

\frac{3}{4}

- 2 \sqrt{11}

(\sqrt{2} - 3)^{2}

(\sqrt{3} + 1)^{2}

2.51

0.1 \bar{5}

(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})

Element skupa racionalnih brojeva

Element skupa iracionalnih brojeva

null

Brojevni pravac

Prisjetimo se kako definiramo brojevni pravac. Odaberemo čvrstu točku za ishodište, označimo je slovom $O$ i njoj pridružimo broj $0 .$ Zatim odaberemo još jednu točku desno od ishodišta, označimo je slovom $E,$ te joj pridružimo broj $1 .$ Točku $E$ nazivamo jediničnom točkom, a dužinu $\bar{O E}$ jediničnom dužinom.

Odabirom duljine jedinične dužine i njezinim označavanjem jednoznačno smo odredili položaj svih realnih (racionalnih i iracionalnih) brojeva na brojevnom pravcu.

Udaljenost točaka, kojima su pridruženi iracionalni brojevi od ishodišta $O,$ nije moguće izmjeriti jediničnom dužinom. (Kažemo da one nisu sumjerljive s jediničnom dužinom.) Ipak, položaj točaka pridruženih iracionalnim brojevima na brojevnom je pravcu moguće odrediti.

Slika prikazuje brojevni pravac na kojem su istaknute točke O i E.

$O$ - ishodište

$E$ – jedinična točka

$\bar{O E}$ – jedinična dužina

$|O E|$ – duljina jedinične dužine $|O E|$

Jediničnu dužinu uzastopno prenosimo udesno kako bismo prikazali pozitivne cijele brojeve, a uzastopno je prenosimo ulijevo kako bismo prikazali negativne cijele brojeve.

Bilo kojem racionalnom broju $\frac{m}{n}, m \in Z, n \in N, n \neq 0$ pridružit ćemo točku pravca tako da ćemo $n$ -ti dio jedinične dužine prenijeti $m$ puta udesno ili ulijevo od ishodišta brojevnog pravca.

Primjer 1.

Očitajmo koordinate točaka istaknutih na brojevnom pravcu.

Slika prikazuje brojevni pravac na kojem su istaknute točke čije koordinate treba očitati. Koordinate prikazanih točaka su cjelobrojne.

Slika prikazuje brojevni pravac na kojem su istaknute točke čije koordinate treba očitati. Na slici su istaknute i točke kojima su pridruženi brojevi -30 i 0.

Slika prikazuje brojevni pravac na kojem su istaknute točke čije koordinate treba očitati. Jedinična dužina podijeljena je na četiri sukladna dijela.

Slika prikazuje brojevni pravac na kojem su istaknute točke čije koordinate treba očitati. Točkama su pridružene decimalne koordinate.

$A (- 6),$ $B (- 2),$ $C (6),$ $D (3)$
$A (60),$ $B (- 45),$ $C (15),$ $D (- 90)$
$A (\frac{1}{4}), B (\frac{6}{4}), C (\frac{7}{4}), D (\frac{10}{4}),$ a nakon skraćivanja koordinate točaka $B$ i $D$ su $B (\frac{3}{2}), D (\frac{5}{2})$
$A (- 2.67),$ $B (- 2.60),$ $C (- 2.53),$ $D (- 2.48)$

Primjer 2.

Na brojevnom pravcu prikažimo točke s koordinatama:

$A (- 250),$ $B (- 100),$ $C (150),$ $D (350)$

$A (- \frac{4}{5}), B (- \frac{2}{5}), C (\frac{2}{5}), D (\frac{4}{5})$

$A (1.02),$ $B (1.06),$ $C (1.12),$ $D (1.21) .$

Slika prikazuje tri brojevna pravca. Na prvom su istaknute točke kojima su pridruženi brojevi 0 i 100, na drugome točke kojima su pridruženi brojevi 0 i 1, a na trećem točke kojima su pridruženi brojevi 1 i 1.2. Na tim su pravcima zatim prikazane točke zadane u zadatku.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Nacrtajte brojevni pravac u bilježnicu i prikažite točke s koordinatama:

$A (- 24),$ $B (- 23),$ $C (- 21),$ $D (- 18)$
$A (- 7.9),$ $B (- 7.7),$ $C (- 7.3),$ $D (- 6.9)$
$A (- 2 \frac{3}{4}), B (- 1 \frac{1}{2}), C (\frac{1}{2}), D (1 \frac{1}{4}) .$

Slika prikazuje tri brojevna pravca. Na prvome su istaknute točke kojima su pridruženi brojevi -27 i -26, na drugome točke kojima su pridruženi brojevi -8 i -7, a trećem točke kojima su pridruženi cijeli brojevi od -3 do 2. Na tim su pravcima zatim prikazane točke zadane u zadatku.

Zadatak 10.

Na odgovarajuće mjesto na brojevnom pravcu postavite slovo tako da je

$A (- 56.2),$ $B (- 55.8),$ $C (- 54.4),$ $D (- 52.8) .$

$A$

$B$

$C$

$D$

null

null
Na odgovarajuće mjesto na brojevnom pravcu postavite slovo tako da je

$E (0.5),$ $F (- 0.25),$ $G (34),$ $H (- 58) .$

$E$

$F$

$G$

$H$

null

null

Zatvori

Primjer 3.

Odredimo pet racionalnih brojeva koji se nalaze između brojeva $- 1 \frac{1}{3}$ i $\frac{1}{3}$ . Na brojevnom pravcu, kojeg smo nacrtali u bilježnicu, označimo točke pridružene tim brojevima.

Promotrimo slike.

Slika prikazuje brojevni pravac s točkama A(-1 1/3) i B(1/3) te točkama kojima su pridruženi cijeli brojevi od -3 do 1.

Između zadanih su granica na brojevnom pravcu već istaknute četiri točke (koje su redom pridružene brojevima $- 1,$ $- \frac{2}{3},$ $- \frac{1}{3}$ i $0$ ). Na brojevnom pravcu u zadanim granicama ne postoji više ni jedna točka koja je pridružena nekom cijelom ili racionalnom broju s nazivnikom $3 .$

Slika prikazuje brojevni pravac s točkama A(-1 1/3) i B(1/3) te točke koje se nalaze između tih dviju točaka, čiji je brojnik cijeli broj, a nazivnik broj 3.

Dakle, moramo "potražiti" (još najmanje jednu) točku koja se nalazi između točaka $A$ i $B .$ Podijelimo li razmak između točaka $O$ i $B$ točkom $T$ na dva jednaka dijela, točka $T$ pridružena je broju $\frac{1}{6} .$

Slika prikazuje brojevni pravac s točkama A(-1 1/3) i B(1/3) te točke između točaka A i B kojima su pridruženi razlomci s cjelobrojnim brojnikom, a nazivnikom 6.

Uz prethodno navedene te broj $\frac{1}{6},$ između zadanih su brojeva još i $- \frac{1}{6},$ $- \frac{3}{6} = - \frac{1}{2},$ $- \frac{5}{6}$ i $- \frac{7}{6} .$

Konstrukcija dužine duljine $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$

Primjer 4.

Nakon što im je Tiana pokazala kako prikazati iracionalni broj $2 π$ na brojevnom pravcu, Lana i Vera dosjetile su se kako, s pomoću komada špage i ukrasnog mozaik kamenčića u obliku kvadrata sa stranicom duljine $1 cm,$ na brojevnom pravcu s jediničnom dužinom duljine $1 cm$ prikazati $\sqrt{2} .$ Kako su to učinile?

Slika prikazuje kvadrat sa stranicom duljine 1 cm kojemu je ucrtana jedna dijagonala.

Kvadratić sa stranicom duljine $1 cm$ podijelile su dijagonalom na dva jednakokračna pravokutna trokuta.

Duljinu dijagonale tog trokuta odredile su primjenom Pitagorina poučka.

$d^{2} = 1^{2} + 1^{2}$
$d^{2} = 2$
$d = \sqrt{2}$
Duljina dijagonale tog kvadratića iznosi $\sqrt{2} cm .$

Duljinu dijagonale izmjerile su špagom i tu duljinu prenijele na brojevni pravac.

Primjer 5.

Vidjeli smo kako iracionalne brojeve prikazati na brojevnom pravcu koristeći se komadićem vrpce i konkretnim predmetima. Promotrimo kako konstruirati dužine čije su duljine iracionalni brojevi poput $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ te kako te dužine prikazati na brojevnom pravcu.

Konstruirajmo jednakokračni pravokutni trokut $A B C$ s katetama duljine $1 cm .$ Odredimo duljinu njegove hipotenuze.

Postupak konstrukcije dužine duljine korijen iz dva konstrukcijom pravokutnog trokuta s katetama duljine jedne jedinice.. .

Primijenimo li Pitagorin poučak na jednakokračni pravokutni trokut $A B C,$ dobit ćemo

${|A B|}^{2} = {|B C|}^{2} + {|C A|}^{2} = 1 + 1 = 2 .$ Iz toga slijedi $|A B| = \sqrt{2} cm .$

Primjer 6.

Konstruirajmo u bilježnicu pravokutni trokut s katetom duljine $1 cm$ i hipotenuzom duljine $2 cm .$ Kolika je duljina druge katete toga pravokutnog trokuta?

Postupak konstrukcije dužine duljine korijen iz 3 pomoću konstrukcije pravokutnog trokuta s katetom duljne 1 jedinice i hipotenuzom duljine 2 jedinice.

Primijenimo li Pitagorin poučak na jednakokračni pravokutni trokut $A B C,$ dobit ćemo ${|C A|}^{2} = {|A B|}^{2} - {|B C|}^{2} = 4 - 1 = 3 .$ Iz toga slijedi $|C A| = \sqrt{3} cm$ .

Zadatak 11.

Konstruirajte u bilježnicu pravokutne trokute čije su hipotenuze duljine:

$\sqrt{5}$
$\sqrt{17}$
$\sqrt{6}$
$\sqrt{27} .$

Postupak konstrukcija dužina zadanih duljina prema opisu iz rješenja zadatka.

Zamijetimo, u svakom smo primjeru zadani broj pod korijenom (radikand) zapisali kao zbroj najvećega mogućeg kvadrata manjeg od radikanda i „dopunu” do radikanda. (Katkad je moguće zadani radikand napisati kao razliku radikanda i najvećega mogućeg kvadrata manjeg od radikanda). To su brojevi koje želimo dobiti u jednakosti nakon primjene Pitagorina poučka.

U prvom slučaju, $4$ je najveći mogući kvadrat manji od broja $5 .$ $5 = 4 + 1,$ $4 = 2^{2}$ i $1 = 1^{2} .$

Prema Pitagorinu poučku vrijedi ${\sqrt{5}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} .$
U drugom slučaju dobili smo $17 = 16 + 1, 16 = 4^{2}, 1 = 1^{2} .$
U trećem slučaju dobili smo $6 = 4 + 2, 4 = 2^{2}, 2 = {\sqrt{2}}^{2} .$
U četvrtom slučaju dobili smo $27 = 25 + 2, 25 = 5^{2}, 2 = {\sqrt{2}}^{2} .$

Primjer 7.

U bilježnicu na brojevnom pravcu prikažimo točku pridruženu broju $\sqrt{2} .$

Postupak konstrukcije korijena iz 2 na brojevnom pravcu, konstrukcijom pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine korijen od dva te prenošenjem te dužine na brojevni pravac.

Dužinu duljine $\sqrt{2}$ dobivamo kao dijagonalu kvadrata konstruiranog nad jediničnom dužinom, odnosno kao hipotenuzu jednakokračnoga pravokutnog trokuta s katetom duljine $1 .$

Postupak prikazivanja točke pridružene broju $\sqrt{2}$ na brojevnom pravcu možete pogledati u sljedećoj animaciji.

Zadatak 12.

Prikažite, u bilježnicu, na brojevnom pravcu točke pridružene brojevima:

$2 \sqrt{2}$
$- \sqrt{2}$
$2.5 \sqrt{2} .$

Prikaz konstrukcija točaka sa zadanim koordinatama iz zadatka prema opisima iz rješenja.

Kako bismo prikazali točku pridruženu broju $2 \sqrt{2},$ konstruirali smo dužinu duljine $\sqrt{2}$ te smo je od početne točke prenosili dva puta udesno.
Za konstrukciju točke pridružene broju $- \sqrt{2}$ konstruiranu dužinu duljine $\sqrt{2}$ prenijeli smo ulijevo od početne točke.
Za konstrukciju točke pridružene broju $2.5 \sqrt{2}$ konsturiranu dužinu duljine $\sqrt{2}$ prenijeli smo ulijevo tri puta, a zatim smo konstrukcijom simetrale odredili polovište dužine određene točkama kojima su pridruženi brojevi $2 \sqrt{2}$ i $3 \sqrt{2} .$

Primjer 8.

Prikažimo, u bilježnicu, na brojevnom pravcu točku pridruženu broju $\sqrt{3} .$

Prikaz konstrukcije korijena od 3 na brojevnom pravcu pomoću trokuta s katetom duljine 1 jedinice i hipotenuzom duljine 2 jedinice.

Dužinu duljine $\sqrt{3}$ dobivamo kao katetu pravokutnog trokuta kojemu je duljina druge katete jednaka jediničnoj dužini, a duljina hipotenuze jednaka je $2 |O E| .$

S pomoću videozapisa možete detaljnije proučiti kako prikazati $\sqrt{3}$ na brojevnom pravcu.

Prikazivanje točke kojoj je pridružen broj √3 na brojevnom pravcu

Primjer 9.

Drugi način konstrukcije dužine duljine $\sqrt{3}$ i postupak prikazivanja točke kojoj je pridružen taj broj prikazan je na slici.

Prvo nad jediničnom dužinom konstruiramo jednakokračni pravokutni trokut. Hipotenuza tog trokuta duga je $\sqrt{2} .$ Zatim nad tom dužinom kao katetom konstruiramo pravokutni trokut kojemu je druga kateta duga $1 .$ Hipotenuza tog trokuta duga je $\sqrt{3} .$

Opisani postupak prikazuje i sljedeća animacija.

Zadatak 13.

Prikažite , u bilježnicu, na brojevnom pravcu točke pridružene brojevima:

$\sqrt{3}$
$- 2 \sqrt{3}$
$4 - \sqrt{3} .$

Slika prikazuje postupak konstrukcije točaka zadanih u zadatku prema opisima iz rješenja.

Kako bismo prikazali točku pridruženu broju $- 2 \sqrt{3},$ konstruirali smo dužinu duljine $\sqrt{3}$ te smo je prenosili od početne točke dva puta ulijevo.

Za konstrukciju točke pridružene broju $4 - \sqrt{3}$ dužinu duljine $4$ umanjili smo za $\sqrt{3},$ tj. prenijeli smo dužinu duljine $\sqrt{3}$ ulijevo od točke pridružene broju $4 .$

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 14.

Na brojevnom pravcu , u bilježnicu, prikaži sve točke koje su od točke $T (- \sqrt{2})$ udaljene dvije jedinice.

Slika prikazuje skup svih točaka koje su dva udaljene od točke s koordinatom korijen iz dva.

Zadatak 15.

Očitajte koordinate prikazanih točaka.

Slika prikazuje točke čije je koordinate potrebno očitati pomoću prikazanih konstrukcija. .

$A (- \sqrt{2})$
$B (2 + \sqrt{5})$
$C (\sqrt{3})$
$D (3 \sqrt{3})$

Zadatak 16.

Pomaknite točku A i postavite je na zadano mjesto. Provjerite točnost svojih rješenja. Pritiskom na „povećaloˮ možete promijetniti duljinu jedinične dužine.

Zatvori