x
Učitavanje

2.2 Proporcije ili razmjeri

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Izlog mjenjačnice, u izlogu se vidi omjer kuna i eura.

U mjenjačnici „Kuna“ možemo za 750 kn kupiti 100 eura.

Koliko bismo eura mogli kupiti u ovoj mjenjačnici za 7 500 kn ?

Mogli bismo kupiti 1 000 eura.


Zanimljivost

Valuta je novčana jedinica pojedine države. Primjerice, valuta Republike Hrvatske jest kuna i ima oznaku HRK. Valuta Europske unije (Europske monetarne unije) jest euro i ima oznaku EUR. Omjer vrijednosti dviju valuta izračunava se pomoću deviznog tečaja. Devizni se tečaj mijenja svaki dan, ovisno o ponudi i potražnji deviza na deviznom tržištu. Devizno je tržište trgovina novcem. Tečajevi se objavljuju svaki dan na tečajnim listama koje prikazuju vrijednost jedinice strane valute u odnosu na domaću valutu, primjerice 750 kn : 100 eura. Tečajne liste objavljuje Hrvatska narodna banka, skraćeno HNB. Više o tečajnim listama pogledajte na stranici tečajna lista Hrvatske narodne banke.

Mogli bismo kupiti deset puta više eura za deset puta više kuna. To je bilo lako izračunati. Ali ako imamo 2 055 kn , koliko bismo onda kupili eura toga dana u toj mjenjačnici? Kako bismo to izračunali, potrebna nam je informacija po kojem se deviznom tečaju računa, odnosno informacija o omjeru kune naprema euru.

Ako znamo da za 750 kn možemo kupiti 100  eura, možemo izračunati vrijednost omjera kuna i eura, 750 : 100 = 7.5 . Omjer mora imati jednaku vrijednost za bilo koji iznos kuna koji želimo zamijeniti za eure. Ako želimo promijeniti 2 055 kn u eure, po istom tečaju, moramo izračunati drugi član omjera 2 055 : x = 7.5 , kako smo naučili u jedinici Omjeri. x = 2 055 : 7.5 tj. x = 274 , odnosno za 2 055   kuna kupit ćemo 274 eura. Ovdje smo imali dva omjera jednake vrijednosti pa takav zadatak možemo zapisati kao jednakost dvaju omjera: 750 : 100 = 2 055 : 274 . Tako zapisanu jednakost dvaju omjera zovemo proporcija ili razmjer.

Proporcija ili razmjer

Jednakost dvaju omjera nazivamo proporcija ili razmjer.

Zapis proporcije ili razmjera

Proporciju ili razmjer pišemo u obliku a : b = c : d , pri čemu su a , b , c , d Q , te b 0 i d 0 .

Čitanje proporcije ili razmjera

Proporciju ili razmjer a : b = c : d čitamo a  naprema b odnosi se kao c naprema d.

Članovi proporcije ili razmjera

Članove a i d nazivamo vanjski članovi proporcije ili razmjera.

Članove b i c nazivamo unutarnji članovi proporcije ili razmjera.

Vanjski i unutarnji članovi proporcije ili razmjera.

Zadatak 1.

Istražite jednakost omjera. Uočite da su omjeri jednaki ako su u sredini označene iste boje. Kada istražujete jednakost omjera ili proporciju, klizač pomaknite udesno, a kada istražujete omjere, klizač pomaknite ulijevo.

Primjer 1.

Izračunajmo pomoću proporcije koliko ćemo eura u istoj mjenjačnici dobiti za 450 kn .

Iz tečajne je liste vidljivo da je omjer količine kuna i količine eura 750 : 100 . Ovdje trebamo uočiti da je prvi član omjera količina kuna, a drugi član omjera količina eura. Drugi omjer mora imati istu vrijednost jer želimo po istom tečaju promijeniti kune u eure. U tom drugom omjeru opet mora prvi član biti količina kuna, ona količina kuna koju želimo promijeniti, 450 kn . Drugi član mora biti količina eura, za sada nepoznanica x . Sada ta dva omjera stavimo u jednakost i dobit ćemo proporciju s jednom nepoznanicom:

750 : 100 = 450 : x

odnosno jednadžbu s jednom nepoznanicom. Kako ćemo riješiti tu jednadžbu s jednom nepoznanicom? Za sada to možemo riješiti tako da omjere zapišemo u razlomačkom obliku: 750 100 = 450 x .

Učili smo da ako su dva razlomka jednaka, onda su im jednaki i unakrsni umnošci brojnika i nazivnika pa slijedi:

750 · x = 100 · 450

Pogledajmo koji su to članovi proporcije ili razmjera. Broj 750 i nepoznanica x vanjski su članovi proporcije, a broj 100 i broj 450 unutarnji su članovi proporcije.

Prema tome, proporcije jednostavnije možemo rješavati tako da odmah pomnožimo vanjske članove i napišemo ih s jedne strane jednakosti, a potom pomnožimo unutarnje članove proporcije i napišemo ih s druge strane proporcije, bez pretvaranja u razlomački oblik.

Dalje rješavamo uobičajeno kao svaku drugu linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom, onako kako smo naučili u šestom razredu:

x · 750 = 45 000

x = 45 000 : 750

x = 60 .

Za 450 kn tog bismo dana u toj mjenjačnici dobili 60 eura.


Rješavanje proporcije ili razmjera

Umnožak vanjskih članova proporcije a : b = c : d jednak je umnošku unutarnjih članova te proporcije a · d = b · c .

Rješavanje razmjera tako da pomnožimo vanjske članove s jedne strane jednakosti, a unutarnje članove s druge strane jednakosti.

Zadatak 2.

Izračunajte i odgovorite.

U istoj mjenjačnici za 225 kn dobit ćemo eura, a za 3 412.50 kn dobit ćemo eura.

Pomoć:

Postavite razmjer, pomnožite vanjski član s vanjskim i unutarnji s unutarnjim, te riješite dobivenu jednadžbu, kako je pokazano u primjeru.

Postupak:

Za 225 kn postavimo razmjer 750 : 100 = 225 : x i riješimo jednadžbu 750 · x = 225 · 100

Za 3 412.50 kn postavimo razmjer 750 : 100 = 3 412.50 : x i riješmo jednadžbu 750 · x = 3 412.50 · 100

Zanimljivost

Kada pišemo iznos novca, uvijek ga pišemo tako da decimalni dio ima dvije decimale, odnosno stotinke. Tako se odmah vidi koliko imamo manjih jedinica. Glavna novčana jedinica podijeljena je na 100 manjih. Primjerice, kuna ima 100 lipa, a euro ima 100 centi.

Nepoznati član proporcije

Primjer 2.

Izračunajmo nepoznati član proporcije 24 : 15 = x : 3 .

Zadana je proporcija 24 : 15 = x : 3 .

Pomnožimo vanjski član s vanjskim članom i unutarnji s unutarnjim i dobijemo jednadžbu:

24 · 3 = 15 · x

Pritom nije važno koji umnožak pišemo s koje strane jednakosti pa jednadžbu možemo pisati i ovako:

15 · x = 24 · 3

Riješimo tu jednadžbu.

15 x = 72

x = 4.8

Nepoznati član proporcije jest x = 4.8 .


Zadatak 3.

Odredite nepoznati član razmjera 5 : 6 = x : 18

x = 15   ​


Zadatak 4.

Izračunajte nepoznati član proporcije ili razmjera i spojite parove.

9 : 16 = x : 32   ​
x = 6   ​
30 : x = 12 : 8
x = 20   ​
8 : 10 = 40 : x  
x = 50   ​
x : 15 = 14 : 35  
x = 18   ​

Pomoć:

Umnožak vanjskih članova jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera.

null

Zadatak 5.

Izračunajte nepoznati član proporcije 33 : 15 = 44 : x .

Pomoć:

Umnožak vanjskih članova jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera.

null

Zadatak 6.

Izračunajte nepoznati član proporcije ili razmjera x : 2.5 = 3.6 : 2 .

Pomoć:

Umnožak vanjskih članova jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera.

null

Zadatak 7.

Izračunajte nepoznati član razmjera 2 5 : x = 5 6 : 25 18 .

Pomoć:

Umnožak vanjskih članova jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera.

null

Zadatak 8.

Izračunajte nepoznati član proporcije 5 1 3 : x = 14 : 4.2 . Rješenje se može napisati u više oblika, pa je više ispravnih ponuđenih odgovora. 

Pomoć:

Umnožak vanjskih članova jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera.  

null

Zadatak 9.

Dopunite rečenicu.

Nepoznati član proporcije x : 1 2 7 = 2 2 9 : 2 7 jest ​  .

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 10.

 Dopunite rečenicu.

Nepoznati član razmjera 1.2 : 3 4 = 8 : x jest  .

Pomoć:

Umnožak vanjskih članova jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera.

null

Zadatak 11.

Izračunajte nepoznati član proporcije 3.3 : x = 2 3 4 : 5 .

x = 6


Zadatak 12.

Ako je u mjenjačnici omjer kuna i eura HRK : EUR = 750 : 100 , izračunajte koliko bismo kuna kupili za 150 eura.

Za 150 EUR kupili bismo 1 125 HRK .


Zadatak 13.

Ako je u mjenjačnici omjer kuna i eura HRK : EUR = 750 : 100 , izračunajte koliko bismo kuna kupili za 327 eura.

Za 327 EUR kupili bismo 2 452.50 HRK .


Zanimljivost

Kada kupujemo kune, tada prodajemo devize. Stoga na tečajnoj listi gledamo prodajni tečaj za devize. Kada prodajemo kune, a kupujemo devize, na tečajnoj listi gledamo kupovni tečaj za devize. Primijetite kako je prodajni tečaj uvijek skuplji nego kupovni!

Praktična vježba

Otvorite stranicu s aktualnom tečajnom listom HNB-a pa izračunajte sljedeće zadatke.
Pri računanju, valute zaokružite na približno dvije decimale.

  1. Koliko biste EUR -a dobili za 250 HRK -a?
  2. Koliko biste USD -a dobili za 250 HRK -a?
  3. Koliko biste HRK -a dobili za 250 EUR -a?

Razmjeri u svakodnevnom životu

Zanimljivost

Karikatura Talesa iz Mileta

Na ideju mjerenja visine objekata pomoću sjene i štapa došao je grčki matematičar i filozof Tales iz Mileta koji je živio od 624. do 547. g. prije Krista. Legenda kaže da je izmjerio visinu Keopsove piramide u Egiptu tako da je čekao da sjena štapa bude jednaka duljini štapa i onda je izmjerio sjenu piramide i tako saznao visinu piramide.

Jedan od najstarijih problema koji se rješavaju razmjerima jest mjerenje visine objekata pomoću njegove sjene. Ako u isto vrijeme istog dana mjerimo visine objekata i duljine njihovih sjena, one će biti u istom omjeru.

Primjer 3.

U videosnimci "Visina stabla" pogledajte kako rješavamo jedan takav primjer.

Zadatak 14.

Izračunajte visinu zgrade čija sjena ima duljinu 6.4 m , ako je istovremeno duljina sjene čovjeka visokog 190 cm koji uspravno stoji ispred te zgrade jednaka 80 cm .

Stavimo visine i duljine sjena u razmjer, pri čemu moramo paziti na članove omjera.

Prvi članovi omjera trebaju biti visina zgrade, odnosno čovjeka, a drugi članovi duljina sjene zgrade, odnosno duljina sjene čovjeka.

Omjer se može pojednostavniti pa je dovoljno da su u jednom omjeru iste mjerne jedinice. Ne moramo sve mjerne jedinice preračunavati u iste.

visina zgrade : duljina sjene zgrade = visina čovjeka : duljina sjene čovjeka

Ovdje je nepoznata veličina visina zgrade, stoga najprije uvrstimo poznate veličine, a umjesto visine zgrade stavimo x :

x : 6.4 = 190 : 80 .

Riješimo razmjer.

80 x = 6.4 · 190

80 x = 1 216  

x = 15.2 m .

Zgrada je visoka 15.2 m .


Zadatak 15.

Izračunajte visinu breze čija sjena ima duljinu 2.75 m , ako je istovremeno duljina sjene parkirnog stupića visokog 6 dm koji stoji pokraj te breze jednaka 33 cm .

Pazite na mjerne jedinice u omjerima.

Prvi je član omjera visina breze, odnosno stupića, a drugi član duljina sjene breze, odnosno duljina sjene stupića.

Duljina visine stupića i njegova sjena u omjeru su i trebaju biti u istoj mjernoj jedinici.

6 dm = 60 cm .

Postavimo razmjer:

visina breze : duljina sjene breze = visina stupića : duljina sjene stupića.

Ovdje je nepoznata veličina visina breze, stoga uvrstimo poznate veličine, a umjesto visine breze stavimo x :

x : 2.75 = 60 : 33 .

Riješimo razmjer.

33 x = 2.75 · 60

33 x = 165

x = 5 m .

Visina breze je 5 m .


Zadatak 16.

Na slici su prikazani djevojčica i bor sa sjenama.

Izračunajte visinu bora čija sjena ima duljinu 4 m , ako je istovremeno 80 cm dugačka sjena djevojčice visoke 120 cm koja uspravno stoji pokraj tog bora.

Bor je visok 6 m .


Povezani sadržaji

Proporcije u geografiji

Primjer 4.

Ako je najkraća udaljenost između oznaka dvaju gradova na karti 5 cm , a stvarna je udaljenost između tih dvaju gradova 80 km , u kojem je mjerilu napravljena karta?

Mjerilo neke karte piše se u obliku omjera kojemu je prvi član jednak broju 1 . Prvi član tog omjera jest udaljenost između oznaka mjesta na karti u centimetrima, a drugi član predstavlja stvarnu udaljenost između tih mjesta, također u centimetrima.

Za istu kartu vrijednost omjera koji predstavlja mjerilo i vrijednost omjera udaljenosti između nekih mjesta na karti i u stvarnosti jednake su pa ih možemo prikazati kao proporciju u kojoj će nepoznati član biti drugi član u omjeru. Označimo nepoznati član s x . Još moramo 80 km preračunati u centimetre, 80 km = 8 000 000 cm .

1 : x = 5 : 8 000 000

5 x = 8 000 000

x = 1 600 000 cm .

Karta je napravljena u mjerilu 1 : 1 600 000 .


Zadatak 17.

Karta je napravljena u mjerilu 1 : 10 000 000 . Ako je najkraća udaljenost između dvaju gradova na toj karti 4 cm , ta su dva grada u stvarnosti udaljena km .

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 18.

Karta je napravljena u mjerilu 1 : 20 000 000 . Ako je najkraća udaljenost između tih dvaju gradova u stvarnosti 1 500 km , ta su dva grada na karti udaljena   cm .

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku decimalnog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 19.

Je li točna izjava?

Ako je najkraća udaljenost između dvaju gradova na karti 3.2 cm , a ta su dva grada u stvarnosti udaljena 800 km , karta je napravljena u mjerilu 1 : 250 000 .

null
null

Zadatak 20.

Izračunajte.

Dva su grada udaljena 350 km , a njihova najkraća udaljenost na karti je 5 cm . U kojem je mjerilu napravljena karta?

Pomoć:

350 km = 35 000 000 cm , 5 : 35 000 000 = 1 : 7 000 000

 

Zanimljivost

U mnogim trgovinama koje prodaju boju postoji mogućnost računalnog miješanja boja. Kupac odabere iz široke palete boja nijansu koja mu se sviđa, prodavač upiše u stroj za miješanje boja šifru nijanse, a računalni program izračuna koliko koje boje treba pomiješati. Programer je morao povezati šifru nijanse s omjerom boja i proporcijom pomoću koje se izračuna koju količinu neke boje treba upotrijebiti za određenu količinu neke nijanse. Kupi li se premalo boje, pomoću šifre lagano se dokupi još iste nijanse.

Primjer 5.

soboslikar i kantice s bojom

Za bojenje zidova dječje sobe soboslikar mora pomiješati zelenu i žutu u omjeru 2 : 9 za određenu nijansu boje. Ako u posudu stavi 8 dL zelene, koliko mora staviti žute boje?

Omjer zelene i žute jest 2 : 9 . Soboslikar je stavio u posudu 8 dL zelene. Te podatke uvrstimo u proporciju.

2 : 9 = 8 : x

Izračunamo nepoznati član proporcije.

2 x = 72

x = 36 dL .

Žute boje treba staviti 36 dL ili 3 litre i 6 decilitara.


Proporcijama se koristimo kada znamo omjer nekih veličina, a jedna se od njih poveća ili smanji nekoliko puta pa nas zanima kolika će biti druga veličina.

Zadatak 21.

mješalica za beton

Za beton miješamo šljunak i cement u omjeru 4 : 1 i dodamo vode po potrebi. Izračunajte koliko kilograma šljunka treba nabaviti ako imamo 1.2 kg cementa.

Treba nabaviti 4.8 kg šljunka.


Zadatak 22.

Mjedena kvaka radi se od zlatne mjedi koju dobijemo slitinom bakra i cinka u omjeru 17 : 3 . Izračunajte koliko treba dodati cinka u 25.5 kg bakra ako želimo dobiti tu vrstu mjedi.

Treba dodati 4.5 kg cinka.


Zadatak 23.

kupine

Za dobar žele od kupina treba pomiješati kupine i šećer u omjeru 5 : 2 . Koliko šećera treba dodati u 3.5 kg kupina za takav žele?

Za takav žele treba dodati 1.4 kg šećera.


Zadatak 24.

krema od vanilije

Za slastičarsku kremu od vanilije treba pomiješati šećer i maslac u omjeru 10 : 3 . Ako stavimo 150 g šećera, koliko treba staviti grama maslaca?

Treba staviti 45 g maslaca.


Kutak za znatiželjne

Primjer 6.

Izračunajmo nepoznatu veličinu x iz proporcije ( x - 5 ) : 12 = 17 : 3 .

Vanjski su članovi proporcije izraz ( x — 5 ) i broj 3 , a unutarnji su članovi brojevi 12 i 17 . Pomnožimo vanjske članove i stavimo u jednakost s umnoškom unutarnjih članova.

3 · ( x - 5 ) = 12 · 17  

3 ( x - 5 ) = 204 .

Zatim riješimo linearnu jednadžbu:

3x —15 = 204  

3x = 204 + 15  

3x = 219  

x = 73 .


Zadatak 25.

Izračunajte nepoznatu veličinu x iz proporcije 5 : ( x + 6 ) = 3 : 4 .

x = 2 3


Zadatak 26.

Izračunajte nepoznatu veličinu y iz proporcije ( y - 8 ) : ( y + 4 ) = 3 : 5 .

y = 26  


Zadatak 27.

Izračunajte nepoznatu veličinu x iz razmjera 3 x : 5 = 2 : 10 .

x = 1 3


Zadatak 28.

Izračunajte nepoznatu veličinu a iz proporcije 7 : 5 = ( 2 a - 3 ) : ( 3 a + 1 ) .

a = - 2  


Zadatak 29.

Je li točna izjava?

Nepoznata veličina x iz razmjera 3 2 x - 1 : 3 = 1 + 2 3 x : 10 jest 1 .

Pomoć:

10 · 3 2 x - 1 = 3 · 1 + 2 3 x

Postupak:

15 x - 10 = 3 + 2 x

13 x = 13

x = 1  

Zadatak 30.

Izračunajte nepoznatu veličinu x iz proporcije 4.5 : 3.2 = 2.25 : 2x - 1.4 .

Pomoć:

4.5 ( 2 x - 1.4 ) = 3.2 · 2.25   ​

null

...i na kraju

Jednakost dvaju omjera zove se proporcija ili razmjer. Pomoću razmjera možemo saznati visinu nekih objekata koju ne možemo jednostavno izmjeriti. Znamo li mjerilo karte, pomoću ravnala možemo izmjeriti udaljenost između nekih mjesta na karti te izračunati njihovu stvarnu udaljenost. Kada izrađujemo neke smjese, slitine, kolače, miješamo boje ili slično i želimo sačuvati svojstva, a povećati ili smanjiti količinu jedne tvari, pomoću proporcije lako možemo izračunati potrebne količine ostalih tvari koje nam trebaju. Pomoću razmjera u banci ili mjenjačnici razmjenjujemo devize po tečajnoj listi. Proporcijom ili razmjerom stalno se koristimo u svakodnevnom životu, o čemu će biti riječi i u idućim jedinicama.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Jednakost dvaju omjera nazivamo proporcija ili razmjer.

null
null
2

U razmjeru x : y = s : t članovi x i t su članovi razmjera, a članovi y i s su članovi razmjera.

Pomoć:

Proučite jedinicu Proporcije ili razmjeri.

null
3

Proporciju a : b = c : d čitamo:

null
4
Nepoznati član proporcije 24 : x = 56 : 49 jest .

Pomoć:

56 x = 24 · 49  

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

Postupak:

56 x = 1 176

x = 1 176 : 56  

x = 21

5

Izračunajte nepoznati član proporcije 3 4 : 5 6 = 1 1 8 : x .

Pomoć:

3 4 x = 9 8 · 5 6

Postupak:

3 4 x = 15 16

x = 15 16 : 3 4

x = 1 1 4  

6

Koliko je visok telegrafski stup čija je sjena duga 1.7 m , ako je sjena štapa dugog 48 dm u to vrijeme duga 1.2 m ?

Pomoć:

x : 1.7 = 48 : 1.2

7
Karta je napravljena u mjerilu 1 : 16 000 000 . Ako je najkraća udaljenost između dvaju gradova na toj karti 2.2 cm , ta su dva grada u stvarnosti udaljena km .

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

8

Za fini džem od jagoda treba pomiješati jagode i šećer u omjeru 3 : 2 . U 7.5 kg jagoda treba dodati 4.5 kg šećera.

null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

2.3 Proporcionalne veličine