Matematika 7 - 1.3 Pravokutni koordinatni sustav s cjelobrojnim koordinatama

Otkrivamo koordinatni sustav

Zanimljivost

U matematici koordinate omogućuju povezivanje aritmetike i geometrije. Ta dva područja povezao je francuski matematičar Renè Descartes u 17. stoljeću uvođenjem koordinatnog sustava u ravnini. Legenda kaže da mu je ideja sinula kad je bolestan ležao u krevetu i dugo gledao muhu kako šeta po podu popločenom pločicama u obliku kvadrata. Dio matematike koji povezuje aritmetiku i geometriju naziva se analitička geometrija.

Pročitajte više o Renèu Descartesu.

Povezani sadržaji

Starinski pomorac gleda pomorsku kartu, šestarom nešto mjeri

Pri izradi geografskih i pomorskih karata stari su se kartografi još od davnih vremena za označavanje objekata koristili koordinatama. Pomorcima koji su te karte poslije upotrebljavali na trgovačkim putovanjima i otkrivanju novih svjetova, koordinate su služile za lakše snalaženje i čitanje karte. Samo su najbolji među njima znali čitati karte i bili su vrlo cijenjeni. Danas se koordinatama koristimo u mnogim životnim područjima, primjerice u geografiji, pomorstvu, zrakoplovstvu, navigaciji, fizici i matematici.

Pogledajte video o pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini čine dva okomita brojevna pravca. Ta dva pravca nazivamo koordinatne osi. Sjecište tih pravaca je ishodište koordinatnog sustava. Točkama pravokutnoga koordinatnog sustava u ravnini pridružujemo uređene parove.

Ishodište $O (0, 0)$ koordinatnog sustava je točka u kojoj se sijeku koordinatne osi. Horizontalnu koordinatnu os nazivamo os apscisa ili os $x$ .
Vertikalnu koordinatnu os nazivamo os ordinata ili os $y .$

Točki $T$ u pravokutnom koordinatnom sustavu pridružen je uređeni par brojeva $(x, y) .$ Prvi član uređenog para naziva se prva koordinata ili apscisa točke $T,$ a drugi član druga koordinata ili ordinata točke $T .$ Pišemo: $T (x, y) .$

Točka $T (x, y)$ nalazi se na sjecištu pravaca usporednih s koordinatnim osima.

Primjer 1.

Na papiru ucrtajmo u pravokutni koordinatni sustav točke s koordinatama $A (2, 3),$ $B (- 3, 4),$ $C (- 2, - 1),$ $D (4, - 2)$

Ucrtavanje točaka u koordinatni sustav u ravnini

Kako bismo nacrtali točku $A$ najprije potražimo broj $2$ na osi $x,$ a drugi član, broj $3$ na osi $y.$ Iz koordinate $2$ na osi $x$ povučemo crtkano okomicu gore, a iz koordinate $3$ na osi $y$ povučemo crtkano okomicu desno. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka $A .$

Za točku $B$ najprije potražimo broj $- 3$ na osi $x,$ a drugi član, broj $4$ na osi $y .$ Iz koordinate $- 3$ na osi $x$ povučemo crtkano okomicu gore, a iz koordinate $4$ na osi $y$ povučemo crtkano okomicu lijevo. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka $B .$

Crtanje točke $C$ počinjemo tako da najprije potražimo broj $- 2$ na osi $x,$ a drugi član, broj $- 1$ na osi $y .$ Iz koordinate $- 2$ na osi $x$ povučemo crtkano okomicu dolje, a iz koordinate $- 1$ na osi $y$ povučemo crtkano okomicu lijevo. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka $C .$

Za točku $D$ najprije potražimo broj $4$ na osi $x,$ a drugi član, broj $- 2$ na osi $y .$ Iz koordinate $4$ na osi $x$ povučemo crtkano okomicu dolje, a iz koordinate $- 2$ na osi $y$ povučemo crtkano okomicu desno. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka $D .$

Zadatak 1.

Ucrtajte točke $A (- 3, - 2),$ $B (0, 4),$ $C (2, - 5),$ $D (- 4, 1)$ u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Točku $T (x, y)$ ucrtavamo u pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da na osi $x$ nađemo prvu koordinatu točke $T$ i iz nje povučemo okomicu na os $x,$ zatim na osi $y$ nađemo drugu koordinatu točke $T$ i iz nje povučemo okomicu na os $y .$ U sjecištu tih okomica nalazi se točka $T .$

Zadatak 2.

Ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke s koordinatama $K (- 2, 5),$ $L (3, 1),$ $M (- 3, - 3),$ $N (4, 2) .$ Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Ucrtavanje točaka u pravokutni koordinatni sustav

Zadatak 3.

Smjestite točke $A (- 3, 1),$ $B (5, - 2),$ $C (3, 6),$ $D (- 1, - 4)$ na odgovarajuće mjesto u pravokutnome koordinatnom sustavu.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Kvadranti

Koordinatne osi dijele ravninu na četiri jednaka dijela koje nazivamo kvadranti. Kvadrante označavamo rimskim brojevima I., II., III. i IV. u smjeru suprotnom od smjera kazaljki sata.

Pogledajte sliku i uočite kakve predznake imaju koordinate točaka ovisno o kvadrantu u kojem se nalaze.

U prvom su kvadrantu smještene točke kojima su obje koordinate pozitivni brojevi. U drugom su kvadrantu smještene točke kojima je apscisa negativni, a ordinata pozitivni broj. U trećem su kvadrantu smještene točke kojima su obje koordinate negativni brojevi. U četvrtom su kvadrantu smještene točke kojima je apscisa pozitivan, a ordinata negativan broj.

Slika pravokutnog koordinatnog sustava podijeljena na 4 kvadranta i na njoj označeni predznaci koordinata točaka u pojedinom kvadrantu

Zadatak 4.

Označite točne odgovore.

Točka $(- 3, 2)$ pripada I. kvadrantu.

Da
Razmislite ponovno.

Ne
Pripada II. kvadrantu.

null

null
Točka $(- 3, - 4)$ pripada III. kvadrantu.

Da
Točno.

Ne
Razmislite ponovno.

null

null
Točka $(2, 6)$ pripada I. kvadrantu.

Da
Točno!

Ne
Razmislite ponovno.

null

null
Točka $(11, - 7)$ pripada III. kvadrantu.

Da
Razmislite ponovno.

Ne
Pripada IV. kvadrantu .

null

null

Primjer 2.

Ucrtajmo točke $O (0, 0),$ $A (5, 0),$ $B (0, - 3)$ u pravokutni koordinatni sustav.

Sjetimo se da se točka $O (0, 0),$ koja se nalazi na sjecištu koordinatnih osi, naziva ishodište koordinatnog sustava. Točku $A$ ucrtamo $5$ jediničnih duljina desno od $O$ na osi $x$ jer joj je druga koordinata nula, a točku $B$ $3$ jedinične duljine dolje od $O$ na osi $y$ jer joj je prva koordinata nula. Točka $A$ nalazi se na osi $x,$ a točka $B$ na osi $y .$

Kako prepoznajemo točke koje se nalaze na osi $x ?$ A kako točke koje su na osi $y ?$

Točke koje se nalaze na osi $x$ imaju ordinatu $0,$ a točke koje su na osi $y$ imaju apscisu $0 .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 5.

Na papir ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke $A (3, 0),$ $B (- 3, 1),$ $C (0, 5),$ $D (4, - 2)$ pa napišite u kojem su kvadrantu ili na kojoj osi smještene.

Zadatak 6.

Svrstajte točke u odgovarajući kvadrant ili na koordinatnu os.

$(2, 19)$
$(13, - 7)$
$(0, 1)$
$(- 45, - 1)$
$(- 3, 0)$
$(- 4, 15)$

Pomoć:

Nacrtajte na papir koordinatni sustav, kako biste lakše pronašli rješenje.

null

Zatvori

Očitavanje koordinata

Primjer 3.

Očitajmo koordinate točaka na slici.

Točka $A$ je $3$ jedinične duljine lijevo i $2$ jedinične duljine gore od ishodišta, točka $B$ je $4$ jedinične duljine desno i $1$ jediničnu duljinu dolje od ishodišta, točka $C$ je $3$ jedinične duljine lijevo i $2$ jedinične duljine dolje, točka $D$ je $4$ jedinične duljine gore na osi $y,$ a točka $E$ je $3$ jedinične duljine dolje na osi $y .$

$A (- 3, 2),$ $B (4, - 1),$ $C (- 3, - 2),$ $D (0, 4),$ $E (0, - 3)$

Prvu koordinatu točke čitamo na horizontalnoj osi (osi apscisa), a drugu koordinatu na vertikalnoj osi (osi ordinata).

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Očitajte koordinate točaka sa slike.