Matematika 7 - Aktivnosti za samostalno učenje

Riješite, provjerite i podijelite

Za uvježbavanje postavljanja i rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice predlažemo nekoliko zadataka koje možete samostalno riješiti u bilježnicu ili u nekom interaktivnom elementu. Posljednjih nekoliko zadataka je za one koji žele znati više, ali svi ih možete pokušati riješiti. Nakon što riješite zadatke, usporedite svoje rješenje s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili zamolite da vam pomognu ako vam je neki zadatak težak.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Provjerite je li uređeni par $(4, 5)$ rješenje sustava

$\begin{array}{l} - 2 x + 5 y = 17 \\ 8 x + 2 y = 42 \end{array}$

Uređeni par $(4, 5)$ je rješenje sustava ako ga uvrstimo u jednadžbe i dobijemo točnu jednakost za obje jednadžbe.

$\begin{array}{l} - 2 x + 5 y = 17 \\ - 2 \cdot 4 + 5 \cdot 5 = 17 \\ - 8 + 25 = 17 \\ 17 = 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} 8 x + 2 y = 42 \\ 8 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 42 \\ 32 + 10 = 42 \\ 42 = 42 \end{array}$

Uređeni par $(4, 5)$ je rješenje sustava.

Zadatak 2.

Provjerite je li uređeni par $(- 2, 7)$ rješenje sustava

$\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 11 \\ 9 x + 6 y = 23 \end{array}$

Uređeni par $(- 2, 7)$ rješenje sustava.

Pomoć:

Uređeni par je rješenje sustava ako je rješenje obiju jednadžbi.

null

Zadatak 3.

Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 11 \\ x + 2 y = - 19 \end{array}$

Iz druge linearne jednadžbe izrazimo nepoznanicu $x :$

$x = - 2 y - 19$

Dobiveni izraz uvrstimo u prvu jednadžbu:

$\begin{array}{l} 2 \cdot (- 2 y - 19) - 3 y = 11 \\ - 4 y - 38 - 3 y = 11 \\ - 4 y - 3 y = 38 + 11 \\ - 7 y = 49 / : (- 7) \\ y = - 7 \end{array}$

Dobivenu vrijednost nepoznanice $y$ uvrstimo u $x = - 2 y - 19 .$

$\begin{array}{l} x = - 2 \cdot (- 7) - 19 \\ x = 14 - 19 \\ x = - 5 \end{array}$

Rješenje je uređeni par $(- 5, - 7) .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Metodom suprotnih koeficijenata riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} 2 x + 6 y = - 24 \\ 7 x - 6 y = 51 \end{array}$

Uočimo suprotne koeficijente uz nepoznanice $y :$

$\begin{array}{l} 2 x + 6 y = - 24 \\ \underline{7 x - 6 y = 51} \end{array}\} +$

$9 x = 27$

$x = 3$

Uvrstimo $x$ u prvu jednadžbu:

$\begin{array}{l} 2 x + 6 y = - 24 \\ 2 \cdot 3 + 6 y = - 24 \\ 6 + 6 y = - 24 \\ 6 y = - 24 - 6 \\ 6 y = - 30 / : 6 \\ y = - 5 \end{array}$

Rješenje sustava je uređeni par $(3, - 5) .$

Zadatak 5.

Na slici je prikazana četverokrevetna soba. Zidovi su narančasti, a kreveti bijeli. Dva kreveta su kreveti na kat.

$162$ učenika Osnovne škole Smiljane išla su na izlet u Zagreb. Smješteni su u $46$ trokrevetnih i četverokrevetnih soba. Dječaci su smješteni u četverokrevetne, a djevojčice u trokrevetne sobe. Zapišite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice s pomoću kojih možemo saznati koliko je učenika, a koliko učenica na izletu u Zagrebu.

Odaberite točan odgovor.

\begin{array}{l} x + y = 162 \\ 4 x + 3 y = 46 \end{array}

Pažljivo pročitajte zadatak.

\begin{array}{l} x + y = 162 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 46 \end{array}

\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 162 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 46 \end{array}

Pažljivo pročitajte zadatak.

Pomoć:

Označimo s $x$ broj učenika, a s $y$ broj učenica. Njihov zbroj je $162 .$

Učenike treba podijeliti u četverokrevetne sobe i tome pribrojiti učenice podijeljene u trokrevetne sobe. Kad zbrojimo broj soba u kojima su učenici s brojem soba u kojima su učenice, dobijemo ukupan broj soba.

Zadatak 6.

Melita i Andreja zajedno imaju $62$ godine. Melita je četiri godine starija od Andreje. Koliko je godina Meliti, a koliko Andreji?

Označimo s $x$ broj Melitinih godina, a s $y$ broj Andrejinih godina. Kad podatke zapišemo u obliku sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, vidimo da je:

$\begin{array}{l} x + y = 62 \\ x = y + 4 \end{array}$

Pri rješavanju sustava metodom supstitucije, uvrstimo izraz za nepoznanicu $x$ iz druge jednadžbe u prvu i dobijemo

$\begin{array}{l} y + 4 + y = 62 \\ 2 y + 4 = 62 \\ 2 y = 62 - 4 \\ 2 y = 58 / : 2 \\ y = 29 \end{array}$

Uvrstimo $y$ u drugu jednadžbu i dobijemo vrijednost nepoznanice $x .$

$\begin{array}{l} x = 29 + 4 \\ x = 33 \end{array}$

Meliti su $33$ godine, a Andreji $29$ godina.

Zatvori

Projekt

Na slici je prikazan QR kod. On je u bijeloj i crnoj boji.

Osmislite nekoliko problemskih zadataka. Pretvorite ih u QR kodove. To možete učiniti vrlo jednostavno kopirajući svoje zadatke u prazno polje na ovoj stranici, a preuzeti ih na svoje računalo klikom na gumb Download. Ispišite QR kodove i rasporedite ih po učionici, školskom hodniku, školskom igralištu ili na nekom drugom prostoru. Pronađite jednu od besplatnih aplikacija za čitanje QR kodova i preuzmite je na mobitele. Podijelite se u skupine tako da u svakoj skupini bude jedan mobitel ili tablet s čitačem QR kodova. Organizirajte natjecanje u kojem će učenici tražiti QR kodove koje je sakrila nastavnica ili protivnička skupina. Nagradite skupinu koja je najbrže pronašla i riješila sve zadatke.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Na jednom natjecanju bilo je $30$ zadataka. Za svaki točan odgovor dobivalo se $5$ bodova, a za svaki netočan odgovor gubila su se $3$ boda. Ana je osvojila $94$ boda.

Koliko je zadataka Ana riješila točno, a koliko netočno, ako je riješila sve zadatke?

Ana je na ispitu točno riješila

Unesite cjelobrojno rješenje na za to predviđeno mjesto.

zadatka, a netočno

Unesite cjelobrojno rješenje na za to predviđeno mjesto.

zadataka.

Pomoć:

$\begin{array}{l} x + y = 30 \\ 5 x - 3 y = 94 \end{array}$

null

Zadatak 8.

Opseg pravokutnika je $60 cm .$ Ako duljinu jedne stranice pravokutnika povećamo za $5 cm,$ a duljinu druge stranice smanjimo za $3 cm,$ pravokutnik će postati kvadrat. Kolike su početne stranice pravokutnika?

Skica pravokutnika i kvadrata. Na njima su prikazani podaci iz zadatka. — Skica

Označimo s $x$ i $y$ duljine stranica pravokutnika.

Iz formule za opseg vrijedi:

$2 \cdot (x + y) = 60$

Ako duljinu jedne stranice povećamo za $5 cm,$ a drugu smanjimo za $3 cm,$ pravokutnik postaje kvadrat, odnosno duljine stranica bit će mu jednake. Zapišemo li to jednadžbom, dobijemo:

$x + 5 = y - 3$

Zapišimo te dvije jednadžbe u sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i riješimo sustav:

$\begin{array}{l} 2 \cdot (x + y) = 60 / : 2 \\ \underline{x + 5 = y - 3} \\ x + y = 30 \\ \underline{x - y = - 3 - 5} \\ x + y = 30 \\ \underline{x - y = - 8 +} \\ 2 x = 22 / : 2 \\ x = 11 \end{array}$

Uvrstimo dobiveni $x$ u jednu od jednadžbi:

$\begin{array}{l} x + y = 30 \\ 11 + y = 30 \\ y = 30 - 11 \\ y = 19 \end{array}$

Duljine stranica pravokutnika su $11 cm$ i $19 cm .$

Zadatak 9.

Pomičući elemente mišem i spajajući sustave s rješenjima, složite tangram. Elemente možete i rotirati mišem, pomičući točku označenu na svakom elementu.

Zatvori

Primjer 1.

Riješimo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice

$\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{array}$

uz uvjet da su $x \neq 0$ i $y \neq 0 .$

Ovaj sustav jednadžbi nije jednostavno riješiti uobičajenim metodama. Da bismo pojednostavnili ovaj sustav, jednadžbi uvodimo nove nepoznanice $a$ i $b,$ takve da je $a = \frac{1}{x}$ i $b = \frac{1}{y} .$

Sada riješimo pomoćni sustav

$\begin{array}{l} a + b = \frac{5}{6} \\ a - b = \frac{1}{6} \end{array}$

s nepoznanicama $a$ i $b$ bilo kojom metodom.

$\begin{array}{l} a + b = \frac{5}{6} \\ a - b = \frac{1}{6} \end{array}\} +$

$2 a = 1 / : 2$

$a = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} + b = \frac{5}{6}$

$b = \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

Kako je $a = \frac{1}{x}$ i $b = \frac{1}{y},$ uvrstimo dobivena rješenja za $a$ i $b$ i dobijemo

$\frac{1}{2} = \frac{1}{x} \Rightarrow x = 2$

$\frac{1}{3} = \frac{1}{y} \Rightarrow y = 3$

Rješenje sustava je uređeni par $(2, 3) .$

Zadatak 10.

Provjerimo je li uređeni par $(2, 3)$ rješenje sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice: $\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{array}$

Uvrstimo vrijednosti nepoznanica $x$ i $y$ u prvu jednadžbu.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \\ \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} \\ \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \end{array}$

Zatim uvrstimo te vrijednosti u drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \\ \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{array}$

Uređeni par je rješenje sustava.

Ovakav način rješavanja sustava dviju jednadžbi nazivamo metodom uvođenja nove nepoznanice. Ako uočimo pravilnost u obje jednadžbe, na taj način možemo pojednostavniti rješavanje sustava.

Zadatak 11.

Riješite sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l} \frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 1 \\ \frac{6}{x} + \frac{5}{y} = 4 \end{array}$

uz uvjet da su $x \neq 0$ i $y \neq 0 .$ Dobiveno rješenje provjerite.

Prisjetimo se da je

$\frac{4}{x} = 4 \cdot \frac{1}{x},$ $\frac{5}{y} = 5 \cdot \frac{1}{y}$ i $\frac{6}{x} = 6 \cdot \frac{1}{x}$

Pojednostavnimo rješavanje sustava tako da uvedemo nove nepoznanice:

$a = \frac{1}{x}$ i $b = \frac{1}{y} .$

Dobijemo pomoćni sustav

$\begin{array}{l} 4 a - 5 b = 1 \\ 6 a + 5 b = 4 \end{array}$

koji možemo riješiti bilo kojom metodom.

Rješenje pomoćnog sustava je $a = \frac{1}{2}$ i $b = \frac{1}{5} .$

Iz toga slijedi $x = 2$ i $y = 5,$ odnosno rješenje početnog sustava je uređeni par $(2, 5) .$

Za provjeru, uvrstimo vrijednosti nepoznanica najprije u prvu jednadžbu, pa u drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l} \frac{4}{2} - \frac{5}{5} = 1 \\ 1 = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{6}{2} + \frac{5}{5} = 4 \\ 4 = 4 \end{array}$

Uređeni par je rješenje sustava.

Zanimljivost

Zadaci sa sustavima dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice često se pojavljuju na Državnoj maturi pa predlažemo da pogledate i sljedeće zadatke:

Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Riješite, provjerite i podijelite

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Projekt

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zanimljivost

...i na kraju