x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Korak po korak, došli smo do cilja. Odradili smo sve ono što bismo, za sada, trebali znati o mnogokutima i njihovim elementima, o računanju njihova opsega i površine, o crtanju i konstruiranju pravilnih mnogokuta i naposljetku, o životnim situacijama u kojima možemo primijeniti sve to znanje.

    Prije nego li se upustite u samostalno učenje i utvrđivanje znanja, zadržite pogled na ovoj slici i ispričajte o njoj barem desetak rečenica. Opišite elemente slike, što je više moguće, matematičkim rječnikom.

    Slika prikazuje kolaž, crteže mnogokuta

    Pri opisivanju slike predlažemo da iskoristite sve ili samo neke od pojmova: trokut, pravokutnik, četverokut, peterokut, konveksni mnogokut, nekonveksni mnogokut, zbroj veličina kutova, dijagonala, susjedni kutovi, vršni kutovi, prekrivanje površine, opseg...


    Riješite, provjerite, podijelite

    Kako biste što uspješnije usvojili znanja o mnogokutima, predlažemo vam nekoliko zadataka koje možete samostalno riješiti u bilježnicu ili u nekoj aplikaciji za dinamičnu geometriju, poput GeoGebre. Posljednji zadaci predviđeni su za one koji žele znati više i spremni su na složenije matematičke izazove, ali to ne znači da ih svi ne možete barem pokušati riješiti. Nakon što riješite zadatke, usporedite svoja rješenja s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili ih zamolite da oni svoje znanje podijele s vama i pomognu vam pri rješavanju onih zadataka koji su vam bili zahtjevniji.

    Zadatak 1.

    Pridružite oznaci odgovarajući opis.

    d n  
    zbroj unutarnjih kutova
    n  
    broj vrhova
    D n   ​
    ukupni broj dijagonala
    K n   ​
    broj dijagonala iz jednog vrha

    Pomoć:

    Potražite pomoć u jedinici Osnovno o mnogokutima.

    null

    Zadatak 2.

    Broj vrhova nekog mnogokuta uvijek je broj dijagonala iz jednog vrha tog mnogokuta.

    Pomoć:

    d n = n - 3   ​

    null

    Zadatak 3.

    1. Kako se zove n -terokut koji ima trinaest stranica?

      Pomoć:

      Broj stranica jednak je broju kutova.

      Postupak:

      Trinaesterokut

    2. Kako zovemo stranice mnogokuta koje imaju zajedničku onu točku koja je vrh mnogokuta?

    3. Dopunite sljedeće rečenice.
      Ukupan broj dijagonala n -terokuta računamo kao 

       
       .

      Veličinu unutarnjeg kuta pravilnog n -terokuta računamo kao 
       
       .

      Zbroj veličina svih unutarnjih kutova n -terokuta računamo kao:
       
       .

      D n = n · n - 3 2
      α n = n - 2 · 180 ° n
      K n = n - 2 · 180 °

    Zadatak 4.

    Skicirajte mnogokut koji ima jedanaest unutarnjih kutova i dopunite sljedeće rečenice.
    Iz jednog vrha zadanog mnogokuta može se nacrtati najviše dijagonala, a ukupno čak dijagonale. Zbroj veličina svih njegovih unutarnjih kutova iznosi ° .

    Pomoć:

    Pokušajte se prisjetiti kako se izračunava broj dijagonala iz jednog vrha, ukupni broj dijagonala i zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta.

    Postupak:

    d = n - 3 = 11 - 3 = 8

    D n = n · n - 3 2 = 44

    K n = n - 2 · 180 ° = 1620 °

    Zadatak 5.

    Spojite odgovarajuće parove (tako da element za povlačenje dovedete u donji desni kut odgovarajućeg pravokutnika u boji).

    Slika sadrži opise: zbroj veličina unutarnjih kutova, zbroj veličina svih vanjskih kutova, zbroj veličina unutarnjeg i pripadnog mu vanjskog kuta.

    n - 2 · 180 °  

    360 °  

    180 °  

    Pomoć:

    Od navedenih, samo zbroj veličina unutarnjih kutova ovisi o broju stranica mnogokuta.

    null

    Zadatak 6.

     Središnji kut pravilnoga osmerokuta ima veličinu ° , a veličina njegova unutarnjega kuta iznosi ° .

    Pomoć:

    Središnji kut pravilnog osmerokuta je osmina punoga kuta. Veličina unutarnjeg kuta je osmina zbroja veličina svih unutarnjih kutova osmerokuta.

    Postupak:

    β 8 = 360 ° 8 = 45 °  

    Zadatak 7.

    Konstruirajte kvadrat koji je upisan u kružnicu polumjera ​ 3.5 cm .

    Koraci konstrukcije prikazani su u sljedećoj interakciji.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Zadatak 8.

    Konstruirajte pravilni osmerokut kojemu je opisana kružnica duljine polumjera 3.5 cm . Možete, ako želite, konstrukciju izvesti koristeći se kvadratom konstruiranim u prethodnom zadatku.

    Koraci konstrukcije prikazani su u sljedećoj interakciji.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Zadatak 9.

    Konstruirajte pravilni šesterokut kojemu je opisana kružnica polumjera ​ 3 cm .

    Koraci konstrukcije prikazani su u sljedećoj interakciji.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Zadatak 10.

    Konstruirajte jednakostranični trokut koji je upisan u kružnicu promjera 5 cm .

    Slika prikazuje jednakostraničan trokut upisan u kružnicu

    Da bismo konstruirali traženi trokut, potrebno je najprije zadanome promjeru, konstrukcijom simetrale dužine, konstruirati polovište koje će biti središte S tražene kružnice. Dalje pratimo korake konstrukcije pravilnog šesterokuta (prethodni zadatak) do posljednjeg koraka. Vrhovi A , C i E ili B , D i F su vrhovi jednakostraničnog trokuta.


    Zadatak 11.

    Ako površina karakterističnog trokuta pravilnog dvanaesterokuta iznosi 4.9 cm 2 , kolika je površina tog mnogokuta?

    Pomoć:

    Pravilni dvanaesterokut sastoji se od dvanaest sukladnih karakterističnih trokuta.

    Postupak:

    P = 12 · 4.9 cm 2 = 58.8 cm 2

    Zadatak 12.

    Ako opseg pravilnog mnogokuta iznosi 37.8 cm , a duljina jedne njegove stranice je 4.2 cm , izračunajte veličinu pripadnog unutarnjeg kuta.

    Osmislite plan rješavanja, a zatim provjerite točnost rješavajući zadatak a).

    1. Odredite točan redoslijed radnji kako biste izračunali traženu veličinu kuta.

      • Izračunajmo veličinu kuta uz osnovicu.
      • Izračunajmo veličinu središnjeg kuta.
      • Izračunajmo broj stranica pravilnog mnogokuta.

      Pomoć:

      Osim na ovaj način, do rješenja se može doći i izračunavanjem zbroja veličina svih unutarnjih kutova pa dijeljenjem s brojem kutova.

    2. Zadani pravilni mnogokut ima stranica.

      Pomoć:

      Traženi mnogokut je deveterokut jer je n = o p s e g   m n o g o k u t a d u l j i n a   s t r a n i c e .

      Slika prikazuje karaktrističan trokut sa poznatom veličinom središnjek kuta


    3. Istaknutim kutovima karakterističnog trokuta pravilnog deveterokuta pridruži odgovarajuće veličine kutova.

      Slika prikazuje tri karakteristična trokuta pravilnog deveterokuta na kojima su istaknuti kutovi nepoznatih veličina.

      140 °

      40 °

      70 °

      Pomoć:

      Središnji kut pravilnog deveterokuta je devetina punoga kuta, tj. β 9 = 40 °  

      Postupak:

      α 9 = K 9 9 = 140 °

    Zadatak 13.

    Nacrtajte pravilni deveterokut čija stranica ima duljinu 25 mm .

    Koraci su prikazani u sljedećoj interakciji.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Zadatak 14.

    Slika prikazuje mnogokut u kvadratnoj mreži.

     Izračunajte površinu mnogokuta sa slike na barem dva načina.

    Slike prikazuju isti mnogokut kome na dva načina računamo površinu (podjela na poznate likove ili dopuna do pravokutnika)

    Na primjer:

    Dva su osnovna načina na koje možemo odrediti površinu zadanoga lika. Prvi, rastavljanjem zadanog mnogokuta na geometrijske likove čiju površinu znamo izračunati, i drugi, dopuniti zadani lik do pravokutnika kojemu možemo izračunati površinu te oduzeti površine koje su suvišne.


    Zadatak 15.

    Koliko dijagonala iz jednog vrha ima mnogokut kojemu zbroj veličina svih unutarnjih kutova iznosi 3 420 ° ?

    Pomoć:

    Podijelimo li K n sa 180 ° , dobit ćemo broj trokuta nastalih crtanjem dijagonala iz jednog vrha mnogokuta, što je za dva manji broj od broja vrhova mnogokuta. Prisjetite se povezanosti broja vrhova i broja dijagonala iz jednog vrha mnogokuta.

    Postupak:

    n - 2 = 19  

    n = 21  
    d 21 = 18

    Zadatak 16.

    Mnogokut kojemu se može nacrtati ukupno 275 dijagonala ima vrhova.

    Pomoć:

    Iz n · n - 3 2 = 275 slijedi da je n · n - 3 = 550 . Sada je potrebno pronaći brojeve čiji je umnožak 550 , a jedan od njih je za tri veći od drugoga.

     

    Kutak za znatiželjne

    Zadatak 17.

    Ako se nekom mnogokutu broj stranica poveća za četiri, zbroj veličina njegovih unutarnjih kutova će se utrostručiti. Koji je to mnogokut?

    Zadatak 18.

    Postoji li peterokut koji ima četiri prava kuta? Kako biste obrazložili svoj odgovor?

    Pomoć:

    Izračunajte zbroj veličina unutarnjih kutova peterokuta i usporedite ga s poznatim podacima o zadanom liku.

    Postupak:

    Ako je K 5 = 3 · 180 ° = 540 ° , a četiri prava kuta zajedno iznose 360 ° , preostali kut mora imati veličinu ispruženog kuta, što nije moguće.

    Zadatak 19.

    Slika prikazuje mnogokut u kvadratnoj mreži

    Odredite izraze za opseg i površinu lika sa slike.

    Prebrojimo dužine duljine 3 a  kojima je omeđen zadani lik. Ima 32 takve dužine pa opseg lika možemo izraziti kao O = 32 · 3 a = 96 a .

    Da bismo izrazili površinu, treba prebrojiti kvadratiće - ima ih 27 . Budući da jedan kvadratić ima površinu P 1 = 3 a · 3 a = 9 · a · a , ukupna će površina biti P = 27 · 9 · a · a = 243 · a · a .


    Zadatak 20.

    Slika prikazuje hol sa stolom u obliku osmerokuta.

    U predvorju jedne osječke škole stolovi su složeni u obliku "vijenca" pravilnog osmerokuta, kako prikazuje fotografija. Vijenac čini osam jednakih stolova oblika jednakokračnog trapeza. Usporedne rubove stola, čije su dimenzije ​ 1.6 m  i 96 cm , trebalo bi zaštititi posebnom ljepljivom trakom.

    1. Koliko je trake potrebno kupiti ako se u predvorju nalaze tri "vijenca" stolova?

      Pomoć:

      Količina potrebne trake predstavlja unutarnji i vanjski opseg pravilnog osmerokuta. Ne zaboravite prije računanja uskladiti mjerne jedinice. Nakon što izračunate količinu trake potrebne za jedan "vijenac" stolova, ne zaboravite da su u predvorju tri vijenca.

      Postupak:

      Traku treba lijepiti na rub velikog pravilnog osmerokuta ( O v = 1.6 m · 8 = 12.8 m ) te na rub manjeg pravilnog osmerokuta ( O m = 0.96 m · 8 = 7.68 m ). Ukupno je to 20.48 m  trake za jedan vijenac. Kako biste mogli zapisati račun, želite li primijeniti distributivnost?
      Slika prikazuje koncentrične pravilne osmerokute
    2. Ako jedno pakiranje trake sadrži ​ 25 m , potrebno je kupiti pakiranja.

       

      Postupak:

      Budući da je 25 m · 2 = 50 m , to je premalo, a 25 m · 3 = 75 m bit će dovoljno. Dakle, potrebna su tri pakiranja trake.

    Zadatak 21.

    Pokušajte konstruirati kvadrat i pravilni osmerokut upisan u kružnicu uz pomoć GeoGebre.

    Zanimljivost

    Slika prikazuje  crtež, mnoštvo formula u kojima se javlja kvadrat broja

    Prisjetimo se, za računanje površina pišemo kvadratne mjerne jedinice, npr.

    2 m · 2 m = 4 m 2 , 3 cm · 2 cm = 6 cm 2 ili 1 km · 1 km = 1 km 2 .

    Slično, pri množenju općih brojeva, možemo se koristiti kraćim zapisom, npr. a · a = a 2 (čitamo: a na kvadrat) ili r · r = r 2 (čitamo: er na kvadrat).

    O tim ćete zapisima više učiti u osmom razredu.

    Projekt

    Odaberite jednu prostoriju u svojem domu koju biste željeli renovirati. Odaberite materijale potrebne za obnovu, napravite izračun količine i približan trošak. Ne zaboravite u trošak uračunati i cijenu rada.

    Predlažemo da, radi preglednosti, bilješke vodite u tablici.

    Pokušajte tablicu kreirati u Excelu.

    ...i na kraju

    Na završetku ovog modula, nakon mnogo zadataka koje ste riješili i puno znanja koje ste usvojili, predlažemo da zaigrate igricu i provjerite koliko ste brzi i uspješni u prepoznavanju svojstava mnogokuta.