Matematika 7 - 10.2 Određivanje vrijednosti i argumenta linearne funkcije

Na početku...

Slika prikazuje rukopisom ispisane razne funkcije

Na početku ćemo, kroz kratki kviz, ponoviti značenja osnovnih pojmova povezanih s linearnom funkcijom kako bismo bez poteškoća mogli usvajati nova znanja.

U zapisu formule linearne funkcije $f (x) = a x + b$ argument glasi:

$f (x)$

$x$

$a$

$b$

null

Formuli funkcije pridružite odgovarajuće koeficijente.

$f (x) = 2 - 2 x$	$a = 1,$ $b = - 1$
$f (x) = - x + 1$	$a = - 1,$ $b = 1$
$f (x) = 2 x - 2$	$a = 2,$ $b = - 2$
$f (x) = x - 1$	$a = - 2,$ $b = 2$

Pomoć:

Koeficijent $a$ prepoznat ćete po tome što množi argument $x .$

null

Dopunite rečenicu povlačenjem odgovarajućeg pojma na crtu.

Linearna funkcija kazuje da ćemo

funkcije dobiti tako da

pomnožimo koeficijentom

i dobivenom umnošku pribrojimo koeficijent

.

argument

vrijednost

b

a

null
Vrijednost broja $x$ možemo uzeti po volji pa kažemo da je argument veličina.

null

null
Vrijednost funkcije potpuno je određena vrijednošću argumenta i zadanim pravilom pridruživanja.

Da

Ne

null

null

Određivanje vrijednosti linearne funkcije

Primjer 1.

Odredite vrijednost linearne funkcije $f (x) = - 2 x + 3$ za argument $5 .$

U zadanu formulu linearne funkcije uvrstimo vrijednost argumenta, odnosno, umjesto $x$ pišemo $5 .$

$f (x) = - 2 x + 3$

$f (5) = - 2 \cdot 5 + 3 = - 10 + 3 = - 7$

Dakle, vrijednost zadane funkcije za argument $5$ iznosi $- 7 .$

Možemo reći i na sljedeći način: zadana funkcija broju $5$ pridružuje broj $- 7 .$

Argument linearne funkcije i njezini koeficijenti ne moraju uvijek biti cijeli brojevi.

U tom slučaju zadatak rješavamo na isti način, ali moramo biti pažljivi pri računanju s razlomcima ili decimalnim brojevima.

Zadatak 1.

Linearna funkcija zadana je formulom $f (x) = 4 x - 5 .$ Dopunite tablicu tako da za zadane argumente izračunate vrijednost funkcije.

Zadatak 2.

Zadana je funkcija $f (x) = \frac{4}{5} x + 3 .$ Izračunajte vrijednosti funkcije za argumente $0,$ $5$ i $- 2 .$

Funkcija ima najmanju vrijednost za argument .

Pomoć:

Zapis rješenja potrebno je napisati u obliku broja.

null
Dopišite vrijednost funkcije za zadani argument. Ako je rješenje razlomak, zapišite ga u obliku neskrativog razlomka, a umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku $/ .$
$f (- 2) =$

null

Zatvori

Zadatak 3.

Zadana je linearna funkcija $f (x) = - 3 x + 5 .$ Izračunajte vrijednost funkcije za svaki od argumenata $- 2,$ $0$ i $3$ pa izračunajte njihov zbroj.

Zbroj dobivenih vrijednosti iznosi:

30

0

12

null

Zadatak 4.

Zadana je funkcija $f (x) = - \frac{1}{4} x + 0.5 .$ Spojite odgovarajuće parove tako da vrijedi jednakost.

$f (2) =$	$\frac{1}{2}$
$f (0) =$	$0$
$f (1) =$	$\frac{1}{4}$

Pomoć:

Umjesto $x$ uvrstite zadani broj te izračunajte vrijednost funkcije.

null

Zatvori

Određivanje vrijednosti argumenta linearne funkcije

Primjer 2.

Za koju vrijednost argumenta $x$ linearna funkcija $f (x) = - \frac{2}{7} x + 5$ poprima vrijednost $1 ?$

Zadana je vrijednost funkcije, a traži se vrijednost argumenta, tj. $x = ?$

Ako funkcija poprima vrijednost $1,$ znači da njezina vrijednost jest $1 .$ Zapišimo to.

$f (x) = - \frac{2}{7} x + 5 = 1$

Riješimo jednadžbu.

$- \frac{2}{7} x + 5 = 1 / - 5$

$- \frac{2}{7} x = - 4 / \cdot 7$

$- 2 x = - 28 / : (- 2)$

$x = 14$

Dakle, $f (14) = 1 .$

Zadatak 5.

Linearna funkcija zadana je formulom $f (x) = 2 x - 1 .$ Dopunite tablicu tako da izračunate nepoznate argumente. Razlomak zapišite u obliku neskrativog razlomka, a umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku $/ .$

Zadatak 6.

Izračunajte vrijednost argumenta ako je zadano pravilo pridruživanja i vrijednost funkcije.

Uputa: ako je rješenje razlomak, umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku $/$ , a ako je rješenje negativan broj između predznaka i prve znamenke ne smije biti razmak.

Zatvori

Funkcija zadana tablicom

Osim formulom, funkcija može biti zadana i tablicom.

Primjer 3.

Linearna funkcija zadana je tablicom. Napišimo formulu zadane linearne funkcije.

$x$ $- 1$ $0$ $1$ $2$

$y = f (x)$ $5$ $3$ $1$ $- 1$

Da bismo mogli zapisati formulu linearne funkcije, moramo saznati vrijednosti koeficijenata $a$ i $b .$ Odaberimo dva uređena para $(x, y)$ i uvrstimo ih u formulu linearne funkcije.

Parove možemo odabrati po volji, a najjednostavnije je odabrati onaj kojemu je jedna od vrijednosti $0 .$

$\begin{array}{l} (0, 3) \to x = 0, y = 3 \\ (1, 1) \to x = 1, y = 1 \end{array}$

Uvrstimo svaki par brojeva u $f (x) = a x + b$ i riješimo sustav jednadžbi s nepoznanicama $a$ i $b .$

$\underline{\begin{array}{l} 3 = a \cdot 0 + b \\ 1 = a \cdot 1 + b \end{array}}$

$\underline{\begin{array}{l} 3 = b \\ 1 = a + b \end{array}}$

$\begin{array}{l} b = 3 \\ a + 3 = 1 \Rightarrow \end{array}$

$a = - 2$

Sada možemo zapisati formulu linearne funkcije na dva načina:

$f (x) = - 2 x + 3$ ili $y = - 2 x + 3$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 10.

Odredite redoslijed radnji koje je potrebno učiniti želimo li iz funkcije zadane tablicom odrediti formulu linearne funkcije.

- zapisati formulu funkcije tako da uvrstimo izračunate koeficijente
- uvrstiti svaki par brojeva u $y = a x + b$
- odabrati iz tablice dva para brojeva $(x, y)$
- riješiti sustav jednadžbi s nepoznanicama $a$ i $b$

Pomoć:

Proučite još jedanput rješenje prethodnog primjera.

null

Zadatak 11.

Izračunajte koeficijente linearne funkcije koja je zadana tablicom.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = f (x)$	$4$	$- \frac{9}{2}$	$5$	$\frac{11}{2}$	$6$

Koeficijenti zadane linearne funkcije jesu:

a = 2,

b = 5

a = - 2,

b = - 5

a = \frac{1}{2},

b = 5

Pomoć:

Proučite postupak iz prethodnog primjera. Možete odabrati bilo koja dva uređena para $(x, y),$ ali najjednostavniji su parovi brojeva $(0, 5)$ i $(2, 6) .$

Postupak:

Riješite sustav jednadžbi

$\underline{\begin{array}{l} a \cdot 0 + b = 5 \\ a \cdot 2 + b = 6 \end{array}}$

$\underline{\begin{array}{l} b = 5 \\ 2 a + 5 = 6 \end{array}}$

$2 a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

Zatvori

Zanimljivost

Zadatci s linearnim funkcijama često se pojavljuju na državnoj maturi pa predlažemo da pogledate i za vježbu riješite i sljedeće zadatke:

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 12.

Zadanoj linearnoj funkciji odredite traženu nepoznatu vrijednost. rezultat zapišite u obliku neskrativog razlomka, a umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku $/ .$ Prilikom upisivanja negativnog broja, iza predznaka nije potrebno upisati razmak.

Zadatak 13.

Tena je dosad pročitala $78$ stranica knjige za lektiru. Kako bi bila sigurna da će knjigu pročitati na vrijeme, odlučila je dnevno čitati $25$ stranica knjige.

Za koliko će dana Tena pročitati knjigu ako knjiga ima $253$ stranice?

Za deset dana.

Za sedam dana.

Za trinaest dana.

Pomoć:

Označimo s $x$ broj dana. Broj pročitanih stranica knjige ovisi o broju dana.

Postupak:

$f (x) = 25 x + 78 = 253$

Rješenje jednadžbe je $7$ pa možemo reći da će Tena pročitati knjigu za sedam dana.
Je li točna sljedeća tvrdnja?

Ako Tena knjigu mora pročitati za pet dana, dnevno treba pročitati $34$ stranice knjige.

Da

Ne

Pomoć:

Provjerite uvrštavanjem u formulu funkcije.

Postupak:

$f (5) = 34 \cdot 5 + 78 = 248$

Za pet dana, čitajući trideset i četiri stranice dnevno, uz već pročitanih $78$ stranica, Tena će pročitati $248$ stranica knjige, što znači da neće uspjeti pročitati cijelu knjigu.

Zadatak 14.

Napišite linearnu funkciju koja broju $3$ pridružuje broj suprotan broju $1,$ a broju $0$ pridružuje broj $- 2 .$

Napišimo uređene parove brojeva: $(3, - 1)$ i $(0, - 2) .$

Uvrstimo svaki par brojeva u formulu linearne funkcije $f (x) = a \cdot x + b = y .$

Riješimo sustav

$\underline{\begin{array}{l} a \cdot 3 + b = - 1 \\ a \cdot 0 + b = - 2 \end{array}}$

i dobit ćemo rješenje $a = \frac{1}{3},$ $b = - 2 .$

Linearna funkcija glasi: $f (x) = \frac{1}{3} x - 2.$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Osmislite sami nekoliko zadataka s temom iz svakodnevnog života u kojima nalazimo linearnu funkciju.

Koja od navedenih formula prikazuje linearnu zavisnost opsega lika o zadanoj veličini?

o = f (a) = 2 a + 2 b

o = f (r) = r \cdot r \cdot π

o = f (a) = 4 a

null

U gradskoj knjižnici naplaćuje se zakasnina pri vraćanju knjiga. Za kašnjenje se plaća $2 kn$ plus $50$ lipa po danu i po knjizi. Zapišite formulom ovisnost plaćene zakasnine o broju dana kašnjenja.

$f (x)$

$0.50$

$x$

$2$

null

Zadanim linearnim funkcijama očitajte koeficijente i pridružite odgovarajuće zapise.

$f (x) = 5 x - 5$	$\begin{matrix} a = 1, & b \end{matrix} = 5$
$f (x) = 5 - 5 x$	$\begin{array}{l} a = 5, & b \end{array} = - 5$
$f (x) = x + 5$	$\begin{matrix} a = 5, & b \end{matrix} = 0$
$f (x) = 5 x$	$\begin{matrix} a = - 5, & b \end{matrix} = 5$

Pomoć:

Koeficijent $a$ množi se s argumentom.

null

Izračunajte vrijednost svake od zadanih funkcija za argument $x = 2 .$ Funkciju čija je vrijednost za zadani argument najmanja stavite na prvo mjesto.

$f (x) = 3 x - 8$
$f (x) = - 4 x + 10$
$f (x) = - \frac{1}{2} x + 1$
$f (x) = \frac{3}{2} x - 2$

null

Zadana je linearna funkcija $f (x) = \frac{1}{2} x - 1 .$ Za koji će argument vrijednost funkcije biti jednaka $3 ?$

8

4

2

null

Taksist za početak vožnje naplaćuje

20 kn,

a za svaki prijeđeni kilometar još

9 kn .

Zapišite formulu linearne funkcije koja prikazuje ovisnost cijene vožnje o broju prijeđenih kilometara.

f (x) =

x +

null

Frizer Jan s vlasnikom salona dogovorio je da će primati stalni dio plaće u iznosu od

2 800 kn

i još

12 kn

po svakom izvršenom šišanju. Da bi ostvario plaću veću od

5 000 kn,

Jan treba odraditi najmanje šišanja.

null

Matko je dobio

450 kn

kao džeparac za ljetovanje. Planira svaki dan potrošiti najviše

30 kn .

Nakon četrnaest dana ljetovanja Matku će preostati

kn .

null

ZAVRŠITE PROCJENU

10.2 Određivanje vrijednosti i argumenta linearne funkcije

Na početku...

Određivanje vrijednosti linearne funkcije

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Određivanje vrijednosti argumenta linearne funkcije

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Linearna funkcija oko nas

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

$x$

$f (x)$

Funkcija zadana tablicom

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zanimljivost

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

10.3 Jednadžba pravca

Na početku...

Određivanje vrijednosti linearne funkcije

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Određivanje vrijednosti argumenta linearne funkcije

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Linearna funkcija oko nas

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

x

f x

Funkcija zadana tablicom

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zanimljivost

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

10.3 Jednadžba pravca

$x$

$f (x)$