Matematika 7 - 8.6 Površina kruga i kružnog isječka

Površina kruga

Kolekcija zadataka 1

Kad smo računali površinu mnogokuta, podijelili smo ga na neke jednostavnije likove, čiju površinu možemo lako izračunati.

Zadatak 1.

Na slici je šesterokut koji se može podijeliti na jednostavnije likove

Površina lika sa slike je

Pogledajte uputu.

{cm}^{2}

.

Postupak:

$p = p_{1} + p_{2}$

$p_{1} = 4 \cdot 2$

$p_{2} = \frac{4 + 2}{2} \cdot 1$

Ponovimo mjerne jedinice za površinu.

Zadatak 2.

Spojite parove mjernih jedinica za površinu.

$100 {cm}^{2}$	$1 {km}^{2}$
$1 {cm}^{2}$	$10 000 {cm}^{2}$
$1 000 000 m^{2}$	$100 {mm}^{2}$
$1 m^{2}$	$1 {dm}^{2}$

Pomoć:

$1 cm = 10 mm$

$1 dm = 10 cm$

$1 m= 100 cm$

$1 km = 1000 m$

null

Zatvori

Zanimljivost

Na slici je prikazan nerješivi matematički problem: može li se konstruirati samo ravnalom i šestarom kvadrat iste površine kao i zadani krug

Kvadratura kruga je jedan od najstarijih nerješivih matematičkih problema. Problem je poznat još od antičkih vremena. Izraz kvadratura kruga danas se upotrebljava u svakodnevnom životu kao izraz za neki nerješiv problem.

Ako je zadan krug polumjera $r,$ postavlja se pitanje može li se konstruirati samo ravnalom i šestarom kvadrat iste površine kao i zadani krug. Taj je problem pokušavalo riješiti mnogo matematičara, no tek je 1882. njemački matematičar Ferdinand Lindemann dokazao da je to nemoguće zbog broja $π$ koji je beskonačan neperiodički decimalni broj i ne može se točno konstruirati dužina duljine $π,$ primjerice centimetara.

Prisjetimo se da pravilnom mnogokutu možemo opisati kružnicu. Što pravilni mnogokut ima više stranica, to se njegova površina više poklapa s površinom kružnice. Površina pravilnog mnogokuta koji bi imao beskonačno mnogo stranica bila bi jednaka površini njemu opisanog kruga. Za naše oko je dovoljno samo jako povećati broj stranica pravilnog mnogokuta. Podijelimo mnogokut na karakteristične trokute, odnosno kružnicu na odgovarajuće kružne isječke.

U GeoGebrinoj simulaciji možete vidjeti što se događa kad povećate broj stranica pravilnog mnogokuta $n .$

Odaberite što veći $n,$ tako da se promatrani mnogokut naoko preklopi s kružnicom.

Promotrite ljubičastu i narančastu polovicu. Kad pomičemo klizač "presložite krug", vidimo da se obje polovice mnogokuta rastvore i spoje u paralelogram.

S obzirom na to da je mnogokut površinom naoko preklopio krug, možemo zamisliti da su površine mnogokuta i kruga jednake ili toliko približno jednake da je razlika zanemariva. Paralelogram koji smo dobili razlaganjem mnogokuta tada ima istu površinu kao mnogokut, a možemo reći i gotovo istu kao krug.

Pogledajmo stranicu i visinu paralelograma. Visina je približno jednaka duljini polumjera $r,$ a stranica je približno jednaka duljini polukružnice, odnosno polovini opsega kruga $\frac{2 r π}{2} = r π .$

Površinu paralelograma dobijemo kad pomnožimo duljine tih dviju dužina, $p = r π \cdot r,$ a kako je površina paralelograma za mnogokut s beskonačno mnogo stranica jednaka površini opisanog kruga, dobivamo formulu za površinu kruga.

Površina kruga računa se prema formuli $p = r \cdot r \cdot π,$ odnosno $p = r^{2} π .$

Primjer 1.

Izračunajmo površinu kruga polumjera $3 cm .$

Uvrstimo u formulu $r = 3 cm .$ Kao i kod opsega kruga, ako želimo točno rješenje, ostavimo $π,$ a ako želimo približno rješenje, uvrstimo $π \approx 3.14 .$

Tako iz formule $p = 3 \cdot 3 \cdot π$ dobijemo $p = 9 π {cm}^{2}$ ili $p \approx 28.26 {cm}^{2}$ $.$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Izračunajte točno i približno površinu kruga promjera $8 cm .$

p = 64 π {cm}^{2}

Pogledajte uputu.

p = 16 π {cm}^{2}

p = 4 π {cm}^{2}

Pogledajte uputu.

p \approx 50.24 {cm}^{2}

p \approx 12.56 {cm}^{2}

Pogledajte uputu.

p \approx 200.96 {cm}^{2}

Pogledajte uputu.

Pomoć:

$r = 8 : 2$

Postupak:

$p = 4 \cdot 4 \cdot π$

Zadatak 4.

Na slici su teglice s medom dna kružnog oblika kome treba izračunati površinu

Promjer dna staklenke za med je

9 cm .

Površina dna staklenke je približno

Decimalni dio odvojite decimalnom točkom ili pogledajte uputu.

{cm}^{2}

Pomoć:

$r = 9 : 2 cm$

null

Zatvori

Primjer 2.

Izračunajmo promjer kruga površine $36 π {cm}^{2}$ $.$

Iz formule za površinu kruga izračunamo duljinu polumjera kruga:

$p = r \cdot r \cdot π$

$36 π = r \cdot r \cdot π$ $/ : π$

$r \cdot r = 36$

$6 \cdot 6 = 36$

$r = 6 cm .$

Ako je polumjer kruga $6 cm,$ promjer kruga je $12 cm .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 5.

Izračunajte opseg kruga čija površina iznosi približno $28.26 {cm}^{2}$ .

Formula za opseg kruga je $o = 2 r π .$

Iz zadane površine kruga izračunamo duljinu polumjera:

$28.26 = r \cdot r \cdot 3.14$ $/ : 3.14$

$r \cdot r = 9$

$r = 3 cm .$

Opseg kruga je $o = 6 π \approx 18.84 cm .$

Zadatak 6.

Na slici je okruglo ogledalo kome treba izračunati površinu

Površina ogledala sa slike je približno

1 256 {cm}^{2} .

Promjer ogledala je

π \approx 3.14

cm .

Pomoć:

$400 = 20 \cdot 20$

null

Zatvori

Površina kružnog isječka s pomoću veličine središnjeg kuta

Zadatak 7.

Na slici je kružni isječak s označenim središnjim kutom

U krugu je označen kružni

Pogledajte jedinicu Osnovno o kružnici i krugu.

null

Kružni isječak je dio kruga. S obzirom na to da krugu možemo računati površinu, pogledajmo kako ćemo računati površinu kružnom isječku.

Uobičajena oznaka za površinu kružnog isječka je $p_{k i} .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 8.

Na slikama su krugovi istog polumjera. Sa slika vidimo da za veći središnji kut dobijemo kružni isječak površine.

Pomoć:

Dobro pogledajte slike. Veća ljubičasta ploha znači i veću površinu kružnog isječka.

null

Zadatak 9.

Na slici je kružni isječak koji je polukrug

Polumjer kruga je $4 cm,$ površina kruga je
Rješenje napišite u brojčanom obliku ili pogledajte uputu.

$π$ $.$

Pomoć:

$4 \cdot 4 = 16$

null
Površina polukruga je površine kruga, u ovom slučaju $π {cm}^{2}$ .

Pomoć:

$16 : 2$

null
Ispruženi kut od $180 °$ je punog kuta od $360 ° .$

Pomoć:

$360 ° : 2 = 180 °$

null

Zadatak 10.

Središnji kut na slici je kut veličine .

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku.

null
Središnji kut od $90 °$ je četvrtina punog kuta od $360 ° .$

Da.

Ne.
Izračunajte $360 ° : 4 .$

null
Površina kružnog isječka sa slike je površine kruga.

Pomoć:

Ako središnji kut podijelimo na $4$ jednaka dijela, i krug je podijeljen na $4$ jednaka dijela.

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Cijelom krugu pripada središnji kut od $360 ° .$ Spojite parove dijelova kruga i pripadnog središnjeg kuta.

trećina kruga	središnji kut $120 °$
dvadesetina kruga	središnji kut $18 °$
devetina kruga	središnji kut $36 °$
desetina kruga	središnji kut $40 °$

Pomoć:

Nacrtajte krug bilo kojeg polumjera. Puni kut iznosi $360 ° .$ Podijelite puni kut s $3,$ $9,$ $10$ i $20$ i nacrtajte kutomjerom središnji kut.

null

Zadatak 12.

Promjer kruga je $12 cm .$ Izračunajte površinu kruga.

$p = 12 π {cm}^{2}$
Pogledajte uputu.

$p = 144 π {cm}^{2}$
Pogledajte uputu.

$p = 36 π {cm}^{2}$

$p = 6 π {cm}^{2}$
Pogledajte uputu.

Pomoć:

$12 : 2 = 6$

$6 \cdot 6 = 36$

Nacrtajte četiri kruga promjera $12 cm$ i podijelite ih na kružne isječke koji se pojavljuju u lijevom stupcu zadatka. Spojite parove dijela kruga i površine pripadnog dijela kruga (kružnog isječka).

četvrtina kruga	$p = 9 π {cm}^{2}$
petina kruga	$p = \frac{36 π}{5} {cm}^{2}$
šestina kruga	$p = 6 π {cm}^{2}$
dvanaestina kruga	$p = 3 π {cm}^{2}$

Pomoć:

Podijelite krug na $4,$ $5,$ $6$ ili $12$ dijelova. Zatim podijelite površinu kruga s $4,$ $5,$ $6$ ili $12 .$

Zadatak 13.

Pogledajte još jedanput prethodna četiri zadatka i razmislite o promjenama veličine središnjeg kuta i površine pripadnog kružnog isječka. Što možete zaključiti?

Koliko se puta povećala veličina središnjeg kuta, toliko se puta površina kružnog isječka istog kruga. Koliko se puta smanjila veličina središnjeg kuta, toliko se puta površina kružnog isječka istog kruga.

Pomoć:

Dobro pogledajte prethodne zadatke i promotrite veličine središnjih kutova i površine pripadnih kružnih isječaka.

null
Površina kružnog isječka i veličina pripadnog središnjeg kuta istog kruga međusobno su veličine.

Pomoć:

Ako za dvije veličine vrijedi: koliko puta se poveća ili smanji jedna veličina, toliko će se puta povećati ili smanjiti i druga veličina, za te dvije veličine kažemo da su proporcionalne veličine.

null

Zatvori

Površina kružnog isječka i veličina pripadnog središnjeg kuta istog kruga međusobno su proporcionalne veličine pa vrijedi razmjer:

površina kružnog isječka $p_{k i}$ : površina cijelog kruga $r^{2} π$ = veličina pripadnog središnjeg kuta $α$ : veličina punog kuta $360 ° .$

Riješimo razmjer

$p_{k i} \cdot 360 ° = r^{2} π \cdot α$ $/ : 360 °$

i dobijemo formulu za površinu kružnog isječka

$p_{k i} = \frac{r^{2} π \cdot α}{360 °},$ odnosno $p_{k i} = \frac{r \cdot r \cdot π \cdot α}{360 °}$

Površina kružnog isječka koji pripada krugu polumjera $r$ i koji ima središnji kut $α$ računa se prema formuli $p_{k i} = \frac{r^{2} π α}{360 °}$

Primjer 3.

Polumjer kruga je $4 cm .$ Izračunajmo površinu kružnog isječka koji pripada tom krugu i ima središnji kut veličine $45 ° .$

Površinu kružnog isječka računamo prema formuli

$p_{k i} = \frac{r^{2} π \cdot α}{360 °},$ odnosno $p_{k i} = \frac{r \cdot r \cdot π \cdot α}{360 °}$

Uvrstimo podatke u formulu

$p_{k i} = \frac{4 \cdot 4 \cdot π \cdot 45 °}{360 °}$
$p_{k i} = 2 π \approx 6.28 {cm}^{2}$ $.$

Zadatak 14.

Izračunajte površinu kružnog isječka koji pripada krugu polumjera $r$ i ima središnji kut $α .$

$r = 5 cm,$ $α = 72 °$	$p_{k i} = 5 π {cm}^{2}$
$r = 4.5 cm,$ $α = 160 °$	$p_{k i} = 9 π {cm}^{2}$
$r = 3 cm,$ $α = 60 °$	$p_{k i} = \frac{4 π}{9} {cm}^{2}$
$r = 2 cm,$ $α = 40 °$	$p_{k i} = \frac{3 π}{2} {cm}^{2}$

Pomoć:

Uvrstite duljinu polumjera i veličinu kuta u formulu za površinu kružnog isječka, skratite razlomak i pomnožite preostale brojeve ili zadatak riješite logički s pomoću dijelova punog kuta i proporcionalnog dijela površine kruga.

null

Površina kružnog isječka s pomoću duljine kružnog luka

Pogledajmo još malo slike kružnih isječaka. U krugu istog polumjera većem kružnom isječku pripada dulji kružni luk. Provjerimo omjere duljina kružnih lukova i omjere površina pripadnih kružnih isječaka .

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 15.

Formula za duljinu kružnog luka je $l = \frac{r π α}{180 °} .$

Da.

Ne.

Ponovite jedinicu Opseg kruga i duljina kružnog luka.

null

Zadatak 16.

Polumjer kruga je $6 cm .$ Prepišite u bilježnicu i popunite tablicu.

Središnji kut $α$	Duljina kružnog luka $l$	Površina kružnog isječka $p_{k i}$
$30 °$
$60 °$

$r = 6 cm .$

Središnji kut $α$	Duljina kružnog luka $l$	Površina kružnog isječka $p_{k i}$
$30 °$	$π cm$	$3 π {cm}^{2}$
$60 °$	$2 π cm$	$6 π {cm}^{2}$

U krugu istog polumjera za dvostruko dulji kružni luk dobijemo veću površinu pripadnog kružnog isječka.

Pomoć:

Pažljivo pogledajte tablicu. Izračunajte omjer duljina kružnih lukova i omjer površina pripadnih kružnih isječaka.

Postupak:

$2 π : π = 2$

$6 π : 3 π = 2$

Zadatak 17.

Polumjer kruga je $6 cm .$ Prepišite u bilježnicu i popunite tablicu.

Središnji kut $α$	Duljina kružnog luka $l$	Površina kružnog isječka $p_{k i}$
$60 °$
$20 °$

$r = 6 cm .$

Središnji kut $α$	Duljina kružnog luka $l$	Površina kružnog isječka $p_{k i}$
$60 °$	$l = 2 π cm$	$p_{k i} = 6 π {cm}^{2}$
$20 °$	$l = \frac{2 π}{3} cm$	$p_{k i} = 2 π {cm}^{2}$

U krugu istog polumjera za trostruko kraći kružni luk dobijemo manju površinu pripadnog kružnog isječka.

Pomoć:

Pažljivo pogledajte tablicu. Izračunajte omjer duljina kružnih lukova i omjer površina pripadnih kružnih isječaka.

Postupak:

$2 π : \frac{2 π}{3} = 3$
$6 π : 2 π = 3$

Zadatak 18.

Pogledajte još jedanput prethodne zadatke i razmislite o promjenama duljine kružnog luka i površine pripadnog kružnog isječka. Što možete zaključiti?

Koliko se puta povećala duljina kružnog luka, toliko se puta površina pripadnog kružnog isječka istog kruga. Koliko se puta smanjila duljina kružnog luka, toliko se puta površina pripadnog kružnog isječka istog kruga.

Pomoć:

Dobro pogledajte prethodne zadatke i promotrite duljine kružnih lukova i površine pripadnih kružnih isječaka.

null
Duljina kružnog luka i površina pripadnog kružnog isječka istog kruga međusobno su veličine.

Pomoć:

Ako za dvije veličine vrijedi: koliko puta se poveća ili smanji jedna veličina, toliko će se puta povećati ili smanjiti i druga veličina, za te dvije veličine kažemo da su proporcionalne veličine.

null

Zatvori

Iz navedenog slijedi da možemo površinu kružnog isječka prikazati i s pomoću duljine kružnog luka.

Promotrimo formulu za površinu kružnog isječka i formulu za duljinu kružnog luka:

$p_{k i} = \frac{r \cdot r \cdot π \cdot α}{360 °}$ i $l = \frac{r \cdot π \cdot α}{180 °}$

U formuli za površinu kružnog isječka nazivnik možemo zapisati u obliku umnoška broja $2$ i $180 °$ :

$p_{k i} = \frac{r \cdot r \cdot π \cdot α}{2 \cdot 180 °}$

Izdvojimo iz formule za površinu kružnog isječka dio koji pripada formuli za duljinu kružnog luka

$p_{k i} = \frac{r}{2} \cdot \frac{r \cdot π \cdot α}{180 °},$ napišimo oznaku za duljinu kružnog luka umjesto formule

$p_{k i} = \frac{r}{2} \cdot l$ i pomnožimo

$p_{k i} = \frac{r \cdot l}{2}$

Površina kružnog isječka koji pripada krugu polumjera $r$ i kojem je duljina pripadnog kružnog luka $l,$ računa se prema formuli $p_{k i} = \frac{r \cdot l}{2}$

Primjer 4.

Izračunajmo površinu kružnog isječka koji pripada krugu promjera $6 cm$ i kojem je duljina pripadnog kružnog luka $6.28 cm .$

Polumjer kruga je $r = 6 : 2 = 3 cm,$ duljina pripadnog kružnog luka je $l = 6.28 cm .$

Uvrstimo u formulu za površinu kružnog isječka: $p_{k i} = \frac{3 \cdot 6.28}{2}$

Površina kružnog isječka je $p_{k i} = 9.42 {cm}^{2} .$

Zadatak 19.

Izračunajte površinu kružnog isječka koji pripada krugu polumjera $6 cm,$ a duljina pripadnog kružnog luka mu je $\frac{3 π}{2} cm .$

p_{k i} = \frac{9 π}{4} {cm}^{2}

Pogledajte uputu.

p_{k i} = 3 π {cm}^{2}

Pogledajte uputu.

p_{k i} = \frac{9 π}{2} {cm}^{2}

p_{k i} = 9 π {cm}^{2}

Pogledajte uputu.

Pomoć:

$p_{k i} = \frac{r \cdot l}{2} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$

null

...i na kraju

U ovoj jedinici naučili ste kako izračunati površinu kruga i površinu kružnog isječka. Za površinu kružnog isječka možete se koristiti dvjema formulama, a možete je računati i kao dio kruga zbog proporcionalnosti površine kružnog isječka i veličine pripadnog središnjeg kuta.

Za kraj pogledajmo što je bilo s bazenom iz animacije s početka jedinice.

Majstori iz animacije s početka jedinice izmjerili su promjer bazena. Duljina promjera je $25 m .$ Duljina polumjera bazena tada je
Pogledajte uputu.

$m$ .

Pomoć:

$r = d : 2$
Majstori trebaju po $20 cm$ materijala više od polumjera bazena sa svake strane da bi bolje zaštitili bazen, pa će polumjer cerade biti
Pogledajte uputu.
$m .$

Pomoć:

$1 m = 100 cm$

Postupak:

Treba preračunati $20 cm$ u $m$ i to pribrojiti duljini polumjera.
Površina cerade treba biti
Pogledajte uputu.
$m^{2}$ .

Pomoć:

$p = r \cdot r \cdot π$

$π \approx 3.14$
Cijena postavljanja pravokutne cerade za bazen je $150 kn$ po $m^{2}$ . Ako je kružnog ili nekog drugog nepravokutnog oblika, cijena je viša za $20 % .$ Hotel će postavljanje cerade za svoj bazen platiti
Pogledajte uputu.
$kn .$

Pomoć:

Pomnožite površinu bazena u $m^{2}$ sa $150$ i cijenu uvećajte za $20 % .$

$p_{k i} = 30.772 {cm}^{2}$ $,$ $α = 72 °$	$α = 63 °$
$p_{k i} = 8.792 {cm}^{2}$ $,$ $r = 4 cm$	$α = 90 °$
$p_{k i} = 3.14 {cm}^{2}$ $,$ $r = 2 cm$	$r = 7 cm$
$p_{k i} = 1.1775 {cm}^{2}$ $,$ $α = 60 °$	$r = 1.5 cm$

Na početku...

Površina kruga

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zanimljivost

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Površina kružnog isječka s pomoću veličine središnjeg kuta

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Površina kružnog isječka s pomoću duljine kružnog luka

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Uvježbajmo!

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Zadatak 23.

Zadatak 24.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 25.

Zadatak 26.

Projekt

...i na kraju