x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Ako se zagledate u točku u središtu kružnica i udaljite glavu od monitora, kružnice će se početi okretati. Kad počnete približavati glavu, kružnice će se okretati u suprotnom smjeru. Pokušajte.

    Na slici je optička iluzija,Ako se zagledate u točku u središtu kružnica i udaljite glavu od monitora, kružnice će se početi okretati. Kad počnete približavati glavu, kružnice će se okretati u suprotnom smjeru

    Zanimljivost

    ​Optičke iluzije bojom, kontrastima i uzorcima mogu stvoriti slike koje zbunjuju mozak, stvarajući prizor koji se ne podudara sa stvarnim prikazom. Naš mozak se pokušava prilagoditi i interpretirati prizor koji vidi čineći ga smislenim te se katkad prevari gledajući ono što se ne čini stvarnim.

    Nekoliko optičkih iluzija možete vidjeti ovdje, a možete posjetiti i Muzej iluzija.

    Riješite, provjerite i podijelite

    Za uvježbavanje kružnice i kruga predlažemo nekoliko zadataka koje možete samostalno riješiti u bilježnicu ili u nekom interaktivnom elementu. Zadnjih nekoliko zadataka je za one koji žele znati više, ali svi ih možete pokušati riješiti. Nakon što riješite zadatke, usporedite svoje rješenje s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili zamolite da vam pomognu ako vam je neki zadatak težak.  

    Zadatak 1.

    Na slici su dijelovi kruga i kružnice

    Pažljivo pogledajte sliku i dopunite rečenice.
    Skup svih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od točke S je .
    null
    null
    Točka S na slici je kružnice.
    null
    null
    Dužina S A ¯ je kružnice.
    null
    null
    Dužina A B ¯ je kružnice.
    null
    null
    Dio kružnice između točaka A i B   je kružni .
    null
    null
    Dio ravnine omeđen kružnicom je .

     

    null
    Dio kruga omeđen polumjerima S A ¯ je kružni .
    null
    Dio kruga omeđen tetivom A B ¯ i kružnim lukom A B je kružni .
    null
    null

    Projekt

    Istražite gdje se u vašoj okolini pojavljuje krug, kružnica ili njihovi elementi. Nađite što više primjera i prikažite ih prezentacijom.

    Zanimljivost

    Na slici je simbol Olimpijskih igara

    Olimpijske igre su sportsko natjecanje koje se održava svake četiri godine. Prve Igre  nastale su u antičkoj Grčkoj, ali su se tijekom vremena prestale održavati. Ponovno su oživljene potkraj 19. stoljeća pod vodstvom francuskog baruna Pierrea de Coubertina.

    Simbol Olimpijskih igara je pet povezanih krugova u plavoj, žutoj, crnoj, zelenoj i crvenoj boji. Coubertin je izabrao taj znak kao simbol pet naseljenih kontinenata svijeta (računajući Ameriku kao jedan kontinent). Isto tako, svaka država koja je sudjelovala na Olimpijskim igrama imala je barem jednu od boja simbola Olimpijskih igara. Kako je motiv pet krugova nastao nakon petih Olimpijskih igara, smatra se da krugovi predstavljaju pet uspješno održanih Igara. Uz to, krugovi prikazuju kontinuitet i cjelovitost te su izvrstan simbol Olimpijskih igara.

    Više o Olimpijskim igrama možete pročitati ovdje.

    Zadatak 2.

    Na slici je znak Olimpijskih igara

    Konstruirajte znak Olimpijskih igara kao na slici. U kojem su međusobnom položaju crna i žuta kružnica, a u kojem žuta i crvena kružnica na slici?

    Crna i žuta kružnica se sijeku u dvije točke, a žuta i crvena kružnica nemaju zajedničkih točaka.


    Projekt

    Organizirajte matematičke olimpijske igre u razredu. Podijelite se u skupine. Neka svaka skupina osmisli jednu disciplinu (aktivnost). Pripremite način bodovanja svih aktivnosti. Natječite se i proglasite pobjednika.

    Zadatak 3.

    Koliki je središnji kut nosača na panoramskom vrtuljku ilustriranom na slici, ako je obodni kut prikazan na slici veličine 12 ° ?

    Na slici je panoramski kotač Ferris Wheel u Londonu

    Središnji kut nosača i dani obodni kut nad istim su kružnim lukom. Znamo i da je središnji kut dvostruko veći od obodnog kuta nad istim kružnim lukom. Prema tome, središnji kut je 24 ° .


    Projekt

    Izradite maketu Ferrisova kotača Adria Eye, najvećeg panoramskog vrtuljka u Hrvatskoj, koji se nalazi u Biogradu na Moru, i osmislite nekoliko zadataka vezanih uz njegove mjere.

    Zadatak 4.

    Konstruirajte kružnicu promjera 58 mm i na njoj označite tri točke A , B i C . Točkama A i B povucite sekantu, a točkom C tangentu na tu kružnicu.

    Na slici su kružnica i njene tangenta i sekanta

    Zadatak 5.

    Konstruirajte pravokutni trokut A B C s hipotenuzom A B - duljine 5.9 cm i duljinom katete a = 2.3 cm .

    Na slici je konstruiran pravokutnoi trokut s pomoću Talesovog poučka

    Zadatak 6.

    Popunite tablicu; r je duljina polumjera kruga, α veličina središnjeg kuta, l duljina pripadnog kružnog luka, p k i površina pripadnog kružnog isječka, o opseg kruga i p površina kruga te π 3.14 .

    r   α   l   p k i   o p
    4 cm 48 °
    2 cm 2.512 cm
    3 m 3 π 2 m 2  
    45 ° 3.925 dm
    r   α   l   p k i   o p  
    4 cm 48 ° 16 π 15 3.35 cm 32 π 15 6.70 cm 2   8 π 25.12 cm 16 π 50.24 cm 2  
    2 cm 72 ° 2.512 cm 4 π 5 2.512 cm 2 4 π 12.56 cm
    4 π 12.56 cm 2  
    3 m 60 ° π 3.14 m 3 π 2 m 2   6 π 18.84 m 9 π 28.26 m 2  
    5 dm 45 ° 3.925 dm 25 π 8 9.81 dm 2   10 π 31.4 dm 25 π 78.5 dm 2  

    Zadatak 7.

    Na slici je privezište brodica oblika prstena

     ​

    Duljina željezne cijevi potrebne za privezište brodica oblika prstena, kao na slici, promjera 45 je cm .

    Pomoć:

    r = 45 : 2

    o = 2 r π

    null

    Zadatak 8.

    Po površini kružnog toka gradsko komunalno poduzeće želi zasaditi ruže. Promjer kružnog toka je 6 metara. Ruže sadimo tako da oko svake bude razmak polumjera približno 25 cm . Koliko sadnica ruža trebaju nabaviti za taj kružni tok?

    Pomoć:

    Polumjer kružnog toka je 300 cm .

    Postupak:

    Površinu kružnog toka podijelite s površinom razmaka oko svake sadnice.

    282 600 cm 2 : 1962.5 cm 2

    Zadatak 9.

    Na slici su vodeni ljiljani u jezercu

    Vrtlar je odlučio napraviti jezerce u vrtu i u njega posaditi vodene ljiljane.

    1. Jezerce je kružnog oblika promjera 2 m , pa je njegova površina približno

      Pomoć:

      1 m 2 = 10 000 cm 2

      1 m 2 = 100 dm 2

      null
    2. List ljiljana je oblika kružnog isječka promjera oko 20 cm i središnjeg kuta oko 320 ° , pa je njegova površina približno cm 2 .

      Pomoć:

      r = 20 : 2 = 10 cm

      null
    3. Po površini u jezerce stane oko listova ljiljana.

      Pomoć:

      31 400 : 279 113

      null
    4. Najviše bi 75 % površine jezerca smjelo biti pokriveno, pa bi trebalo ukloniti oko listova.

      Pomoć:

      75 % od 31 400 cm 2 = 23 550 cm 2

      Postupak:

      23 550 : 279 84

      Broj listova koje treba ukloniti zaokružite na desetice.

    Kutak za znatiželjne

    Zadatak 10.

    Studentski centar sastoji se od 6 odvojenih zgrada. Sve susjedne zgrade udaljene su 5 m . Uprava Studentskog centra odlučila je staviti internetski odašiljač na mjesto s kojega bi se odaslao jednak signal prema svim zgradama. Pomozite upravi u odluci na koje će mjesto staviti odašiljač, prikazujući zgrade i odašiljač točkama u omjeru 1 : 100 .

    Na slici je kružnica opisana pravilnom šesterokutu

    Odašiljač treba staviti u središte kružnice opisane šesterokutu čiji vrhovi predstavljaju zgrade. Polumjer kružnice je 5 m .


    Projekt

    Odaberite dvije susjedne zgrade ili kuće susjedne onoj u kojoj vi živite, ali tako da ne budu sve tri zgrade ili kuće u nizu. Odredite točku u koju biste stavili odašiljač da biste svi imali jednak internetski signal. Rješenja prikažite maketom ili plakatom.

    Zadatak 11.

    Na slici je krhotina tanjura

    Arheolozi su pronašli krhotinu tanjura starog tisuću godina, koja izgleda kao na slici. Pomozite im i krhotinu dopunite da bi se vidjelo kako je taj tanjur izgledao kad je bio potpun.

    Primijetimo dva kružna luka na tanjuru. Izaberemo tri točke A , B , C koje leže na jednom kružnom luku. Povežemo ih u trokut. Konstruiramo simetrale dviju stranica trokuta. U točki gdje se simetrale sijeku nalazi se središte kružnica kojima pripadaju kružni lukovi tanjura. Nadocrtamo kružnice i dobili smo obrube tanjura. Možete ga ispuniti i povijesnim uzorcima.


    Projekt

    Izradite od kartona krhotine povijesnih tanjura. Ispunite ih uzorcima. Razmijenite ih s ostalim učenicima te rekonstruirajte tanjure čije su vam konstrukcije dali. Najbolje radove nagradite i izložite.

    Zadatak 12.

    Opsezi dviju koncentričnih kružnica su 21.98 cm i 314 mm . Izračunajte površinu kružnog vijenca određenog tim kružnicama.

    Rješenje pogledajte u videozapisu "Površina kružnog vijenca".


    ...i na kraju

    Za kraj ponovite osnovne formule koje se pojavljuju kod kruga i kružnice tako da prepišete tablicu u bilježnicu i popunite je. Najprije ju riješite samostalno, a zatim usporedite svoje rješenje s ponuđenim.

    Zadatak 13.

    Popunite tablicu; r je duljina polumjera kruga, α veličina središnjeg kuta, l duljina pripadnog kružnog luka, p k i površina pripadnog kružnog isječka, o opseg kruga i p površina kruga te π 3.14 .

    r   α   l   p k i   o p
    10 ° 3.14 m 2  
    2.4 m 2 π 3 m
    90 ° 2 π dm
    180 ° 81 π cm 2  
    r   α   l   p k i   o p
    6 m 10 ° π 3 1.05 m 3.14 m 2   12 π 37.68 m 36 π 113.04 m 2  
    2.4 m 50 ° 2 π 3 m 4 π 5 2.51 m 2   4.8 π 15.07 m 5.76 π 18.09 m 2   
    1 dm 90 ° π 2 1.57 dm   π 4 0.79 dm 2   2 π dm π 3.14 dm 2  
    9 cm 180 ° 9 π 28.26 cm 81 π 2 127.17 cm 2   18 π 56.52 cm 81 π cm 2  

    Projekt

    Na slici je optička iluzija

    Nakon riješene tablice, pokušajte nacrtati optičku iluziju kao na slici.