x
Učitavanje

10.7 Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Dosad smo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice rješavali metodom supstitucije ili metodom suprotnih koeficijenata. U sljedećim primjerima vidjet ćemo da se takvi sustavi mogu riješiti i grafički.

Sustav ima jedinstveno rješenje

Primjer 1.

Na slici su prikazana dva pravca u koordinatnom sustavu koji se sijeku u točki (5,2)

Zadan je sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

x + y = 7

x - y = 3

Svaku od jednadžbi promatrat ćemo kao jednadžbu pravca i te ćemo pravce nacrtati u koordinatnom sustavu u ravnini. Sjecište tih pravaca rješenje je zadanog sustava.

Da bismo ih nacrtali, svaku od jednadžbi trebamo prikazati u eksplicitnom obliku.

Prvu jednadžbu napisat ćemo u obliku y = - x + 7 , a drugu u obliku y = x - 3 .

Kako bismo nacrtali te pravce u koordinatnoj ravnini, odredit ćemo po dvije njihove točke.

x y = - x + 7 x , y
1 6 1 , 6
2 5 2 , 5
x y = x - 3 x , y
0 - 3 0 , - 3
1 - 2 1 , - 2

Koordinate točke u kojoj se sijeku pravci zadovoljavaju obje jednadžbe. Naši pravci se sijeku u točki S 5 , 2 i za nju kažemo da je grafičko rješenje zadanog sustava.

Grafičko rješavanje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice naziva se postupak pri kojem svaku linearnu jednadžbu promatramo kao jednadžbu pravca i u istom koordinatnom sustavu nacrtamo te pravce.  

Zadatak 1.

Grafički riješi sustav.

x + y = - 4    ​

x - y = - 2

Na slici su prikazana dva pravca koja se sijeku u točki (-3,-1)

Zapišimo svaku jednadžbu u eksplicitnom oblikui odredimo po dvije točke svakog pravca.

x y = - x - 4 x , y
0 - 4 0 , - 4
- 1 - 3 - 1 , - 3


x y = x + 2 x , y
0 2 0 , 2
1 3 1 , 3

Nacrtajmo pravce u koordinatnoj ravnini. Rješenje sustava njihovo je sjecište.

Uređeni par - 3 , - 1 rješenje je sustava.


Zadatak 2.

Grafički riješi sustav.

3 x - y = 5  

5 x + y = 3  

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Na slici su prikazana dva pravca koja se sijeku.

Zadatak 3.

Rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama je  pravaca određenih tog sustava.

 

 

Sustav nema rješenje

Primjer 2.

Grafički riješimo sustav.

- x + y = 3  

3 x - 3 y = 6  

Na slici su prikazana dva usporedna pravca

Zapišimo svaku jednadžbu u eksplicitnom obliku i odredimo po dvije točke svakog pravca.

x y = x + 3 x , y
1 4 1 , 4
2 5 2 , 5
x y = x + 2 x , y
- 1 1 - 1 , 1
1 3 1 , 3

Nacrtajmo pravce u koordinatnoj ravnini.

Rješenje sustava sjecište je tih pravaca. Budući da su ova dva pravca usporedna i da nemaju zajedničkih točaka, vidimo da ovaj sustav nema rješenja.


Zadatak 4.

Grafički riješite sustav.

3 x - y = 5  

- 6 x + 2 y = 14  

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri. 

Povećaj ili smanji interakciju
na slici su prikazana dva usporedna pravca
Grafičko rješenje sustava dva su usporedna pravca, tj. sustav nema rješenja.

Zadatak 5.

Ako dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice određuju dva usporedna pravca, onda taj sustav nema rješenje. 

Pomoć:

Dva usporedna pravca nemaju zajedničkih točaka.

null

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja

Primjer 3.

Grafički riješimo sustav.

2 x + y = 4

6 x + 3 y - 12 = 0  

Na slici je nacrtan pravac

Zapišemo li svaku jednadžbu u eksplicitnom obliku, vidjet ćemo da obje jednadžbe određuju isti pravac y = - 2 x + 4 .

x y = - 2 x + 4 x , y
0 4 0 , 4
1 2 1 , 2

Koordinate svih točaka tog pravca zadovoljavaju obje jednadžbe sustava pa su one rješenje zadanog sustava i sustav ima beskonačno mnogo rješenja.


Zadatak 6.

Grafički riješite sustav.

3 x + y - 8 = 0  

6 x + 2 y - 16 = 0  

Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Na slici je prikazan pravac y=-3x+8

Zapišemo li svaku jednadžbu u eksplicitnom obliku, vidjet ćemo da obje jednadžbe određuju pravac  y = - 3 x + 8 .

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

Ponovimo!

Grafičko rješenje sustava

2 x - y = - 3 - x + y = 6

glasi:

Na slici su prikazana dva pravca koja se sijeku


null

Zadatak 7.

Grafičko rješenje sustava

3 x + y = 7 3 x + y + 1 = 0

glasi:

 

Postupak:

Na slici su prikazana dva usporedna pravca.

 ​

Zadatak 8.

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: 

3 x - y = 8  
5 x + y = 16  
2 x + 3 y = 6  
2 x + 3 y = - 6  
4 x + 2 y = 10  
6 x + 3 y = 18   ​

Pomoć:

 Grafički riješite sustave.

null

Zadatak 9.

  1. Za grafičko rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice odaberite njegove jednadžbe.

    Na slici su prikazana dva pravca koja se sijeku u točki (2,3)

    null
    null

  2. Na slici je nacrtan pravac y=5x-3


    null
    null

  3. Na slici su nacrtana dva usporedna pravca


    null
    null
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

ima jedno rješenje 
nema rješenja
 ima beskonačno mnogo rješenja
null
null
2

Na slici je prikazano grafičko rješenje sustava 

- 3 x + 2 y = 8  

3 x + 2 y = - 4  

Na slici su prikazana dva pravca koja se sijeku u točki (-2,1)


Pomoć:

 Grafički riješite sustav pomoću GeoGebre.

3

Odaberite sustav za zadano grafičko rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Na slici su nacrtana dva pravca koji se sijeku u točki (1,1)

4

Odaberite sustav za zadano grafičko rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

na slici su dva pravca koji se sijeku u točki (2,-3)

null
null
5

Odaberite sustav za zadano grafičko rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Na slici su nacrtana dva usporedna pravca

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

10.8 Primjena linearne funkcije u svakodnevnom životu