Matematika 7 - 7.4 Pravilni mnogokuti

Ponovimo.

Zadatak 1.

Spoji odgovarajuće parove.

Mnogokut koji ima tri vrha.	Trokut
Mnogokut koji ima dvanaest stranica.	Dvanaesterokut
Mnogokut koji ima šest unutarnjih kutova.	Šesterokut
Kvadrat	Četverokut

Pomoć:

Mnogokut koji ima $n$ stranica ima i $n$ vrhova i $n$ kutova. Takav mnogokut naziva se

$n - t e r o k u t$

Postupak:

$n$	mnogokut
$3$	trokut
$4$	četverokut (kvadrat)
$6$	šesterokut
$12$	dvanaesterokut

Zanimljivost

Na egipatskim i babilonskim spomenicima nalaze se pravilni četverokuti, šesterokuti i osmerokuti u obliku crteža ili kao ukrasi uklesani u kamenu ili napravljeni od kamena.

Pravilni mnogokuti su mnogokuti koji imaju sve stranice jednake duljine i sve kutove jednake veličine.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Svaki unutarnji kut jednakostraničnog trokuta ima $60^{\circ}$ .

Da.

Bravo!

Ne.

U jednakostraničnom trokutu svi su kutovi jednake veličine.

Pomoć:

Zbroj kutova u trokutu je $180^{\circ}$ .

Postupak:

$180 ° : 3 = 60 °$

Zadatak 3.

Pravilni četverokut naziva se:

romb.

Romb je četverokut koji ima sve stranice jednake duljine.

pravokutnik.

Pravokutnik je četverokut koji ima sve kutove jednake veličine.

kvadrat.

Kvadrat je četverokut koji ima sve stranice jednake duljine i sve kutove jednake veličine.

null

Zatvori

Do sada ste naučili da je zbroj veličina svih unutarnjih kutova $(n - 2) \cdot 180^{\circ} .$

U pravilnom mnogokutu svi su unutarnji kutovi međusobno jednaki, zato svaki unutarnji kut iznosi

$α_{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}$

Primjer 1.

Koliko stupnjeva ima unutarnji kut pravilnog deveterokuta?

$α_{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}$

$n = 9$

$α_{9} = \frac{(9 - 2) \cdot 180^{\circ}}{9} = \frac{7 \cdot 180^{\circ}}{9} = 140^{\circ}$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Koji pravilni mnogokut ima unutarnji kut veličine $156^{\circ} ?$

$a_{n} = 156^{\circ}$

$n = ?$

$\frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n} = 156^{\circ} / \cdot n$

$180^{\circ} n - 360^{\circ} = 156^{\circ} n$

$180^{\circ} n - 156^{\circ} n = 360^{\circ}$

$24^{\circ} n = 360^{\circ} / : 24$

$n = 15$

Pravilni petnaesterokut ima veličinu unutarnjeg kuta $156^{\circ} .$

Zadatak 5.

Kolika je veličina svih unutarnjih kutova pravilnog mnogokuta sa slike?

140^{\circ}

Netočno. Pokušajte ponovo.

144^{\circ}

Netočno. Pokušajte ponovo.

135^{\circ}

Bravo! Na slici je nacrtan pravilni osmerokut.

Pomoć:

Na slici je nacrtan pravilni osmerokut.

Postupak:

$α_{8} = \frac{(8 - 2) \cdot 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ}$

Zatvori

Svakom pravilnom mnogokutu možemo izračunati i veličinu vanjskog kuta. Od prije znamo da je zbroj veličina vanjskih kutova mnogokuta $\begin{array}{l} 360 ° \end{array} .$ Kako su svi oni međusobno jednaki u pravilnom $\begin{array}{l} n - t e r o k u t u \end{array},$ veličina vanjskog kuta iznosi $\begin{array}{l} {α_{n}}^{'} \end{array} = \begin{array}{l} \frac{360 °}{n} \end{array} .$

Zadatak 6.

Za zadani pravilni mnogokut odredite veličinu njegova vanjskog kuta.

Pomoć:

Na slici su nacrtani pravilni mnogokuti. Izračunaj vanjske kutove prema formuli $α' = \frac{360^{\circ}}{n} .$

Postupak:

$α_{5}' = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$

$α_{6}' = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$

$α_{8}' = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$

Primjer 2.

Izračunajmo veličinu vanjskog i unutarnjeg kuta pravilnog dvanaesterokuta.

Veličine kutova možemo izračunati tako da najprije odredimo veličinu vanjskog kuta:

$α_{12}' = \frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$

s obzirom da su vanjski i unutarnji kut sukuti, onda je

$\begin{array}{l} α_{12} = 180 ° \end{array} - 30 ° = 150 ° .$

Zadatak 7.

Izračunajte veličine unutarnjeg i vanjskog kuta pravilnog dvadeseterokuta.

$n = 20$

$α_{20}' = \frac{360^{\circ}}{20} = 18^{\circ}$

$α_{20} = 180^{\circ} - 18^{\circ} = 162^{\circ}$

Ponovimo!

Primjer 3.

Jednakostraničnom trokutu konstruirajmo opisanu i upisanu kružnicu.

Na slici je prikazan jednakostranični trokut, njegove simetrale stranica i opisanu kružnicu.

Konstruirajmo u bilježnici jednakostranični trokut $Δ A B C .$
Konstruirajmo simetrale stranica tog trokuta.
Sjecište tih simetrala označimo sa $S .$
Sjecište simetrala stranica je središte trokutu opisane kružnice.
Konstruirajmo trokutu opisanu kružnicu sa središtem u točki $S$ i polumjerom $r = |A S| .$
Konstruirajmo trokutu upisanu kružnicu sa središtem u točki $S$ i polumjerom $ρ = |S P|,$ gdje je $P$ polovište jedne stranice tog trokuta.

Na slici se nalazi peterokut i kružnica koja prolazi svim vrhovima peterokuta.

Opisana kružnica mnogokutu je kružnica koja prolazi kroz sve vrhove mnogokuta.

Primjer 4.

Zadanom kvadratu opišimo kružnicu. Kvadrat nacrtajte u bilježnicu.

Na slici je nacrtan kvadrat i kružnica koja prolazi kroz sve njegove vrhove

Nacrtaj dijagonale kvadrata.
Dijagonale kvadrata međusobno su jednake duljine i sijeku se u točki (označi je sa $S$ ) koja je njihovo polovište.
Točka $S$ je središte kvadratu opisane kružnice.
Konstruiraj kružnicu sa središtem u točki $S$ koja prolazi vrhovima kvadrata.

Na slici je nacrtan peterokut i kružnica koja dodiruje sve njegove stranice

Upisana kružnica mnogokutu je kružnica koja dodiruje sve stranice mnogokuta.

Primjer 5.

Zadanom kvadratu upišimo kružnicu. Nacrtajte kvadrat u bilježnicu.

Na slici je nacrtan kvarat, simetrale njegovih stranica i kružnica koja dodiruje sve njegove stranice

Konstruirajmo simetrale stranica kvadrata.
Simetrale kvadrata sijeku se u točki (označi je sa $S$ ) koja je središte kvadratu upisane kružnice.
Konstruiraj kružnicu sa središtem u točki $S$ koja sadrži polovišta stranica kvadrata.

Na slici je nacrtan pravilni šesterokut i njemu opisana i upisana kružnica.

Svakom se pravilnom mnogokutu može opisati i upisati kružnica. Središta tih kružnica se poklapaju i nalaze se u sjecištu simetrala unutarnjih kutova tog mnogokuta.

Karakteristični trokut

Spojimo li središte opisane (upisane) kružnice pravilnog mnogokuta s dva susjedna vrha, dobit ćemo jednakokračni trokut čiji su krakovi polumjer opisane kružnice, a osnovica stranica tog mnogokuta. Taj trokut zovemo karakteristični trokut.

Kut karakterističnog trokuta čiji je vrh u središtu opisane kružnice kut pravilnog $n$ -terokuta naziva se središnji kut i njegova veličine iznosi $β_{n} = \frac{360^{\circ}}{n}$ .

Kut pravilnog $n$ -terokuta

$α_{n} = 180^{\circ} - β_{n}$ ili

$α_{n} = \frac{(n - 2) 180^{\circ}}{n}$

Kut uz osnovicu karakterističnog trokuta jest $γ_{n} = \frac{α_{n}}{2}$

Primjer 6.

Izračunajmo veličine kutova karakterističnog trokuta pravilnog osmerokuta.

$n = 8$

$β_{8} = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$

$α_{8} = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

$γ_{8} = \frac{135^{\circ}}{2} = {67.5}^{\circ} = 67^{\circ} 30'$

Zadatak 8.

Izračunajte veličine kutova karakterističnog trokuta pravilnog $n$ -terokuta kojem možemo povući $17$ dijagonala iz svakog vrha.

Kako iz svakog vrha mnogokuta možemo povući $n - 3$ dijagonale, tada je:

$n - 3 = 17$

$n = 17 + 3$

$n = 20$

$β_{20} = \frac{360^{\circ}}{20} = 18^{\circ},$ $α_{20} = 180^{\circ} - 18^{\circ} = 162^{\circ},$ $γ_{20} = \frac{162^{\circ}}{2} = 81^{\circ} .$

Na slici je nacrtan peterokut kojemu su sve stranice jednake duljine i svi unutarnji kutovi jednake veličine.

Na slici je nacrtan pravilni mnogokut?

Da.

Bravo!

Ne.

Na slici je nacrtan peterokut kojemu su svi kutovi iste veličine i sve stranice jednake duljine.

null

Veličina središnjeg kuta pravilnog deseterokuta iznosi:

30^{\circ}

β_{n} = \frac{360^{\circ}}{n}

36^{\circ}

Bravo!

144^{\circ}

β_{n} = \frac{360^{\circ}}{n}

Pomoć:

$n = 10$

$β_{n} = \frac{360^{\circ}}{n}$

Postupak:

$β_{10} = \frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}$

Spoji odgovarajuće parove.

${α^{'}}_{n} = \frac{360^{\circ}}{n}$
$γ_{n} = \frac{α_{n}}{2}$
$(n - 2) \cdot 180^{\circ}$
$α_{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}$

Pomoć:

Ponovite formule za određivanje veličina kutova pravilnog mnogokuta.

ZAVRŠITE PROCJENU

7.4 Pravilni mnogokuti

Na početku...

Ponovimo.

Zadatak 1.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Ponovimo!

Karakteristični trokut

Zadatak 8.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

7.5 Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta