Matematika 7 - 9.2 Metoda supstitucije

Metoda supstitucije ili zamjene

Zapišimo rečenicu " $4$ jogurta i $2$ kifle stoje $24 kn$ " matematički kao linearnu jednadžbu s dvije nepoznanice. S $x$ označimo cijenu $1$ čašice jogurta, a s $y$ cijenu $1$ kifle.

Odaberite točnu jednadžbu.

2 x + 4 y = 24

Dobro pročitajte rečenicu i upute u zadatku.

4 x + 2 y = 24

2 x - 4 y = 24

Dobro pročitajte rečenicu i upute u zadatku.

4 x - 2 y = 24

Dobro pročitajte rečenicu i upute u zadatku.

null

S obzirom na to da znamo cijenu jedne čašice jogurta, $x = 5 kn,$ možemo uvrstiti, odnosno zamijeniti nepoznanicu $x$ u prvoj jednadžbi brojem $5 .$

Kad zamijenimo vrijednost nepoznanice $x$ brojem $5$ u prvoj jednadžbi, dobit ćemo jednostavniju jednadžbu $20 + 2 y = 24 .$

Da.

Ne.

Pogledajte uputu.

Pomoć:

$4 \cdot 5 = 20$

Postupak:

$4 \cdot 5 + 2 y = 24$

Dobili smo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom $y .$

Rješenje linearne jednadžbe

20 + 2 y = 24

y

Pogledajte uputu.

. Jedna kifla stoji

Pogledajte uputu.

kn .

Pomoć:

$20 + 2 y = 24$

$2 y = 24 - 20$

$2 y = 4$ $/ : 2$

$y = 2$

null

Zanimljivost

Substitution na engleskom jeziku znači zamjena.

Metoda supstitucije ili zamjene način je rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice u kojem jednu nepoznanicu zamjenjujemo nekim brojem ili izrazom i tako dobijemo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom.

Zamjena nepoznanice brojem

Najjednostavniji primjer metode supstitucije je kad jednu nepoznanicu možemo zamijeniti brojem i tako dobijemo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom, kako smo pokazali u primjeru s cijenom jogurta i kifle.

Primjer 1.

Riješimo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} 2 x + 4 y = - 2 \\ y = - 1 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Iz druge jednadžbe možemo odmah iščitati rješenje nepoznanice $y .$

Uvrstimo $y = - 1$ u prvu jednadžbu $2 x + 4 \cdot (- 1) = - 2$ i dobijemo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom $2 x - 4 = - 2$ koju znamo riješiti.

$2 x = - 2 + 4$
$2 x = 2$ $/ : 2$
$x = 1$

Rješenje sustava pišemo u obliku uređenog para $(x, y) .$

Rješenje sustava je uređeni par $(1, - 1) .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Provjerite je li uređeni par $(1, - 1)$ rješenje sustava.

$\begin{array}{l} 2 x + 4 y = - 2 \\ y = - 1 \end{array}$

Uvrstimo $x$ i $y$ iz uređenog para u prvu jednadžbu:

$\begin{array}{l} 2 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 = - 2 \\ 2 - 4 = - 2 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ - 2 = - 2 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Ovdje ne treba uvrštavati u drugu jednadžbu jer u njoj piše da je $y = - 1 .$

Uređeni par $(1, - 1)$ je rješenje sustava.

Zadatak 2.

Riješite sustave metodom supstitucije i spojite parove.

$\begin{array}{l} 3 x - 4 y = - 14 \\ y = 2 \end{array}$	$(5, 2)$
$\begin{array}{l} x = 5 \\ 4 x - 3 y = 14 \end{array}$	$(5, - 2)$
$\begin{array}{l} y = 2 \\ 3 x - 7 y = - 5 \end{array}$	$(- 2, 2)$
$\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 4 \\ x = 5 \end{array}$	$(3, 2)$

Pomoć:

Jedna jednadžba odmah daje rješenje. Zamijenite nepoznanicu tim rješenjem u drugoj jednadžbi s dvije nepoznanice.

null

Zadatak 3.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice metodom supstitucije.

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - \frac{1}{6} \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

U prvoj jednadžbi zamijenimo nepoznanicu $x$ brojem $\frac{2}{3}$ i dobijemo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom:

$\frac{4}{3} - 3 y = - \frac{1}{6}$ $/ \cdot 6$

$8 - 18 y = - 1$

$- 18 y = - 9$ $/ : (- 18)$

$y = \frac{1}{2}$

Rješenje sustava je $(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}) .$

Zatvori

Sustavi s koeficijentom $1$ uz nepoznanicu

Kad ni jednu nepoznanicu ne možemo zamijeniti brojem, gledamo koeficijente uz nepoznanice. Uočite u sljedećim primjerima i zadacima koeficijent $1$ uz nepoznanicu. Zbog svojstva množenja nekog broja s $1,$ koeficijent $1$ se ne mora pisati.

Učitelj na ploči pokazuje da ako u jednadžbi piše samo x ili y, znači da je koeficijent uz x ili y broj 1, odnosno da je to isto kao da piše 1x ili 1y.

Primjer 2.

Riješimo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice metodom supstitucije.

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 5 \\ 3 x + y = 9 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Detaljan postupak rješavanja sustava metodom supstitucije pogledajte u animaciji.

Zanimljivost

Dijelove matematičkih izraza koji su odvojeni znakom $+$ ili znakom $-$ nazivamo članovi matematičkog izraza.

Jednočlani matematički izraz nazivamo monom.

Dvočlani matematički izraz nazivamo binom.

Tročlani matematički izraz nazivamo trinom.

Sve matematičke izraze s više od tri člana nazivamo polinom.

Primjerice, izraz $2 x$ je monom, izraz $2 x - 3$ je binom, izraz $2 x + 3 y - 1$ je trinom, a izraz $x + y - 3 a + b$ je polinom.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Provjerite je li uređeni par $(2, 3)$ rješenje sustava.

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 5 \\ 3 x + y = 9 \end{array}$

Uvrstimo $x$ i $y$ iz uređenog para u prvu jednadžbu.

$\begin{array}{l} 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = - 5 \\ 4 - 9 = - 5 \\ - 5 = - 5 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Uređeni par je rješenje prve jednadžbe.

Uvrstimo $x$ i $y$ iz uređenog para u drugu jednadžbu.

$\begin{array}{l} 3 \cdot 2 + 3 = 9 \\ 6 + 3 = 9 \\ 9 = 9 \end{array}$

Uređeni par je rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Zadatak 5.

Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} x - y = - 1 \\ 2 x + 3 y = 3 \end{array}$

Uočimo koeficijent $1$ uz nepoznanicu $x$ u prvoj jednadžbi pa izrazimo taj $x$ iz prve jednadžbe.

$x - y = - 1$ $\to x = - 1 + y$
$\underline{2 x + 3 y = 3}$ (radi preglednosti možemo podvući sustav ravnom crtom).

Zamijenimo nepoznanicu $x$ u drugoj jednadžbi binomom $(- 1 + y) .$

$2 (- 1 + y) + 3 y = 3$

$- 2 + 2 y + 3 y = 3$

$5 y = 5$

$y = 1$

Zamijenimo nepoznanicu $y$ brojem $1$ u izrazu $x = - 1 + y$ i dobijemo $x = 0 .$

Rješenje sustava je uređeni par $(0, 1) .$

Ako želite, provjerite rješenje sustava.

Zadatak 6.

$$ Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i odaberite točan odgovor.

$\begin{array}{l} 4 x + y = 4 \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array} \\ 6 x - 2 y = - 1 \end{array}$

(\frac{1}{2}, 2)

(\frac{1}{2}, - 2)

Pogledajte uputu.

(2, - \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

(2, \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Izrazite $y$ iz prve jednadžbe kao $y = 4 - 4 x$ i zamijenite nepoznanicu $y$ u drugoj jednadžbi s $(4 - 4 x) .$

null

Zadatak 7.

Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} x + y = 2 \frac{3}{4} \\ x - y = 1 \frac{1}{4} \end{array}$

Uočimo da na tri mjesta imamo koeficijent $1,$ pa možemo birati koju nepoznanicu ćemo izraziti. Koju god nepoznanicu izrazili, rješenje mora biti isto. Mi ćemo ovdje izraziti $x$ iz druge jednadžbe. Vi pokušajte riješiti sustav tako da izrazite jednu od preostalih nepoznanica s koeficijentom $1$ , kako vam predlažemo u projektnom zadatku, i uvjerite se da će rješenje biti isto.

$x + y = 2 \frac{3}{4}$
$\underline{x - y = 1 \frac{1}{4}} \to x = 1 \frac{1}{4} + y$

$(1 \frac{1}{4} + y) + y = 2 \frac{3}{4}$

$\frac{5}{4} + y + y = \frac{11}{4}$

$2 y = \frac{11}{4} - \frac{5}{4}$

$2 y = \frac{3}{2} / : 2$

$y = \frac{3}{4} .$

$x = 1 \frac{1}{4} + y$

$x = \frac{5}{4} + \frac{3}{4}$

$x = 2$

Rješenje sustava je uređeni par $(2, \frac{3}{4}) .$

Zatvori

Projekt

Organizirajte se u parove. Jedan učenik u paru neka riješi sustav iz prethodnog zadatka tako da izrazi nepoznanicu $x$ iz prve jednadžbe, a drugi učenik neka riješi sustav tako da izrazi nepoznanicu $y$ iz prve jednadžbe.

Uočite da se u sva tri slučaja dobije isto rješenje zadanog sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Sustavi s koeficijentom $- 1$ uz nepoznanicu

Ne mora uvijek biti neki koeficijent uz nepoznanicu broj $1 .$ Pogledajmo kako se metodom supstitucije rješava sustav kojemu nije ni jedan koeficijent uz nepoznanicu broj $1,$ ali je jedan koeficijent ili više koeficijenata broj $- 1 .$

Primjer 3.

Riješimo metodom supstitucije sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 11 \begin{array}{l} \end{array} \\ - x + 2 y = 12 \end{array}$

U drugoj jednadžbi uočimo koeficijent $- 1$ uz nepoznanicu $x .$ Odabrat ćemo tu nepoznanicu za supstituciju.

$2 x + 3 y = 11$

$\underline{- x + 2 y = 12} \to - x = 12 - 2 y$

Izrazili smo $- x$ iz druge jednadžbe, ali nama za zamjenu nepoznanice $x$ u prvoj jednadžbi treba biti samo $x$ s lijeve strane izraza, pa ćemo lijevu i desnu stranu izraza podijeliti s $- 1 .$

$- x = 12 - 2 y / : (- 1)$

$x = - 12 + 2 y$

Sada možemo zamijeniti nepoznanicu $x$ u prvoj jednadžbi izrazom $(- 12 + 2 y)$ i riješiti dobivenu linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom.

$2 (- 12 + 2 y) + 3 y = 11$

$- 24 + 4 y + 3 y = 11$

$7 y = 11 + 24$

$7 y = 35 / : 7$

$y = 5$

Rješenje $y$ uvrstimo u dobiveni izraz

$x = - 12 + 2 y$

$x = - 12 + 2 \cdot 5$

$x = - 2$

Rješenje sustava je uređeni par $(- 2, 5) .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Provjerite je li uređeni par $(- 2, 5)$ rješenje sustava.

$\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 11 \\ - x + 2 y = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \cdot (- 2) + 3 \cdot 5 = 11 \\ - 4 + 15 = 11 \\ 11 = 11 \end{array}$

$\begin{array}{l} - (- 2) + 2 \cdot 5 = 12 \\ 2 + 10 = 12 \\ 12 = 12 \end{array}$

Uređeni par je rješenje sustava.

Zadatak 9.

Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i odaberite točno rješenje.

$\begin{array}{l} 2 x - y = - 10 \\ 3 x + 2 y = - 1 \end{array}$

(3, 4)

Pogledajte uputu.

(- 3, 4)

(- 3, - 4)

Pogledajte uputu.

(3, - 4)

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Izrazite iz prve jednadžbe $- y = - 10 - 2 x$ i pomnožite lijevu i desnu stranu s $(- 1),$ te zamijenite nepoznanicu $y$ u drugoj jednadžbi za dobiveni izraz.

Zadatak 10.

Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y = 4 \\ 3 x - y = 2 \end{array}$

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Izrazite iz druge jednadžbe $- y,$ pomnožite s $(- 1)$ i zamijenite nepoznanicu $y$ u prvoj jednadžbi dobivenim izrazom.

Postupak:

Nakon zamjene dobije se linearna jednadžba s jednom nepoznanicom $\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} (- 2 + 3 x) = 4$ koju treba riješiti.

Zatvori

Sustavi sa zajedničkim djeliteljem svih koeficijenata u istoj jednadžbi

U nekim jednadžbama postoji zajednički djelitelj svih koeficijenata pa si, ako to uočimo, možemo olakšati rješavanje jednadžbe tako da cijelu jednadžbu podijelimo tim djeliteljem.

Ako je taj zajednički djelitelj koeficijent uz jednu nepoznanicu u sustavu dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, dobijemo sustav u kojem imamo jedan koeficijent $1,$ pa ga možemo riješiti metodom supstitucije na već opisani način.

Zanimljivost

Prisjetimo se da svaku jednadžbu možemo podijeliti ili pomnožiti nekim brojem različitim od nule, a da pri tome rješenje jednadžbe ostane isto. Za jednadžbe koje pritom dobijemo kažemo da su ekvivalentne.

Primjer 4.

Riješimo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l} 2 x + 4 y = - 8 \\ 3 x - 5 y = - 1 \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$

Uočimo zajednički djelitelj $2$ u prvoj jednadžbi i podijelimo lijevu i desnu stranu jednadžbe s $2 .$

$2 x + 4 y = - 8 / : 2$
$x + 2 y = - 4$

Izrazimo iz te jednadžbe nepoznanicu $x,$ $x = - 4 - 2 y,$ supstituirajmo je u drugu jednadžbu i riješimo

$3 (- 4 - 2 y) - 5 y = - 1$
$- 12 - 6 y - 5 y = - 1$
$- 11 y = 11 / : (- 11)$
$y = - 1$

Uvrstimo $y$ u dobiveni izraz

$x = - 4 - 2 \cdot (- 1)$
$x = - 2$

Rješenje sustava je uređeni par $(- 2, - 1) .$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Provjerite je li uređeni par $(- 2, - 1)$ rješenje sustava

$\begin{array}{l} 2 x + 4 y = - 8 \\ 3 x - 5 y = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \cdot (- 2) + 4 \cdot (- 1) = - 8 \\ - 4 - 4 = - 8 \\ - 8 = - 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 \cdot (- 2) - 5 \cdot (- 1) = - 1 \\ - 6 + 5 = - 1 \\ - 1 = - 1 \end{array}$

Uređeni par je rješenje sustava.

Zadatak 12.

Riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice
$\begin{array}{l} 7 x - 5 y = - 20 \\ 6 x + 3 y = 12 \end{array}$ Zajedničkog djelitelja svih koeficijenata uočavamo u jednadžbi.

Pomoć:

Uočite koeficijente $6,$ $3$ i $12 .$

Cijelu jednadžbu podijelimo brojem

6

Zajednički djelitelj brojeva je manji od tih brojeva ili jednak njima.

3

12 .

Zajednički djelitelj brojeva je manji od tih brojeva ili jednak njima.

null

Nova jednadžba glasi $2 x + y = 4 .$

Da.

Ne.

Podijelite lijevu i desnu stranu druge jednadžbe s

3 .

null

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Izrazite $y = 4 - 2 x$ iz novodobivene jednadžbe i zamijenite s $y$ u prvoj jednadžbi.

Postupak:

Nakon supstitucije treba riješiti linearnu jednadžbu $7 x - 5 (4 - 2 x) = - 20 .$

Zadatak 13.

Riješite metodom supstitucije sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

$\begin{array}{l} - 2 x + 6 y = 4 \\ 4 x - 7 y = - 3 \end{array}$

Provjerite dobiveno rješenje.

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Uočimo zajednički djelitelj koeficijenata u prvoj jednadžbi, podijelimo cijelu jednadžbu s $- 2,$ zatim izrazimo $x$ iz te jednadžbe.

null

Zatvori

Uvježbajmo

Na stranicama prikazanih kvadratića napisani su zadatci i rješenja. Kvadratiće premještajte mišem i složite ih tako da spojite odgovarajući zadatak s odgovarajućim rješenjem. Klikom na kvadratić s označenim upitnikom interakcija postavlja odgovarajući kvadratić u srednje polje kako bi slaganje bilo olakšano. Klikom na gumb s kvačicom provjerite jeste li kvadratiće stavili na točna mjesta. Ako jeste, u kvadratiću će se pojaviti kvačica. Kvadratiće možete i rotirati lijevom i desnom strelicom u gornjim kutovima kvadratića. Na rubovima će vam ostati zadatci ili rješenja koji se ne mogu spojiti.

Primjer 7.

Riješimo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice tako da uočimo jednake koeficijente uz istu nepoznanicu u obje jednadžbe.

$\begin{array}{l} 2 x + 5 y = - \frac{5}{3} \begin{array}{l} \end{array} \\ 2 x - 3 y = 3 \frac{2}{15} \end{array}$

Izrazimo $2 x$ iz obje jednadžbe.

$\begin{array}{l} 2 x = - \frac{5}{3} - 5 y \\ \underline{2 x = \frac{47}{15} + 3 y} \end{array}$

Ako su lijeve strane nekih jednakosti jednake, moraju biti jednake i njihove desne strane. Ovdje vidimo da su lijeve strane obje jednake $2 x,$ pa možemo izjednačiti njihove desne strane.

$- \frac{5}{3} - 5 y = \frac{47}{15} + 3 y$

Dobili smo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom koju znamo riješiti.

$- \frac{5}{3} - 5 y = \frac{47}{15} + 3 y / \cdot 15$
$- 25 - 75 y = 47 + 45 y$
$- 75 y - 45 y = 47 + 25$
$- 120 y = 72 / : (- 120)$
$y = - \frac{3}{5}$

Uvrstimo u bilo koji od izraza dobivenih za $2 x,$ primjerice prvi.

$2 x = - \frac{5}{3} - 5 \cdot (- \frac{3}{5})$
$2 x = - \frac{5}{3} + 3$
$2 x = \frac{4}{3} / : 2$
$x = \frac{2}{3}$

Rješenje sustava je uređeni par $(\frac{2}{3}, - \frac{3}{5}) .$

Zanimljivost

Ova metoda rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, kad uočimo jednake koeficijente uz istu nepoznanicu u obje jednadžbe, naziva se metoda komparacije (usporedbe).

Ako nemamo jednake koeficijente uz iste nepoznanice, katkad je dobro izraziti iz obiju jednadžbi istu nepoznanicu, pa izjednačiti dobivene izraze.

Rješavanje navedenom metodom je praktično u geometrijskim zadacima i u zadacima u kojima unaprijed imamo izražene neke jednake veličine s lijeve strane, pa samo izjednačimo njihove desne strane.

Zadatak 19.

Uočite jednake koeficijente uz iste nepoznanice u obje jednadžbe sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice pa riješite sustav metodom komparacije. Provjerite dobiveno rješenje.

$\begin{array}{l} 3 x - 2 y = - 6 \\ 4 x - 2 y = - 8 \end{array}$

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Izrazite iz obje jednadžbe $- 2 y$ i zatim izjednačite njihove desne strane.

Postupak:

$- 6 - 3 x = - 8 - 4 x$

Metoda supstitucije je način rješavanja

dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice u kojem jednu nepoznanicu

nekim brojem ili izrazom i tako dobijemo linearnu jednadžbu s jednom

nepoznanicom

zamijenimo

sustava

Pomoć:

Pažljivo pročitajte rečenicu.

null

Kad je metoda supstitucije posebno pogodna za rješavanje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice?

Kad je koeficijent uz barem jednu nepoznanicu broj

1.

Kad je koeficijent uz barem jednu nepoznanicu broj

- 1.

Nikad.

Ponovite metodu supstitucije.

Kad barem u jednoj jednadžbi možemo naći zajednički djelitelj svih koeficijenata.

null

Zadan je sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

$\begin{array}{l} 3 x - 2 y = - 3 \\ x = 1 \end{array}$

Poredajte korake rješavanja sustava metodom supstitucije tako da dobijete vrijednost nepoznanice $y .$

$3 \cdot 1 - 2 y = - 3$
$- 2 y = - 3 - 3$
$3 - 2 y = - 3$
$- 2 y = - 6$
$y = 3$
$- 2 y = - 6 / : (- 2)$

Pomoć:

Zamijenite nepoznanicu $x$ brojem $1$ u prvoj jednadžbi i riješite dobivenu linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom $y .$

null

Riješite metodom supstitucije sustav dviju linearnih jednadžbi:

$\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 7 \\ 4 x + y = 0 \end{array} .$

Odaberite točno rješenje.

(2, \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

(\frac{1}{2}, - 2)

(- \frac{1}{2}, 2)

Pogledajte uputu.

(- 2, \frac{1}{2})

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Iz druge jednadžbe izrazite $y$ i zamijenite nepoznanicu $y$ u prvoj jednadžbi tim izrazom.

Postupak:

$y = - 4 x$

Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

\begin{array}{l} 17 x + 2 y = 3 \\ 18 x + 3 y = 12 \end{array} .

Rješenje sustava je uređeni par (

Pogledajte uputu.

). Dobiveno rješenje provjerite.

Pomoć:

Drugu jednadžbu podijelite zajedničkim djeliteljem i izrazite $y$ iz te jednadžbe. Zatim ga zamijenite s $y$ u prvoj jednadžbi.

Postupak:

$18 x + 3 y = 12 / : 3$

$6 x + y = 4$

$y = 4 - 6 x$

Metodom supstitucije riješite sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
$\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 12 \\ 2 x + 3 y = 13 \end{array} .$ Rješenje sustava je uređeni par ( . ). Dobiveno rješenje provjerite.

Pomoć:

Predlažemo da iz prve jednadžbe izrazite nepoznanicu $y .$

Postupak:

$3 x + 2 y = 12 \to y = - \frac{3}{2} x + 6$

ZAVRŠITE PROCJENU

Na početku...

Metoda supstitucije ili zamjene

Zanimljivost

Zamjena nepoznanice brojem

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Sustavi s koeficijentom 1 uz nepoznanicu

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Projekt

Sustavi s koeficijentom - 1 uz nepoznanicu

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Sustavi sa zajedničkim djeliteljem svih koeficijenata u istoj jednadžbi

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Sustavi s koeficijentima različitim od 1 ili - 1 i koji nemaju zajedničkog djelitelja

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Projekt

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Uvježbajmo

Zanimljivost

Zadatak 19.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

9.3 Metoda suprotnih koeficijenata

Sustavi s koeficijentom $1$ uz nepoznanicu

Sustavi s koeficijentom $- 1$ uz nepoznanicu

Sustavi s koeficijentima različitim od $1$ ili $- 1$ i koji nemaju zajedničkog djelitelja