x
Učitavanje

8.5 Opseg kruga i duljina kružnog luka

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Što mislite, jesu li uspjeli točno izmjeriti duljinu staze oko jezera?

Broj π

Hoćemo li uvijek moći mjeriti duljinu ruba kruga koracima?

Što ako je dio staze oko jezera neprohodan ili je neki krug neprikladan za hodanje oko njega i mjerenje?

Dobivamo li takvim mjerenjem točnu ili približnu duljinu ruba kruga?

Možemo li duljinu ruba kruga izmjeriti ravnalom?

Ne možemo uvijek na taj način mjeriti duljinu ruba kruga.

Na taj način dobivamo približnu duljinu.

Za točnu duljinu trebamo neku drugu metodu.

Krug je krivulja pa duljinu ruba kruga ne možemo izmjeriti ravnalom.


Duljinu ruba nekog pravokutnika, trokuta ili mnogokuta nazivamo opseg tog lika. Rub kruga je njegova pripadna kružnica.

Opseg kruga je duljina njegove pripadne kružnice.

Projekt

Donesite od kuće neki kružni oblik, primjerice selotejp, kovanicu, poklopac ili nešto slično. Također vam treba komad konopca i ravnalo.

Ovaj projekt radite u parovima.

Konopac omotajte oko kružnog oblika samo jedanput, odrežite uže na tu duljinu, rastvorite ga i prislonite uz ravnalo.

Izradite tablicu i zapišite duljinu opsega svojega kružnog oblika u tablicu.

Zatim izmjerite promjer svojega kružnog oblika i također zapišite u tablicu.

Podijelite izmjerenu duljinu opsega kruga i promjer kruga.

Usporedite dobivene količnike s ostalim parovima u razredu.

Što primjećujete?

Zbog nepreciznog mjerenja dobili ste samo približno isti količnik, ali preciznim instrumentima dobili biste za krugove različitih promjera količnik duljine opsega kruga i promjera toga kruga uvijek isti broj.

Uvjerite se u to interaktivnom GeoGebrinom simulacijom. Odaberite kuglu ili loptu po želji, uočite duljinu promjera, kliknite na ljubičasti gumb i pogledajte duljinu najveće rubne kružnice tog tijela, odnosno njen opseg. Uočite omjer opsega i promjera te kružnice. Koji je to broj?

Povećaj ili smanji interakciju

Mjerenjem i dijeljenjem opsega kruga i njegova promjera, i u interakciji smo dobili broj približne vrijednosti 3.14 .

Taj broj označavamo grčkim slovom π i čitamo "pi".

π 3.14

Zanimljivost

Na slici je 25 decimala broja pi

Broj π je beskonačni decimalni broj kojem se znamenke ne ponavljaju. Matematičari obilježavaju 14. ožujka kao Dan broja π . Oznaku je uveo u 18. stoljeću engleski matematičar William Jones, ali su za činjenicu da omjer opsega i promjera kruga nije racionalan broj znali još Babilonci. Nizozemski matematičar Ludolph van Ceulen je oko 1600. godine bez pomoći računala izračunao prvih 35 decimala broja π , pa se po njemu katkad taj broj naziva i Ludolfov broj. Japanski matematičar Yasumasa Kanada je 2005. godine na superračunalu odredio 1 241 100 000 000 decimala broja π , a izračun je trajao 600 sati. Ljudi često pokušavaju izgovarati napamet što više znamenki broja π , a rekorder je 60 -godišnji Japanac koji je zapamtio 100 000 znamenki. Na slici je prvih 25 decimala broja π .

Projekt

Na slici je pita s brojem pi

Proslavite 14. ožujka Dan broja π tako da pronađete na internetu još decimala broja π . Pokušajte ih zapamtiti što više. Organizirajte natjecanje u razredu tko je zapamtio najviše decimala. Ako želite, taj dan donesite u razred i pitu (pie) kružnog oblika.

Zadatak 1.

Podaci na slici dobiveni su mjerenjem. Kad bismo vodoravno presjekli jelu Kraljicu šume iz park-šume Golubinjak u Gorskom kotaru, dobili bismo savršen krug. Jelu nećemo rezati. Odgovor ćemo saznati računanjem.

Pomoć:

Podijelite opseg jele s njezinim promjerom.

Ako dobijete broj 3.14 , vodoravni presjek jele je savršen krug.

Ako ne dobijete broj 3.14 , vodoravni presjek jele nije savršen krug.

Postupak:

Izračunajte 4.43 : 1.42 .

Opseg kruga

Označimo opseg kruga s o , a promjer s d . Iz činjenice da je o : d = π , slijedi formula za opseg kruga, o = d · π . Za duljinu promjera kruga znamo da je jednaka dvostrukoj duljini njegova polumjera, tj. d = 2 r pa formulu pišemo:

Formula za opseg kruga je o = 2 r π .

Primjer 1.

Izračunajmo opseg kruga polumjera 4 cm .

Opseg kruga možemo izračunati približno tako da uvrstimo u formulu za opseg kruga zadanu vrijednost polumjera i približnu vrijednost broja π , najčešće na dvije decimale, π 3.14 .

r = 4 cm

o 2 · 4 · 3.14  

o 25.12 cm .

Ako želimo točnu vrijednost opsega, pišemo:

o = 2 · 4 · π  

o = 8 π cm .


Zadatak 2.

Na slici su vjetroagregati vjetroelektrane

Duljina lopatice vjetroagregata u blizini Senja je 45 metara. Opseg kruga koji načini lopatica pri jednom okretu je približno metra.

Pomoć:

Duljina lopatice je polumjer kruga koji opiše u jednom okretu.


Postupak:

o = 2 · 45 · 3.14   ​

Zanimljivost

Na slici su vjetroagregati vjetroelektrane

Vjetroelektrana Vrataruša kod Senja nalazi se na obroncima Velebita. Izgrađena je 2009. godine. To je prva i najveća vjetroelektrana u Republici Hrvatskoj. Sastoji se od 14 vjetroagregata pojedinačne snage 3 MW (megavata). Visina vjetroagregata je 80 metara.

Zadatak 3.

Točna vrijednost opsega kruga polumjera 3 cm je 3 π cm .

Pomoć:

o = 2 · 3 · π

 

Zadatak 4.

Izračunajte približnu vrijednost opsega poklopca oblika kruga kreme za njegu usana, promjera 6 cm .

Pomoć:

Polumjer kruga je 6 : 2 = 3 cm .

Postupak:

o 6 · 3.14

Primjer 2.

Promjer kotača brdskog bicikla je 29 inča.

  1. Ako znamo da je 1 inč = 2.54 cm , koliki je opseg kotača?
  2. Koliki put prijeđe bicikl kad kotači naprave puni okret?
  3. Koliko se puta kotači okrenu kad bicikl prijeđe 500 m ?
  1. Promjer kotača je 29 · 2.54 = 73.66 cm . Opseg kotača je približno 73.66 · 3.14 = 231.29 cm .
  2. Kad kotači naprave puni okret, bicikl prijeđe put jednak opsegu kotača, približno 231.29 cm .
  3. 500 m = 50 000 cm . Kad bicikl prijeđe 500 m , kotači se okrenu približno 50 000 : 231.29 = 216 puta.​

Zadatak 5.

Promjer stražnjeg kotača traktora je 1.2 m , a prednjeg 0.9 m . Ako je traktor prešao 1 km , prednji kotač se okrenuo približno puta, a stražnji puta.

Pomoć:

1 km = 1000 m

Prijeđeni put podijelite s opsegom kotača.

Postupak:

Opseg manjeg kotača = 0.9 · 3.14 .

Opseg većeg kotača = 1.2 · 3.14 .

Primjer 3.

Izračunajmo polumjer kruga kojem je opseg 14 π cm .

Uvrstimo zadani opseg u formulu

o = 2 r π  

14 π = 2 r π / : π  

14 = 2 r  

r = 7 cm .

Polumjer kruga je 7 cm .


Zadatak 6.

Izračunajte polumjer kruga opsega 25.12 cm .

Uvrstimo zadani opseg u formulu i dobijemo jednadžbu

25.12 = 2 r π  

25.12 = 2 · r · 3.14  

25.12 = 6.28 · r  

r = 25.12 : 6.28  

r = 4 cm .

Polumjer kruga je 4 cm .


Zadatak 7.

Žica je duga 47.1 cm . Ako je savijemo u krug, koliki će biti polumjer toga kruga?

Pomoć:

Duljina žice je opseg kruga.

Postupak:

Polumjer = 47.1 : 6.28 .

Zadatak 8.

Na slici je crijevo za zalijevanje travnjaka namotano u kolut na stalku

Crijevo za zalijevanje travnjaka dugo je 9.42 m . Namotano je 10 puta oko koluta na stalku. Promjer koluta je cm .

Pomoć:

9.42 m = 942 cm .

Postupak:

Opseg jednog namotaja je 942 : 10 .

Promjer koluta d = 94.2 : 3.14 .

Duljina kružnog luka

Zadatak 9.

Na slici je narančastom bojom označen manji kružni luk AB

Na kružnici je označen luk A B .

 

null

Kružni luk je dio kružnice, a duljina kružnice je opseg kruga. Ako možemo računati duljinu kružnice, možemo računati i duljinu njezinih dijelova.

Oznaka duljine kružnog luka je malo pisano slovo l , kao na slici.

Zadatak 10.

Na slikama su kružnice istog polumjera. Sa slika vidimo da ako je veći središnji kut, onda je pripadni kružni luk.

Pomoć:

Pažljivo pogledajte slike.

null

Zadatak 11.

Na slici je narančastom bojom označen kružni luk koji je polukružnica

  1. Polumjer kruga je 3 cm , opseg kruga je π cm .
    null
    null
  2. Duljina polukružnice je opsega kruga, tj. u ovom slučaju π cm .

    Pomoć:

    Polukružnica je pola kružnice.

    null
  3. Središnji kut od 180 ° je pola punog kuta od 360 ° .

    null

Zadatak 12.

Na slici je narančastom bojom označena četvrtina kružnice

  1. Središnji kut na slici je kut i iznosi .

    Pomoć:

    Pažljivo pogledajte sliku.

    null
  2. Središnji kut od 90 ° je punog kuta od .

    Pomoć:

    Prisjetite se veličina kutova i njihovih naziva.

    null
  3. Duljina pripadnog kružnog luka je opsega kruga.

    Pomoć:

    Ako središnji kut podijelimo na 4 jednaka dijela, i krug je podijeljen na 4 jednaka dijela, pa je i kružnica podijeljena na 4 jednaka dijela.

    null

Zadatak 13.

Cijeloj kružnici pripada središnji kut od 360 ° . Spojite parove dijelova kružnice i pripadnog središnjeg kuta.

šestina kružnice
središnji kut 72 °
desetina kružnice
središnji kut 60 °
petina kružnice
središnji kut 36 °
trećina kružnice
središnji kut 120 °  

Pomoć:

Nacrtajte kružnicu bilo kojeg polumjera. Puni kut iznosi 360 ° . Podijelite puni kut, nacrtajte kutomjerom središnji kut.

null

Zadatak 14.

Polumjer kruga je 6 cm . Izračunajte opseg toga kruga.

null

Opseg kruga je duljina pripadne kružnice. Za krug polumjera 6 cm spojite parove dijela kružnice i duljine pripadnog kružnog luka.

šestina kružnice
3 π cm
četvrtina kružnice
4 π cm
trećina kružnice
2 π cm
dvanaestina kružnice
π cm

Pomoć:

Podijelite kružnicu na tri, četiri, šest i dvanaest dijelova, zatim podijelite opseg s tri, četiri, šest ili dvanaest.

Postupak:

šestina kružnice
četvrtina kružnice
trećina kružnice

dvanaestina kružnice

 ​

Zadatak 15.

Pogledajte još jedanput prethodna četiri zadatka i razmislite o promjenama veličine središnjeg kuta i duljine pripadnog kružnog luka. Što možete zaključiti?

Koliko se puta povećala veličina središnjeg kuta, toliko se puta duljina pripadnog kružnog luka iste kružnice. Koliko se puta smanjila veličina središnjeg kuta, toliko se puta duljina pripadnog kružnog luka iste kružnice.

Pomoć:

Dobro pogledajte prethodne zadatke i promotrite veličine središnjih kutova i duljine pripadnih kružnih lukova.

null

Duljina kružnog luka i veličina pripadnog središnjeg kuta iste kružnice međusobno su veličine.

Pomoć:

Ako za dvije veličine vrijedi: koliko puta se poveća ili smanji jedna veličina, toliko će se puta povećati ili smanjiti i druga veličina, za te dvije veličine kažemo da su proporcionalne veličine.


null

Duljina kružnog luka l i veličina pripadnog središnjeg kuta α su proporcionalne veličine pa vrijedi razmjer:
duljina kružnog luka l : opseg kruga 2 r π = veličina pripadnog središnjeg kuta α : veličina punog kuta 360 ° , odnosno l : 2 r π = α : 360 ° .

Riješimo razmjer

l · 360 ° = 2 r π · α / : 360 °

l = 2 r π · α 360 °

skratimo razlomak s 2 i dobijemo formulu za duljinu kružnog luka

l = r π α 180 °

Duljina kružnog luka l kružnice polumjera r s pripadnim središnjim kutom α računa se prema formuli: l = r π α 180 °

Primjer 4.

Polumjer kruga je 4 cm . Izračunajmo duljinu kružnog luka kojem pripada središnji kut od 20 ° .

Duljinu kružnog luka računamo prema formuli l = r π α 180 °
l = 4 · π · 20 ° 180 °

l = 4 · π · 20 ° 180 °

l = 4 π 9 cm ili približno (za približno računanje preporučujemo upotrebu džepnog računala)

l 1.4 cm


Zadatak 16.

Polumjer kruga je 8 cm . Izračunajte duljinu kružnog luka kojem pripada središnji kut od 20 ° .

Uvrstimo r = 8 cm i α = 20 ° u formulu za duljinu kružnog luka.

l = 8 · π · 20 ° 180 °

l = 8 π 9 2.8 cm


Zadatak 17.

Primijetimo da su u primjeru i zadatku središnji kutovi jednakih veličina, ali su polumjeri kružnica različitih duljina. Što možete zaključiti za duljine pripadnih kružnih lukova?

Ako je polumjer kružnice dvostruko dulji, za središnji kut jednake veličine dobit ćemo   kružni luk.

Pomoć:

Usporedite polumjere, središnje kutove i duljine kružnih lukova primjera i zadatka.

null

Duljina kružnog luka i duljina polumjera kružnice međusobno su veličine.

Pomoć:

Ako za dvije veličine vrijedi: koliko se puta poveća jedna veličina, toliko će se puta povećati i druga veličina, za te veličine kažemo da su proporcionalne.

null

Zadatak 18.

Izračunajte duljinu kružnog luka l kojem pripada središnji kut α kružnice polumjera r .

r = 2 cm , α = 90 °
l = π cm
r = 3 cm , α = 120 °
l = 2 π 3 cm
r = 2 cm , α = 60 °
l = π 4 cm
r = 1 cm , α = 45 °
l = 2 π cm

Pomoć:

Uvrstite duljinu polumjera i veličinu kuta u formulu za duljinu kružnog luka, skratite razlomak i pomnožite preostale brojeve ili zadatak riješite logički s pomoću dijelova punog kuta i proporcionalno dijela opsega kruga.

null

Zadatak 19.

Velika kazaljka sata duga je 9 cm . Koliki kut napravi kad se pomakne od broja 3 do broja 10 ?

Pomoć:

Sat je podijeljen na 12 brojeva. Između svaka dva broja je kut 360 ° : 12 = 30 ° .

Postupak:

7 · 30 °

Kazaljka pri tome prijeđe put od približno cm .

Pomoć:

π 3.14

Primjer 5.

Izračunajmo duljinu polumjera kruga ako je duljina kružnog luka 2 π 3 cm s pripadnim središnjim kutem 30 ° .

U formulu za duljinu kružnog luka uvrstimo poznate podatke

l = r π α 180 °

2 π 3 = r π 30 ° 180 ° / : π

2 3 = r 30 ° 180 ° skratimo razlomak s 30

2 3 = r 6 / · 6

r = 4 cm .

Duljina polumjera kruga je 4 cm .


Zadatak 20.

Izračunajte duljinu promjera kruga ako je duljina kružnog luka približno 23.55 cm i pripadni središnji kut 270 ° .

U formulu za duljinu kružnog luka uvrstite poznate podatke i približnu vrijednost broja π 3.14 .

23.55 = r · 3.14 · 270 ° 180 ° (za račun preporučujemo upotrebu džepnog računala)

23.55 = 4.71 · r

r = 5 cm .

Promjer kruga je 10 cm .


Primjer 6.

Duljina promjera kruga je 7.2 cm . Izračunajmo veličinu središnjeg kuta kružnog luka duljine približno 2.512 cm .

Polumjer kruga je 3.6 cm . Nakon uvrštavanja podataka u formulu za duljinu kružnog luka, dobijemo jednadžbu ​ 2.512 = α · 0.0628 , iz koje slijedi α = 40 ° .

Veličina središnjeg kuta je 40 ° .


Zadatak 21.

Duljina zavoja ceste je 70.65 m . Izračunajte pripadni središnji kut zavoja ako je njegov polumjer 90 m .

Pomoć:

Duljina zavoja je duljina kružnog luka.

π 3.14  

Postupak:

70.65 = α · 1.57  

Primjer 7.

Izračunajmo duljinu kružnog luka nad jednom stranicom pravilnog deveterokuta upisanog u kružnicu opsega 10 π cm .

Na slici je narančastom bojom označen kružni luk nad jednom stranicom pravilnog deveterokuta

Iz opsega kruga izračunamo polumjer r = 5 cm . Središnji kut karakterističnog trokuta pravilnog deveterokuta je 360 ° : 9 = 40 ° . To je ujedno središnji kut kružnog luka nad jednom stranicom pravilnog deveterokuta. Uvrstimo te podatke u formulu za duljinu kružnog luka.

Duljina kružnog luka nad jednom stranicom pravilnog deveterokuta je l = 10 π 9 3.49 .


Zadatak 22.

Odredite opseg kruga opisanog pravilnom šesterokutu kojem je duljina kružnog luka nad jednom stranicom  9 π 5 cm .

Središnji kut pravilnog šesterokuta je 60 ° . Iz jednadžbe 9 π 5 = r · π · 60 ° 180 ° dobijemo r = 5.4 cm , a opseg kruga opisanog tom pravilnom šesterokutu je 10.8 π 33.9 cm .

Rješenje možete dobiti i iz omjera opsega kružnice i duljine kružnog luka.


Kutak za znatiželjne

Zadatak 23.

U kružnicu promjera 12.6 cm upisan je pravilni mnogokut. Koji je to mnogokut ako je duljina kružnog luka nad jednom stranicom približno 3.9564 cm ?

U formulu za duljinu kružnog luka uvrstimo podatke i dobijemo α = 36 ° . Iz formule za veličinu središnjeg kuta pravilnog mnogokuta dobijemo n = 10 .

Mnogokut je pravilni deseterokut.


Zadatak 24.

Na slici je motiv listića na platnenoj božićnoj salveti čiji su rubovi dva kružna luka

Izračunajte duljinu zelenog konca potrebnog za obrub zelenog lika koji predstavlja motiv listića na platnenoj božićnoj salveti. Duljina stranice kvadrata je 3 cm, a konca treba tri puta više od duljine obruba listića.

Rub listića sastoji se od dva kružna luka polumjera 3 cm i pripadnog središnjeg kuta od 90 ° .
Duljina jednog kružnog luka je 4.71 cm , duljina ruba listića je 4.71 · 2 = 9.42 cm , a duljina konca je 9.42 · 3 = 28.26 cm .

Zelenog konca treba 28.26 cm .


Zadatak 25.

Na slici je traktor sa dva velika i dva mala kotača

Promjer prednjeg kotača traktora je 0.9 m , a stražnjeg 1.2 m . Koliki je put prešao traktor ako je stražnji kotač načinio 100 okreta manje nego prednji.

Označimo s n 1 broj okreta prednjeg kotača i s o 1 opseg prednjeg kotača, a s n 2 broj okreta stražnjeg kotača i o 2 opseg stražnjeg kotača. Tada je n 1 = 100 + n 2 . Put koji je prešao prednji kotač jednak je putu koji je prešao stražnji kotač. Put koji je prešao prednji kotač je n 1 · o 1 = n 1 · 0.9 · π , a put koji je prešao stražnji kotač je n 2 · o 2 = n 2 · 1.2 · π . Izjednačimo te jednadžbe i uvrstimo n 1 = 100 + n 2 .

n 2 + 100 · 0.9 = n 2 · 1.2

0.9 n 2 + 90 = 1.2 n 2  

n 2 = 300 , n 1 = 400 .

Put je n 1 · o 1 = n 1 · 0.9 · π 1130.4 m .

Traktor je prešao put od 1130.4 m .


...i na kraju

U ovoj jedinici naučili ste povezati duljinu promjera i opseg kruga te veličinu središnjeg kuta i duljinu kružnog luka iste kružnice. Upoznali ste beskonačni decimalni broj π i vidjeli primjenu znanja opsega kruga i duljine kružnog luka u problemima iz matematike i svakodnevnog života.

Na kraju provjerite koliko ste naučili kratkom procjenom znanja.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Kako nazivamo broj koji dobijemo kao količnik opsega i promjera kruga?

Pomoć:

Pogledajte dio jedinice o tom broju i prisjetite se naziva beskonačnog decimalnog broja, koji ima i svoj dan, 14. ožujka.

null
2

Formula za opseg kruga je o = r π .

Pomoć:

Formula za opseg kruga je

o = 2 r π .

null
3
Broj π iznosi približno .

Pomoć:

Zapišite barem dvije decimale broja π , ali možete zapisati i više decimala ako ste ih zapamtili ili pronašli na internetu.

null
4

Izračunajte točno ili približno opseg kruga ako je zadana duljina promjera d ili polumjera r kruga.

d = 5 cm
o = 5 π cm
r = 4 cm
o 18.84 cm
d = 7 cm
o = 8 π cm
r = 3 cm
o 21.98 cm

Pomoć:

π 3.14

null
5
Formula l = r π α 180 °   je formula za kružnog luka, gdje je r kruga, a α kut koji pripada zadanom luku.

Pomoć:

Pogledajte formulu za duljinu kružnog luka.

null
6

Izračunajte točno ili približno duljinu kružnog luka ako su zadani polumjer r kruga i središnji kut α koji pripada tom kružnom luku.

r = 2 cm , α = 72 °
l 2.355 cm
r = 3 cm , α = 45 °
l = 5 π 4 cm
r = 1.5 cm , α = 20 °
l 2.512 cm
r = 2.5 cm , α = 90 °
l = π 6 cm

Pomoć:

π 3.14

Postupak:

Razlomke skratite nakon uvrštavanja podataka u formulu .

7

Opseg kruga je 4 π cm , a duljina kružnog luka 3 π 5 . Izračunajte veličinu pripadnog središnjeg kuta.

Pomoć:

Iz opsega kruga izračunajte polumjer kruga.

Prema formuli za duljinu kružnog luka i polumjera odredite veličinu središnjeg kuta.

Postupak:

4 π = 2 r π

3 π 5 = r π α 180 °

8
Promjer kružnog toka duljine 314 dm je m .

Pomoć:

Broj  π zaokružite na najmanje dvije decimale.

9
Mlinski kotač ima promjer 6 metara. Jedna lopatica obojena je crvenom bojom. Pri jednom okretu kotača ta lopatica prijeđe put od m . Pri 300 okreta kotača, lopatica prijeđe put od m .

Pomoć:

Broj  π zaokružite na najmanje dvije decimale.

null
10

Na rub stolnjaka kružnog oblika našiveno je približno 3.8 m ukrasne vrpce. Izračunajte promjer stolnjaka.

Pomoć:

Promjer u metrima zaokružite na jednu decimalu. Promjer u centimetrima zaokružite na desetice. Duljina vrpce je također zaokružena na jednu decimalu.

null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

8.6 Površina kruga i kružnog isječka