x
Učitavanje

7.7 Površina mnogokuta

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Do sada ste naučili izračunavati površinu nekih mnogokuta.

Trokut

Površina  jednaka je polovici  duljina njegove stranice i njoj pripadajuće visine.

 

 

Zadatak 1.

Na slici je nacrtan trokut u pravokutnom koordinatnom sustavu s koordinatama vrhova A(6,5), B(14,5) i C(12,11).

Izračunajte površinu trokuta sa slike.

Na slici je prikazan trokut i njemu pripadajuća visina na stranicu c.

Površina trokuta jednaka je polovici umnoška duljine stranice i njoj pripadajuće visine.

Na zadanoj slici vidljivo je da je duljina stranice c = 8 , a njoj pripadajuće visine v = 6 .

Stoga je P = 8 · 6 2 = 24 kvadratnih jedinica.


Praktična vježba

S pomoću računalnog programa dinamičke geometrije nacrtajte trokut A B C . Uporabom odgovarajućih programskih alata nacrtajte visinu trokuta spuštenu iz vrha C . Izmjerite i zapišite duljine stranice c i njoj pripadajuće visine. Izračunajte površinu dobivenog trokuta. 

Četverokut

Zadatak 2.

 Spojite odgovarajuće parove.

 Romb
P = a · a  
Kvadrat
P = a + c · v 2   ​
 Paralelogram
P = e · f 2   ​
Trapez 
P = a · v a   ​
Pravokutnik
P = a · b   ​

Pomoć:

Spojite odgovarajući četverokut i formulu za izračunavanje njegove površine. 

 

Zadatak 3.

Izračunajte površine četverokuta na slici.

Na slici je nacrtan romb.
Na slici je nacrtan paralelogram.
Na slici je nacrtan trapez.

Romb
P = 37.5 cm 2  
 Trapez
P = 12 cm 2  
Paralelogram
P = 21 cm 2  

Pomoć:

P = e · f 2    površina romba

P = a · v   površina paralelograma

P = a + c · v 2   površina trapeza

null
Pravilni mnogokuti

Površine mnogokuta izračunavamo tako da mnogokut podijelimo na likove čije površine znamo izračunati.

Primjer 1.

Na slici je nacrtan peterokut

Izračunajmo površinu peterokuta na slici.

Na slici je nacrtan peterokut koji je razdijeljen na jedan pravokutnik i jedan trokut.

Podijelimo peterokut na pravokutnik i trokut.

Površinu pravokutnika označit ćemo s P 1 , duljine njegovih stranica su 5 m i 4 m .

Zato imamo: P 1 = 5 m · 4 m = 20 m 2 .

Površinu trokuta označit ćemo s P 2 ; duljina stranice je 5 m i njoj pripadajuće visine 2 m .

Zato imamo P 2 = 5 m · 2 m 2 = 5 m 2 .

Površina peterokuta sa slike jednaka je zbroju površina P 1 i P 2 .

P = P 1 + P 2  

P = 20 cm 2 + 5 cm 2 = 25 cm 2 .

Zadatak 4.

Na slici je prikazan mnogokut

Izračunajte površinu mnogokuta sa slike.

Na slici je prikazan mnogokut sastavljen od jednog kvadrata duljine stranice 3dm i pravokutnika duljina stranica 3dm i 8dm.

Podijelite mnogokut na kvadrat duljine stranice 3 dm i pravokutnik duljina stranica 8 dm i 3 dm .

P = 33 dm 2


 ​

Primjer 2.

Na slici je nacrtan pravokutnik kojem je izrezan jedan njegov vrh.

Izračunajmo površinu mnogokuta sa slike.

Na slici je prikazan peterokut nadopunjen pravokutnim trokutom.

Dopunimo mnogokut pravokutnim trokutom tako da dobijemo pravokutnik.

Površinu pravokutnika označit ćemo s P 1 , a duljine stranica su 6 cm i 8 cm .

Zato imamo:

P 1 = 6 c m · 8 c m = 48 c m 2 .

Površinu pravokutnog trokuta označit ćemo s P 2 , a duljine kateta su 2 cm i 4 cm .

Zato imamo: P 2 = 2 c m · 4 c m 2 = 4 c m 2 .

P = P 1 - P 2  

P = 48 c m 2 - 4 c m 2 = 44 c m 2 .


Tlocrt Ivanova stana prikazan je na slici. Površina stana je:

Na slici je prikazan osmerokut.

Pomoć:

 ​

Na slici je prikazan osmerokut koji je nadopunjen do pravokutnika.

Postupak:

P = P 1 - P 2 - P 3   ​

Površina pravilnih mnogokuta

Površina pravilnog mnogokuta s n stranica jednaka je umnošku broja n i površine karakterističnog trokuta

P = n · a · ρ 2

gdje je a duljina stranice pravilnog mnogokuta, a ρ  duljina polumjera upisane kružnice.

Primjer 3.

Na slici je prikazan pravilni deseterokut.

Izračunajmo površinu pravilnog mnogokuta sa slike.

Iz slike možemo zaključiti da se radi o pravilnom deseterokutu, da je duljina jedne stranice 4 , a duljina polumjera upisane kružnice 6.24 .

Zato je površina pravilnog deseterokuta P = 10 · 4 · 6.24 2 = 124.8   kvadratnih jedinica.

Zadatak 5.

Izračunajte površinu pravilnog mnogokuta kojemu je duljina jedne stranice 3.5 cm , duljina polumjera upisane kružnice je 6.5 cm i zbroj veličina unutarnjih kutova  ​ 1 800 .

K n = 1 800   ​

a = 3.5 c m  

ρ = 6.5 c m  

n - 2 · 180 = 1 800     n = 12  

P = 12 · 3.5 c m · 6.5 c m 2 = 136.5 c m 2 .


...i na kraju

Ponovimo:

  1. Da bismo izračunali površinu romba, dovoljno je da znamo duljinu njegovih dijagonala.

    Pomoć:

    P = e · f 2   ​

  2. Površina lika sa slike je: 

    Na slici je prikazan mnogokut.

    Pomoć:

    Na slici je prikazan mnogokut podijeljen na pravokutni trokut, kvadrat i dva pravokutnika.
    Podijeli zadani lik na manje likove kojima znaš izračunati površinu. Na slici je prikazan jedan od načina kako to možeš napraviti.

    Postupak:

    P = P 1 + P 2 + P 3 + P 4  


  3. Spojite odgovarajuće parove.

    P = a · b 2  
    P = a · b
    P = c · v c 2   
    P = a + c · v 2   ​

Idemo na sljedeću jedinicu

7.8 Mnogokuti u svakodnevnom životu