7.5 Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta

Ponovimo.

Geometrijsko crtanje je postupak u crtanju pri kojem upotrebljavamo dva trokuta, šestar, kutomjer i ostali geometrijski pribor.

Geometrijska konstrukcija je postupak crtanja pri kojem se koristimo samo šestarom i ravnalom.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Konstruirajte na papiru jednakostranični trokut ako mu je duljina stranice $3\mathrm{cm}.$  

Rješenje

Za konstrukciju trebate šestar i ravnalo.

---

Zadatak 2.

Nacrtaj na papiru kvadrat ako mu je duljina stranice $3\mathrm{cm}.$ 

Rješenje

---

Zatvori

Pravilni mnogokut možemo nacrtati, odnosno konstruirati na razne načine, ovisno o tome koji je element zadan. Da bismo to mogli učiniti, potrebno je analizirati njegov karakteristični trokut.

Konstrukcija pravilnog mnogokuta ako mu je zadan polumjer opisane kružnice

Primjer 1.

Konstruirajmo pravilni šesterokut ako mu je duljina polumjera opisane kružnice $3\mathrm{cm}.$

Središnji kut pravilnog šesterokuta iznosi ${\beta }_6=\frac{{360}^{\circ }}{6}={60}^{\circ }.$ To znači da je karakteristični trokut jednakostraničan i da su stranice šesterokuta jednake duljine, kao i polumjer opisane kružnice.

Opis konstrukcije:

1. ​Konstruirajmo kružnicu duljine polumjera $3\mathrm{cm}.$
2. Ne mijenjajući otvor šestara, nanosimo polumjer po kružnici.
3. Tako dobivene točke su vrhovi pravilnog šesterokuta.
4. Spojimo sve međusobno susjedne vrhove.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Konstruirajte na papiru jednakostranični trokut ako mu je duljina polumjera opisane kružnice $3\mathrm{cm}.$

Rješenje

Središni kut pravilnog trokuta iznosi   ${\beta }_3=\frac{{360}^{\circ }}{3}=120°$ 

Opis konstrukcije:

1. Konstruirajte kružnicu duljine polumjera $3\mathrm{cm}.$
2. Provedite konstrukciju kao i kod konstrukcije pravilnog šesterokuta.
3. Spojite svaki drugi vrh.

---

Zadatak 4.

Konstruirajte na papiru pravilni dvanaesterokut ako mu je duljina polumjera opisane kružnice $3\mathrm{cm}.$ 

Rješenje

Središnji kut pravilnog dvanaesterokuta iznosi ${\beta }_{12}=\frac{{360}^{\circ }}{12}={30}^{\circ }.$

Opis konstrukcije:

1. Konstruirajte kružnicu polumjera duljine $3\mathrm{cm}.$
2. Provedite konstrukciju kao i kod konstrukcije pravilnog šesterokuta.
3. Konstruirajte simetrale središnjih kutova.
4. Simetrale sijeku kružnicu u preostalih šest vrhova pravilnog dvanaesterokuta.
5. Spojite međusobno sve susjedne vrhove.

---

Zatvori

Primjer 2.

Konstruirajmo pravilni četverokut ako mu je duljina polumjera opisane kružnice $3\mathrm{cm}.$ 

Središnji kut pravilnog četverokuta iznosi ${\beta }_4=\frac{{360}^{\circ }}{4}={90}^{\circ }$ , tj. dijagonale kvadrata međusobno su okomite.

Opis konstrukcije:

1. Konstruirajmo kružnicu duljine polumjera $3\mathrm{cm}.$
2. Istaknimo jedan njezin promjer i njegove krajnje točke.
3. Konstruirajmo simetralu tog promjera.
4. Odredimo sjecište simetrale i kružnice.

Zadatak 5.

Konstruirajte na papiru pravilni osmerokut ako mu je duljina polumjera opisane kružnice $3\mathrm{cm}.$

Središnji kut pravilnog osmerokuta iznosi ​ ${\beta }_8=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }.$

Opis konstrukcije:

1. ​Konstruirajmo kružnicu duljine polumjera $3\mathrm{cm}.$
2. Provodimo konstrukciju kao i kod konstrukcije pravilnog četverokuta.
3. Konstruirajmo simetrale središnjih kutova.
4. Simetale kutova sijeku kružnicu u preostala četiri vrha pravilnog mnogokuta.
5. Spojimo međusobno susjedne vrhove osmerokuta.

Crtanje pravilnog mnogokuta ako mu je zadan polumjer opisane kružnice

Primjer 3.

Nacrtajmo pravilni peterokut ako mu je duljina polumjera opisane kružnice $3\mathrm{cm}.$  

Središnji kut pravilnog peterokuta iznosi ​ ${\beta }_5=\frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }.$

Opis crtanja:

1. ​Konstruiramo kružnicu duljine polumjera $3\mathrm{cm}.$
2. S pomoću kutomjera nacrtamo središnji kut veličine ${72}^{\circ }.$
   

3. Odredimo sjecišta kružnice i krakova središnjeg kuta.

4. Dobivenu tetivu nanesemo po kružnici.

5. Tako dobivene točke su vrhovi pravilnog peterokuta.

6. Spojimo sve međusobno susjedne vrhove.

Zadatak 6.

Nacrtajte na papiru pravilni deveterokut ako mu je duljina polumjera opisane kružnice $4\mathrm{cm}.$

Crtanje i konstrukcija pravilnog mnogokuta ako je zadana duljina stranice

Primjer 4.

Nacrtajmo pravilni peterokut ako mu je duljina stranice $4\mathrm{cm}.$

Izračunajmo veličine kutova karakterističnog trokuta:

${\beta }_5=\frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }$

${\alpha }_5={180}^{\circ }-{72}^{\circ }={108}^{\circ }$

${\gamma }_5=\frac{{108}^{\circ }}{2}={54}^{\circ }$

Opis konstrukcije:

1. ​Nacrtamo dužinu $\begin{array}{l}\overline{AB}\end{array}$ duljine $4\mathrm{cm}$ i njezinu simetralu.
2. U točki $A$ kutomjerom nacrtamo kut veličine ${\gamma }_5={54}^{\circ }.$
3. Odredimo sjecište $S$kraka kuta i simetrale.
4. Nacrtamo kružnicu sa središtem u točki $S$ i polumjerom $r=\left|SA\right|.$
5. Tetivu $\begin{array}{l}\overline{AB}\end{array}$ nanesemo po kružnici.
6. Dobivene točke su preostali vrhovi pravilnog peterokuta.
7. Spojimo sve međusobno susjedne vrhove.

Zadatak 7.

Koji pravilni mnogokut ima duljinu stranice jednake duljine kao i polumjer opisane kružnice?

Pravilni peterokut.

Karakteristični trokut pravilnog peterokuta je jednakokračan, tj. duljina stranice pravilnog peterokuta nije jednaka duljini polumjera opisane kružnice.

Pravilni šesterokut.

Karakteristični trokut pravilnog šesterokuta je jednakostraničan, tj. duljina stranice pravilnog šesterokuta jednaka je duljini polumjera opisane kružnice.

Pravilni deveterokut.

Karakteristični trokut pravilnog deveterokuta je jednakokračan, tj. duljina stranice pravilnog deveterokuta nije jednaka duljini polumjera opisane kružnice.

Pomoć:

 Izračunajte kutove karakterističnog trokuta.

Postupak:

${\beta }_n=\frac{{360}^{\circ }}{n}$  ​

Kutak za znatiželjne

Matematičari su vrlo dugo tražili metode konstruiranja pravilnog sedmerokuta, deveterokuta i jedanaesterokuta. Potkraj 18. stoljeća tada 19-godišnji njemački matematičar Karl Friedrich Gauss dokazao je da se ne mogu konstruirati.