10.1 Pojam linearne funkcije

Zavisnost veličina

Kako bismo rješenje prethodnog zadatka zapisali matematičkim jezikom, potrebno je dogovoriti oznake kojima ćemo se najčešće koristiti. 

Ako s $x$ označimo zadani broj (neki broj, zamišljeni broj, bilo koji broj), tada je sasvim prirodno označiti s $y$ broj koji dobijemo kao rješenje. 

Možemo reći i ovako: broj $y$ pridružujemo broju  $x.$

Primjer 1.

Uvježbajmo prevođenje rečenica na matematički jezik uz prethodno dogovorene oznake. 

Možemo primijetiti da broj $y$ ovisi o odabiru broja $x.$ Kako bi tu zavisnost naglasili, matematičari se često koriste zapisom $y=f\left(x\right).$ 

Pod pojmom funkcija podrazumijevamo pravilo pridruživanja u kojem vrijednosti jedne veličine pridružujemo točno jednu vrijednost druge veličine. Funkcija je najčešće zadana formulom, tablicom ili grafičkim prikazom.

Zanimljivost

Prvi matematičar koji je uveo oznaku $f\left(x\right)$ bio je švicarski matematičar Leonhard Euler [čitamo: ojler].

Euler (1707.-1783.) školovao se u Baselu, ali je velik dio svoga života proveo u Berlinu i Petrogradu. U svojoj 28. godini oslijepio je na desno oko, ali to ga nije spriječilo da nastavi s matematičkim radom i objavi više od $900$ radova.

S obzirom na to da je vrijednost druge veličine (veličine $y$) potpuno određena vrijednošću prve veličine (veličine $x$) i funkcijom $f,$ pišemo $y=f\left(x\right).$

Zadatak 1.

Proučite tablicu i odredite funkciju koja broju $x$ pridružuje broj $y.$

$x$	$1$	$5$	$0$	$2$	$4$
$y=f\left(x\right)$	$-1$	$15$	$-5$	$3$	$11$

$f\left(x\right)=x-2$ 

$f\left(x\right)=3x$

$f\left(x\right)=4x-5$

Pomoć:

Isto pravilo mora vrijediti za sve parove brojeva $x$ i $y.$

null

Linearna funkcija

Linearna funkcija pridruživanje je kojim nekom racionalnom broju $x$  pridružujemo racionalni broj $f\left(x\right),$ a pravilo pridruživanja zadano je formulom $f\left(x\right)=ax+b,$ pri čemu je $a\ne 0.$

Brojeve $a$ i $b$ nazivamo koeficijentima ili parametrima linearne funkcije. 

Broj $x$ nezavisna je veličina (biramo ga po volji), a nazivamo ga argument linearne funkcije. 

Broj $f\left(x\right)$ je vrijednost funkcije $f$ za zadani argument $x.$

Zadatak 2.

Uvježbajmo zapisivanje formule linearne funkcije kojoj su zadani parametri (koeficijenti).

Primjer 2.

Karlo, Bela, Petar, Goga i Ozana vlakom su stigli na osječki kolodvor. Budući da kiša neumorno pljušti, dalje će nastaviti taksijem. Početna cijena vožnje (start) iznosi $10\mathrm{kn},$ a za svaki započeti kilometar naplaćuje se $3\mathrm{kn}.$ Udaljenosti odredišta od željezničkog kolodvora nalaze se u tablici.

Koliko će svatko od njih platiti ako znamo da odredište pojedine osobe ima isto početno slovo kao i vlastito ime te osobe?

Rješavanjem nekoliko zadataka provjerite jeste li usvojili navedene pojmove.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Telefonska tvrtka "Halo" cijenu svakog poziva određuje na sljedeći način: uspostava poziva iznosi $0.30\mathrm{kn},$ a svaka započeta minuta razgovora naplaćuje se $0.50\mathrm{kn}.$

Povlačenjem spojite odgovarajuće parove.

Broj minuta razgovora	duljini telefonskog razgovora.
Koeficijent (parametar) $a$	označit ćemo s $f\left(x\right).$
Koeficijent (parametar) $b$	iznosi $0.50\mathrm{kn}.$
Cijenu razgovora	iznosi $0.30\mathrm{kn}.$
Cijena razgovora ovisi o	označit ćemo s $x.$

 

 

Dopunite sljedeću tablicu.

Cijena poziva za svaku sljedeću minutu razgovora povećava se za 0.50 knpovećava se za 0.30 kn ne ovisi ni o 0.50 kn ni o 0.30 kn.

null

Postupak:

Izračunajte razliku između svakih dviju cijena kojima odgovara trajanje razgovora koje se razlikuje za jednu minutu.

S obzirom na to da se cijena razgovora za svaku sljedeću minutu povećava za isti iznos, i to onaj koji je jednak parametru $a,$ kažemo da cijena  promjenjivonelinearno ovisi o duljini trajanja razgovora (u minutama).

Pomoć:

Proučite još jedanput rješenje primjera o prijevozu taksijem.

Zadatak 4.

Formulama pridružite odgovarajuće opisane funkcija.

1. $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+5$

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje njegovu dvostruku vrijednost umanjenu za $5$

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje polovicu njegove vrijednosti uvećanu za $5$

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje za $2$ uvećanu peterostruku njegovu vrijednost

   

   null

   null

2. $f\left(x\right)=2x-5$ 
   

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje njegovu dvostruku vrijednost umanjenu za $5$ 
   

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje polovicu njegove vrijednosti uvećanu za $5$ 

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje za $2$ uvećanu peterostruku njegovu vrijednost

   

   null

   null

3. $f\left(x\right)=5x+2$

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje njegovu dvostruku vrijednost umanjenu za $5$ 
   

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje polovicu njegove vrijednosti uvećanu za $5$ 

   Funkcija $f$ koja svakom broju $x$ pridružuje za $2$ uvećanu peterostruku njegovu vrijednost

   

   null

   null

Zadatak 5.

Zadanoj funkciji pridružite odgovarajuće parametre:

$f\left(x\right)=2x-3$	$a=-\mathrm{3,}$ $b=-2$
$f\left(x\right)=3x+2$	$a=\mathrm{3,}$ $b=2$
$f\left(x\right)=-2x+3$	$a=-2,$ $b=3$
$f\left(x\right)=-3x-2$	$a=2,$ $b=-3$

Pomoć:

Parametar $a$ prepoznajemo po tome što je uvijek uz argument $x.$ 

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Dovucite zadane funkcije prema vrijednosti koeficijenata $a$ i $b.$

$f\left(x\right)=x+3$

$f\left(x\right)=2x+1$

$f\left(x\right)=1-3x$

$f\left(x\right)=2-x$

$f\left(x\right)=-x+2$

$f\left(x\right)=-1-2x$

$f\left(x\right)=-2+x$

$f\left(x\right)=3x-1$

$a=1$

$b=1$

$a=-1$

$b=-1$

Pomoć:

Koeficijent $a$ povezan je s argumentom (množi se varijablom $x$), a koeficijent $b$ slobodni je koeficijent.

null

Zadatak 7.

Koja od zadanih funkcija NIJE linearna?

$f\left(x\right)=2x-5$

$f\left(x\right)=x·x+2$

$f\left(a\right)=4·a$

Koeficijent $a=4,$ a $b=0.$

Pomoć:

Uočite vrijednost koeficijenata.

Postupak:

 Koeficijent $b=0$.

Zadatak 8.

Zatvori

Projekt

1. Istražite pomoću neke od karata dostupnih na internetu, npr. Googleove karte, stvarnu situaciju iz Primjera 2. Ispitajte kolika je udaljenost do spomenutih objekata ako se putuje javnim prijevozom, taksijem (vodite računa o jednosmjernim ulicama) ili pješke. ​
2. Osmislite zadatak sličan Primjeru 2. koji se odnosi na vaše mjesto stanovanja ili obližnji grad.