x
Učitavanje

10.5 Tok linearne funkcije

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na samom početku prirodno je upitati se kakve veze pojam tok ima s linearnom funkcijom. Rijeka teče, kreće se, ima svoj tok; automobil se kreće, često nailazi na kružni tok... kreće li se na neki način i linearna funkcija?

Rastuća i padajuća funkcija

Kreće li se, dakle, linearna funkcija?

Pogledajmo što o kretanju linearne funkcije kažu Iskra i profesor Bistrić.

Odrediti tok linearne funkcije znači odrediti je li ona rastuća ili padajuća funkcija

Istražimo o čemu ovisi tok funkcije.

Primjer 1.

Uz sljedeću interakciju istražite o čemu ovisi tok funkcije. Mijenjajte položaj klizača i pokušajte dati odgovor na postavljena pitanja.

Postoji li veza između vrijednosti parametara funkcije i njezina toka? 

Mora li funkcija uvijek biti ili rastuća ili padajuća?

Povećaj ili smanji interakciju

  1. Provjerimo  kroz kratki kviz izvedene zaključke. Ako niste sigurni u odgovor, vratite se na interakciju i usmjerite pozornost na sadržaj pitanja.

    Tok linearne funkcije f x = a x + b :  

     

     

  2. Linearna funkcija f x = a x + b je   ako je njezin koeficijent smjera a > 0 .
    Ako je koeficijent smjera a < 0 , linearna funkcija je  .

    Pomoć:

    Proučite aplet još jedanput, a pažnju usmjerite na predznak parametra a .

  3. Postoji li položaj u kojemu funkcija nije niti padajuća niti rastuća?

    Pomoć:

    Vratite se proučavanju apleta. Polako mijenjajte položaj klizača a . Posebnu pozornost usmjerite na trenutak kada funkcija iz rastuće prelazi u padajuću, ili obrnuto.

  4. Funkcija je stalna ili konstantna ako je njezin nagib:

  5. Iz padajućeg izbornika odaberite odgovarajući pojam.

    Graf funkcije
     

  6. Iz padajućeg izbornika odaberite odgovarajući pojam.

    Graf funkcije

    null
    null
  7. Iz padajućeg izbornika odaberite odgovarajući pojam.

    Graf funkcije

    null
    null
  8. Spojite parove tako da tvrdnja bude istinita.

    Ako je nagib pravca negativan broj,
    funkcija je rastuća.
    Ako je nagib pravca pozitivan broj,
     funkcija je padajuća.
    Ako je nagib pravca jednak nuli,
    funkcija je konstantna.
  9. Ako za bilo koji argument​ x funkcija ima uvijek istu vrijednost, ona je  funkcija.

  10. Odredite tok zadanih funkcija.

    f x = 8 x   ​

     rastuća funkcija

    padajuća funkcija

    Pomoć:

    Pažljivo odredite koeficijente. 

Linearna funkcija f x = a x + b  kojoj je koeficijent smjera pozitivan, a > 0 , rastuća ​je funkcija.

Linearna funkcija​ f x = a x + b  kojoj je koeficijent smjera negativan, a < 0 , padajuća je funkcija.

Sjecišta grafa linearne funkcije s koordinatnim osima

Primjer 2.

Graf linearne funkcije siječe obje koordinatne osi. Što možemo reći o koordinatama tih sjecišta?

Uz danu interakciju prisjetite se pojmova:

  • ​sjecište pravca s x -osi
  • nultočka funkcije
  • sjecište pravca s y -osi i
  • odsječak na osi ordinata.
Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 1.

Provjerite svoje znanje očitavanja koordinata sjecišta s koordinatnim osima.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

Zadana je linearna funkcija​ f x = - 5 3 x + 2 .  

  1. Da bismo odredili koordinate sjecišta pravca s​ y -osi, dovoljno je poznavati jednadžbu pravca ili formulu linearne funkcije.

    null
  2. Pravac y = - 5 3 x + 2  siječe os ordinata u točki B  koja je zadana koordinatama:

    Pomoć:

    Svaka točka na osi ordinata ima prvu koordinatu jednaku nuli.

    Parametar b  određuje odsječak na osi ordinata.

    null
  3. Zadana funkcija je

    null
  4. Graf linearne funkcije siječe os apscisu u točki čija je   uvijek nula.

    null
    null
  5. Nultočku funkcije određujemo tako da:

    null
    null
  6. Izračunajte ili očitajte tražene vrijednosti i odredite parove.

    sjecište s x  -osi
    B 0 , 2
    nultočka
    6 5   ​
    sjecište s y -osi
    N 6 5 , 0
    odsječak na y -osi
    2
    null
    null

Primjer 3.

Nacrtajte graf linearne funkcije f x = 2 3 x - 2 tako da prvo odredite sjecišta s koordinatnim osima. Crtati možete u bilježnicu ili se koristiti pripremljenim predloškom. ​

Povećaj ili smanji interakciju

Za određivanje sjecišta grafa funkcije s​ y -osi potrebno je iz jednadžbe očitati odsječak na osi ordinata i zapisati ga kao ordinatu točke, tj. B 0 , - 2   jer je apscisa točke uvijek nula.

Za određivanje sjecišta s apscisom treba riješiti jednadžbu 2 3 x - 2 = 0 jer je ordinata točke uvijek nula.

Rješenje jednadžbe je x = 3  pa je sjecište s apscisom točka N 3 , 0 .

Zadanim dvjema točkama možemo nacrtati pravac.

Svoje rješenje možete provjeriti na drugi način: u predlošku za crtanje pravaca u polje za unos upišite jednadžbu pravca, a pri zapisu razlomka umjesto razlomačke crte upotrijebite oznaku / . Kako u zapisu  x  ne bi ostao u nazivniku, nakon upisivanja nazivnika upotrijebite desnu strjelicu na tipkovnici. Ako ste zadatak riješili točno, zadani pravac podudarat će se s pravcem koji ste nacrtali.


Zadatak 3.

U interakciji je zadana jednadžba pravca. Nacrtajte zadani pravac tako da prvo računski odredite sjecišta pravca s koordinatnim osima.  

Točnost svoga rješenja možete provjeriti tako da u predlošku za crtanje pravaca odaberete rješenje. Ako ste zadatak točno riješili, zadani pravac podudarat će se s pravcem koji ste nacrtali. Ako vaše rješenje nije točno, vidjet ćete dva pravca u koordinatnom sustavu.

Zadatak možete ponavljati sve dok ga ne uvježbate.


Povećaj ili smanji interakciju

Nagib pravca

O nagibu pravca već smo govorili. Sada ćemo, nakon što ponovimo poznate činjenice, istražiti kako pomoću nagiba i odsječka na osi ordinata možemo pravac nacrtati u pravokutnom koordinatnom sustavu.

  1. Pojam nagiba pravca već smo upoznali. Nazivamo ga još i
     
    . O njegovoj vrijednosti ovisi
     
    .

    koeficijent smjera
    tok funkcije

    null
    null
  2. U zapisu formule linearne funkcije​ f x = a x + b i u zapisu pripadajuće jednadžbe pravca y = a x + b nagib ima oznaku:

    null
    null

Primjer 4.

Proučimo nagibe danih pravaca u koordinatnom sustavu. Pratimo istodobno njihov položaj (međusobni i u samom koordinatnom sustavu) i zapis jednadžbe.

  • ​Možete mijenjati položaj klizača koji su povezani s pravcem ljubičaste boje (zadani pravac).
  • Preostali pravci imaju zadan odsječak na osi ordinata, ali imaju isti koeficijent smjera kao i zadani pravac.
  • Odaberite nagib i pomoću klizača b provjerite imaju li preostali pravci isti nagib (ako je nagib isti, pravci će se podudarati).
  • Možete li naći vezu između duljina kateta trokuta koji određuje nagib pravca i koeficijenta a ?
Povećaj ili smanji interakciju

  1. Provjerimo ispravnost zaključaka kroz kratki kviz.

    Paralelni su oni pravci koji imaju isti:

    null
    null
  2. Koeficijent a  možemo izračunati pomoću pravokutnog trokuta čija hipotenuza pripada pravcu, kao na slici.

    Slika prikazuje pravac u koordinatnom sustavu, a istaknut je pravokutni trokut/nagib pravca

    Pomoć:

    Proučite još jedanput aplet.

    Postupak:

    Da bismo izračunali nagib, potrebno je duljinu vertikalne katete podijeliti s duljinom horizontalne i pritom naznačiti negativan predznak ako funkcija pada.

  3. Odredite koeficijent smjera zadanoga pravca.

    Slika prikazuje pravac u koordinatnom sustavu, a istaknut je pravokutni trokut pomoću kojega očitavamo nagib.

    Pomoć:

    Pravac je graf rastuće funkcije pa je koeficijent pozitivan.

  4. Zadanim pravcima pridružite pripadajuće nagibe.

    U svakom od tri koordinatna sustava istaknut je pravac i pripadni pravokutni trokut pomoću kojega očitavamo nagib.

    a = 1

    a = - 1 2

    a = 2 3

    Pomoć:

    Razlomak treba biti neskrativ.

    null

Zadatak 4.

Uz sljedeću interakciju uvježbajte očitavanje nagiba, ali i odsječka na y -osi. Ne zaboravite uvijek provjeriti je li funkcija rastuća ili padajuća - zbog predznaka​.

Pomoćni pravokutni trokut čije su katete usporedne s koordinatnim osima neka, radi jednostavnosti, ima cjelobrojne koordinate vrhova šiljastih kutova.

Povećaj ili smanji interakciju

Nakon što smo uvježbali očitati koeficijent smjera pravca, istražit ćemo još jedno njegovo svojstvo, povezano s brzinom rasta ili pada. Primijetili smo da su neki pravci iznimno strmi, a neki imaju blagi uspon, odnosno - neke funkcije padaju brže od drugih, neke sporije rastu. Istražimo.

Primjer 5.

Zadana su dva pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.

  • Mijenjajte položaj klizača nagiba za oba pravca i istražite kako strmina pravca ovisi o vrijednosti koeficijenta smjera. 
  • Kakav je nagib kada je pravac najstrmiji?
  • Ima li razlike ovisno o predznaku nagiba?
Povećaj ili smanji interakciju

  1. Provjerimo zaključke kroz kratki kviz. Uspoređujemo li dvije rastuće linearne funkcije, brže raste ona koja ima  koeficijent smjera.

    null
    null
  2. Uspoređujemo li dvije padajuće linearne funkcije, brže pada ona koja ima  koeficijent smjera.

    null
  3. Sljedeći pojmovi odnose se na graf linearne funkcije u koordinatnom sustavu u ravnini. Uparite odgovarajuće.

    Strmiji pravac   
     funkcija sporije raste ili pada
    Blaži nagib pravca   
    funkcija brže raste ili pada
    null
    null
  4. Poredajte zadane jednadžbe pravca tako da na prvom mjestu bude ona koja pripada funkciji koja najbrže raste, a na zadnjem ona koja raste najsporije.

    Slika prikazuje tri pravca sa zadanim jednadžbama, različite brzine rasta.


    • y = 2 x - 3  
    • y = 0.5 x - 1   ​
    • y = 5 x  

    Pomoć:

    Zamislite da se penjete po pravcu. Onaj koji je najstrmiji, na kojem biste se najteže kretali, taj najbrže raste.

    Ili, prisjetite se zaključka o koeficijentu smjera.

  5. Usporedite brzinu pada danih funkcija i uparite ih tako da tvrdnje budu istinite.

    Najbrže pada
    y = - x - 3  
    Najsporije pada
    y = - 6 x + 1  
    Pada
    y = - 2 3 x - 2  

    Pomoć:

    Brže pada ona linearna funkcija koja ima manji koeficijent smjera.

    Postupak:

    - 6 < - 1 < - 2 3 ; Najbrže pada funkcija čiji je koeficijent najmanji.


Brže raste ona linearna funkcija koja ima veći koeficijent smjera. 

Brže pada ona linearna funkcija koja ima manji koeficijent smjera.

Kutak za znatiželjne

Slika prikazuje skulpturu mislioca

Razmislite na koji biste način mogli pomoću koeficijenata (nagiba i odsječka na osi ordinata) nacrtati pravac kojemu je zadana jednadžba.

Pravci usporedni s koordinatnim osima

Istražujući svojstva koeficijenta smjera linearne funkcije, primijetili smo da u slučaju kada je a = 0 , funkcija niti raste niti pada. Vrijednosti tako zadane funkcije ne mijenjaju se kod promjene argumenta, nego je za svaki argument vrijednost funkcije ista. 

Vrijednost funkcije ne ovisi linearno o argumentu i zato više ne možemo govoriti o linearnoj funkciji. 

No, i takva funkcija ima graf koji je pravac.

Primjer 6.

Nacrtajte pravac zadan formulom f x = n e k i   b r o j Kako glasi jednadžba nacrtanog pravca?

Crtati možete u bilježnicu ili se možete koristiti predloškom za crtanje pravaca.

Nakon što ste odredili tražene vrijednosti u tablici, alatom Točka odredite položaj točke u koordinatnom sustavu, a zatim s pomoću alata Pravac nacrtajte pravac

Povećaj ili smanji interakciju

Jednadžba pravca glasi​ y = b , pri čemu je b  odsječak na osi ordinata.


Općenito, ako je u formuli funkcije​ y = a x + b parametar a = 0 , jednadžba ima oblik y = b .

Jednadžba pravca usporednog s ​ x -osi jest y = b , pri čemu je b  odsječak na osi ordinata.

Primjer 7.

Nacrtajmo u koordinatnom sustavu pravac koji je usporedan s osi ordinata i uočimo koordinate točaka koje mu pripadaju.

Jednadžba pravca usporednog s y -osi jest x = k , pri čemu je k Q .

Zadatak 5.

Ponuđene jednadžbe pravaca dovucite na odgovarajuće mjesto.

U koordinatnom sustavu nacrtana su dva pravca usporedna sa x-osi te dva pravca usporedna sa y-osi.

x = - 3

x = 2

y = - 3

y = 2

null
null

Zadatak 6.

Nacrtajte u koordinatnom sustavu u ravnini pravce:​ x = - 1  i y = - 2 .

Osim alata za crtanje pravca, pravce možete nacrtati i upisivanjem jednadžbe u polje za unos.

Povećaj ili smanji interakciju
Slika prikazuje pravce kojima su jednadžbe x=-1 i y=-2

Usporedite svoje rješenje sa slikom.


...i na kraju

Ako je zadana linearna funkcija ili pripadna jednadžba pravca, pravac možemo nacrtati pomoću:

Prva dva načina smo dobro usvojili, a oni koji to žele, mogu upoznati i ovaj treći način koji je ujedno i najbrži način za crtanje pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu. Postupak "brzog" crtanja pravca u koordinatnom sustavu, pomoću parametara jednadžbe pravca, možete naučiti uz pomoć interakcije autorice Željke Dijanić.

Idemo na sljedeću jedinicu

10.6 Uporaba grafičkog prikaza linearne funkcije u svakodnevnom životu