x
Učitavanje
  1. Matematika 7
  2. 9. Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice
  3. 9.6 Primjena sustava linearnih jednadžbi u zadacima iz svakodnevnog života

9.6 Primjena sustava linearnih jednadžbi u zadacima iz svakodnevnog života

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na početku ove jedinice pogledajte GeoGebru s košarkaškim i nogometnim loptama. Pokušajte uzračunati cijenu košarkaške i nogometne lopte, a odgovor upišite u predviđene kvadratiće.

Povećaj ili smanji interakciju

Kako biste ovaj zadatak lakše riješili, pogledajte koliki bi ukupni iznos trebalo platiti za 3 košarkaške i 3 nogometne lopte. Podijelite iznos s 3 i dobit ćete iznos koji bi trebalo platiti za jednu košarkašku i jednu nogometnu loptu.

Prema prvom zapisu, iznos koji treba platiti za nogometnu loptu jednak je razlici iznosa koji treba platiti za sve tri lopte i iznosa koji treba platiti za nogometnu i košarkašku loptu.

Potom je iz sume iznosa koji treba platiti za nogometnu i košarkašku loptu jednostavno odgonetnuti cijenu košarkaške lopte.​

Brojni životni problemi mogu se riješiti sustavom dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Jedan od njih je kupovina dvaju artikala, kao u prethodnoj interakciji. Možete li se sjetiti još neke životne situacije koja se može riješiti sustavom linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice?

Sustav u koracima

Pri rješavanju svakodnevnih životnih situacija sustavom dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice potrebno je proći nekoliko koraka. Za  početak, važno je razumjeti situaciju i kontekst problema. Zadatak treba pročitati s razumijevanjem, ako treba i nekoliko puta, kako biste odredili što se u zadatku traži. Odredite što je u zadatku poznato, kao i vezu poznatih podataka i nepoznatih veličina. Veza se prikazuje linearnim jednadžbama koje je moguće riješiti jednom od poznatih metoda. Važno je i provjeriti je li rješenje smisleno i napisati odgovor riječima.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Poredajte korake rješavanja svakodnevne situacije.

 Pronađite parove.

1. korak
2. korak
 3. korak
 4. korak
 5. korak
 6. korak
 7. korak
null
null

Zadatak 2.

Luna je 3 kilograma višanja i 5 kilograma kivija platila 71 kunu. U drugoj kupovini Luna je 2 kilograma višanja i 7 kilograma kivija platila 73 kune. Odredite cijenu jednog kilograma višanja i jednog kilograma kivija.

Pronađite parove.

Označavanje cijena s x i y
3 kg trešanja i 5 kg kivija je ​ 71 kn .
3 x + 5 y = 71 2 x + 7 y = 73   ​
Rješavanjem sustava dobije se x = 12 kn i y = 7 kn .
Uvrštavanje rezultata u sustav linearnih jednadžbi.
Cijena​ 1 kg višnja je 12 kn , a ​ 1 kg kivija ​ 7 kn .
null
null

Zadatak 3.

Noa kupuje čarape. Paket od 5 pari bijelih čarapa i 10 pari plavih čarapa platit će 150 kuna. Paket od 8 pari bijelih čarapa i 5 pari plavih čarapa platit će 119 kuna. Koja je cijena jednog para bijelih i cijena jednog para plavih čarapa?

  1. Pronađite sustav linearnih jednadžbi koji opisuje zadatak.

    null
    null
  2. Ako je iznos koji treba platiti za pet pari bijelih čarapa i deset pari plavih čarapa 150 kuna, tada je iznos koji treba platiti za jedan par bijelih čarapa i dva para plavih čarapa  kuna.

    Pomoć:

    Označimo s x bijele, a s y plave čarape. Prvi uvjet glasi: 5 x + 10 y = 150 . Traži se x + 2 y , a to vrlo lako možemo dobiti ako prvu jednadžbu podijelimo s 5 .

     

Zatvori

Sustavi u životu

​
Slikom je prikazano rješenje zadatka. Na slici su dječak i djevojčica na farmi, koji hrane životinje. Na farmi je 9 svinja i 12 kokoši.

Broj glava označava broj životinja. Ako s​ x označimo broj kokoši, a s y broj svinja, zbroj x i y jednak je broju glava, dakle 21 . Kokoši imaju dvije noge, a svinje četiri. Ukupan broj kokošjih nogu je 2 x , a svinjskih 4 y . Zbroj tih dvaju brojeva je ukupan broj životinjskih nogu, dakle 60 .

Vidimo da vrijedi:

x + y = 21 2 x + 4 y = 60

Kad riješimo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, primijetit ćemo da je na farmi 12 kokoši i 9 svinja.

Primjer 1.

Na slici je prikazan štand na tržnici. Na njemu je voće narančastih i crvenih boja.

5 kilograma mandarina i 4 kilograma jabuka stoji 51 kunu. 7 kilograma mandarina i 8 kilograma jabuka stoji 81 kunu.

Koja je cijena kilograma mandarina, a koja kilograma jabuka?

Nepoznata je cijena jednog kilograma mandarina i cijena jednog kilograma jabuka.

Označimo s x cijenu jednog kilograma mandarina, a s y cijenu jednog kilograma jabuka.

Poznato je da je zbroj 5 x i 4 y jednak 51 , a 7 x i 8 y jednak 81 , što zapisano jednadžbama glasi:

5 x + 4 y = 51 7 x + 8 y = 81

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par 7 , 4 .

Rješenje ima smisla, jer je cijena jednog kilograma mandarina od 7 kn i cijena jednog kilograma jabuka od 4 kune moguća. Pri tome je 5 kilograma mandarina 35 kuna, a 4 kilograma jabuka 16 kuna, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti 51 kunu. Isto tako, 7 kilograma mandarina stoji 49 kuna, a 8 kilograma jabuka 32 kune, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti 81 kunu.

Cijena jednog kilograma mandarina je 7 kn , a cijena jednog kilograma jabuka je 4 kn .

Zadatak 4.

Baka Katica na tržnici kupuje paprike i rajčice. Kupila je 4 kilograma rajčice i 5 kilograma paprike za 71 kunu. Djed Mijo je na istom štandu kupio 6 kilograma rajčice i 8 kilograma paprike za 111 kuna.

Koja je cijena paprike, a koja rajčice na štandu na kojem su baka Katica i djed Mijo kupovali?

Nepoznata je cijena jednog kilograma rajčice i cijena jednog kilograma paprike.

Označimo s x cijenu jednog kilograma rajčice, a s y cijenu jednog kilograma paprike.

Poznato je da je zbroj 4 x i 5 y jednak 71 , a 6 x i 8 y jednak 111 , što zapisano jednadžbama glasi:

4 x + 5 y = 71 6 x + 8 y = 111  

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par 6.5 , 9 .

Rješenje ima smisla, jer je cijena jednog kilograma rajčice od 6.50 kn i cijena jednog kilograma paprike od 9 kune moguća. Pri tome je 4 kilograma rajčice 26 kuna, a 5 kilograma paprike 45 kuna, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti 71 kunu. Isto tako, 6 kilograma rajčice stoji 39 kuna, a 8 kilograma paprike 72 kune, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti 111 kuna. 

Cijena jednog kilograma rajčice  je 6.50 kn , a cijena jednog kilograma paprike je 9 kn .

Primjer 2.

Slika prikazuje viteza na konju. Konj se propinje, a vitez ga pokušava obuzdati.

Na filmskom setu bio je 21 kostim za konje i ljude. Iza konja i ljudi ostalo je 60 različitih tragova stopala i kopita.

Koliko je bilo konja, a koliko ljudi na filmskom setu?

Označimo s x broj ljudi, a s y broj konja. Ukupno je bio 21 kostim za konje i ljude, pa je i njih ukupno bilo 21 . 60 je različitih tragova stopala​, od kojih svaki čovjek ima dva traga stopala, a konj 4 traga kopita.

Vrijedi: ​

x + y = 21 2 x + 4 y = 60

Sustav riješimo jednom od poznatih metoda (metodom supstitucije ili metodom suprotnih koeficijenata).

Rješenje sustava je uređeni par 12 , 9 .

Provjerimo je li rješenje točno.

12 ljudi i 9 konja zajedno nose 21 kostim. Kako svaki čovjek ima 2 traga stopala, ukupno ima 24 ljudska traga stopala. Kako svaki konji ima 4 traga kopita, to je 36 tragova kopita. Ukupno je 60 tragova i rješenje zaista ima smisla.

Na setu je bilo 12 ljudi i 9 konja.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Ilustracija prikazuje kasicu u obliku svinje. U nju ulazi novčić od 5 kuna.

Marko u kasici ima 64 kovanice od 2 i 5 kuna. Skupio je 182 kune. Koliko kovanica od 2 kune, a koliko od 5 kuna ima u kasici?

Marko ima  kovanica od 2 kune i  kovanica od 5 kuna.

Pomoć:

  x + y = 64 2 x + 5 y = 182  

null

Zadatak 6.

Slika prikazuje podzemnu garažu. U njoj su parkirani automobili između narančastih stupova.

Na jednom je parkiralištu 78 automobila i motocikala. Na njima je ukupno 260 kotača.

Koliko je automobila, a koliko motocikala na parkiralištu?

Na parkiralištu je  motocikala i  automobila.

Pomoć:

x je broj motocikala, a y broj automobila.

x + y = 78 2 x + 4 y = 260

null
Zatvori

Primjer 3.

Sestra je 6 godina starija od brata. Ako im je zajedno 40 godina, koliko je godina sestri, a koliko bratu?

Nepoznat je broj sestrinih i bratovih godina.

Označimo s x broj sestrinih godina, a s y broj bratovih godina.

Poznato je da je broj sestrinih godina jednak broju bratovih godina uvećanih za 6 , a suma sestrinih i bratovih godina je 40 , što zapisano  jednadžbama glasi:

x = y + 6 x + y = 40

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo uređeni par 23 , 17 .

Rješenje ima smisla, jer 23 i 17 mogu biti nečije godine. Ako zbrojimo 17 i 23 , dobivamo 40 , a 23 je za 5 veći od 17 , čime smo provjerili točnost rješenja.

Sestri su 23 godine, a bratu 17 godina.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Brat je stariji od sestre sedam godina. Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 4 : 3 .

Koliko je godina bratu, a koliko sestri?

Nepoznat je broj sestrinih i bratovih godina.

Označimo s x broj bratovih godina, a s y broj sestrinih godina.

Poznato je da je broj bratovih godina jednak broju sestrinih godina uvećanih za 7 , a jedna godina više od bratovih godina i jedna godina više od sestrinih godina odnose se kao 4 : 3 , što zapisano jednadžbama glasi:

x = y + 7 ( x + 1 )   :   ( y + 1 ) = 4   :   3 _ x = y + 7 3 ( x + 1 ) = 4 ( y + 1 ) _ x = y + 7 3 x + 3 = 4 y + 4 _ x = y + 7 3 x - 4 y = 1

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo uređeni par 27 , 20 .

Rješenje ima smisla, jer 20 i 27 mogu biti nečije godine. Za godinu više brat i sestra imat će 28 i 21 godinu, a 28 : 21 = 4 : 3 .

Bratu je 27 , a sestri 20 godina.

Zadatak 8.

Prije 15 godina majka je bila 6 puta starija od kćeri, a za devet godina bit će dvostruko starija. Koliko je godina majci, a koliko kćeri?

Majci je   godina, a kćeri  godina.

Pomoć:

x je broj majčinih godina, y broj kćerinih godina.

x - 15 = 6 y - 15 x + 9 = 2 y + 9

null
Zatvori

Primjer 4.

U jednoj osnovnoj školi tri puta je više učenika nego učenica. Pri tome je učenika za 244 više nego učenica. Koliko učenika, a koliko učenica ima u toj školi?

Nepoznat je broj učenika i učenica jedne škole.

Označimo s x broj učenika, a s y broj učenica.

Poznato je da je x 3 puta veći od y i x je za 244 veći od y , što zapisano jednadžbama glasi:

x = 3 y x = y + 244  

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo uređeni par 366 , 122 .

Rješenje ima smisla, jer 366 i 122 mogu biti brojevi učenika i učenica. Broj 366 je 3 puta veći od 122 , a 122 uvećan za 244 je 366 , čime smo provjerili točnost rješenja.

U školi ima 366 učenika i 122 učenice.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Elena je 8 puta mlađa od tete Anice. Za 8 godina zbroj njihovih godina bit će 52 . Koliko je Eleni sada godina?

Eleni su  godine, a teti Anici  godine.

Pomoć:

x je broj Eleninih godina, a y broj godina tete Anice.

​ y = 8 x x + 8 + y + 8 = 52

null

Zadatak 10.

Jakov je pet puta mlađi od tetka Marka. Kad bi broju Jakovovih godina oduzeli 5 godina i dodali ih Markovim godinama, Marko bi od Jakova bio stariji 8 puta. Koliko je godina  Jakovu, a koliko Marku?

Jakovu je   , a tetku Marku  godina.

Pomoć:

x je broj Jakovovih godina, a y broj tetkovih godina.

y = 5 x y + 5 = 8 ( x - 5 )

null
Zatvori

Primjer 5.

Jure i Žarko rade u prodavaonici namještaja. Ukupno su sastavili 84 ormarića. Da je Jure sastavio 12 ormarića manje, sastavio bi dvostruko više od Žarka.

Koliko ormarića je sastavio Jure, a koliko Žarko?

Nepoznat je broj ormarića koje je sastavio Jure i broj ormarića koje je sastavio Žarko.

Označimo s x broj ormarića koje je sastavio Jure, a s y broj ormarića koje je sastavio Žarko.

Poznato je da je zbroj x i y jednak 84 , a x umanjen za 12 jednak je y uvećan dva puta, što zapisano jednadžbama glasi:

x + y = 84 x - 12 = 2 y

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par 60 , 24 .

Rješenje ima smisla, jer radnici mogu sastaviti 60 i 24 ormarića. Zbroj 60 i 24 je 84 , a ako od 60 oduzmemo 12 , dobit ćemo 48 , što je dvostruka vrijednost broja 24 .

Jure je sastavio 60 , a Žarko 24 ormarića.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

U prodavaonici namještaja rade i Tadija i Ante. Njih dvojica zajedno su sastavila 43 stolice. Da je Tadija sastavio 16 stolica manje, sastavio bi dvostruko više stolica nego Ante.

Koliko je stolica sastavio Tadija, a koliko Ante?

Tadija je sastavio  stolice, a Ante  stolica.

Pomoć:

x je broj stolica koje je sastavio Ante, a y broj stolica koje je sastavio Tadija.

x + y = 43 y - 16 = 2 x

null

Zadatak 12.

Na slici je prikazana prometnica u jednom od svjetskih velegrada. Na njoj voze dva autobusa na kat.

244 učenika 7. razreda krenula su na izlet. Na stajalištu je iz prvog autobusa u drugi prešlo 7 dječaka. Put su nastavili s jednakim brojem učenika u svakom autobusu.

Koliko je učenika bilo u prvom, a koliko u drugom autobusu na početku putovanja?

Nepoznat je broj učenika u prvom i drugom autobusu na početku putovanja.

Označimo s x broj učenika u prvom autobusu, a s y broj učenika u drugom autobusu.

Poznato je da je zbroj x i y jednak 244 , a x umanjen za 7 jednak je y uvećan za 7 , što zapisano jednadžbama glasi:

x + y = 244 x - 7 = y + 7  

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par 129 , 115 .

Rješenje ima smisla, jer 129 i 115 mogu biti brojevi učenika u autobusu (uzmimo u obzir da autobusi mogu biti i na kat). Zbroj 129 i 115 je 244 , a ako od 129 oduzmemo 7 , dobit ćemo 122 , baš kao i da smo broju 115 dodali 7 , čime smo provjerili točnost rješenja.

U prvom autobusu bilo je 129 , a u drugome 115 učenika.

Zatvori

Projekt

Podijelite se u parove. Osmislite sami problemske zadatke.

Počnite od dva poznata broja koji će biti rješenje. Kad osmislite rješenja, zamijenite se. Partner neka napiše zadatak za vaše rješenje. Zamislite ukupan broj elemenata koji će se pojavljivati u zadatku (primjerice broj učenika i učenica, količina dviju namirnica...).

Namjestite brojeve koji će pri svakom koraku dati prirodne brojeve kao rezultat.

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 13.

Na slici su prikazane čokoladne praline. Ima ih četiri vrste i svaka vrsta je na svome pladnju.

U slastičarnici je u jednom danu izrađeno 600 čokoladnih pralina. Izrađene su dvije vrste pralina: jedne imaju punjenje s višnjama, a druge s lješnjacima. Drugi dan izrađeno je 10 % više pralina s punjenjem od višanja i 16 % više pralina s punjenjem od lješnjaka, ukupno 681 pralina. Koliko je pralina s punjenjem od višanja, a koliko s punjenjem od lješnjaka izrađeno prvoga dana?

Nepoznat je broj pralina s punjenjem od višanja i broj pralina s punjenjem od lješnjaka izrađenih prvoga dana.

Označimo s x broj pralina s punjenjem od višanja, a s y broj pralina s punjenjem od lješnjaka.

Poznato je da je zbroj x i y jednak 600 , a suma x uvećanog za 10 % x i y uvećanog za 16 % y jednaka je 681 , što zapisano jednadžbama glasi:

x + y = 600 ( x + 0.1 x ) + ( y + 0.16 y ) = 681

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par 250 , 350 .

Rješenje ima smisla, jer je moguće napraviti 250 pralina s punjenjem od višanja i 350 pralina s punjenjem od lješnjaka. Zbroj 250 i 350 je 600 . Ako 250 uvećamo za 10 % , odnosno 25 , dobit ćemo 275 . Ako 350 uvećamo za 16 % , dobit ćemo 406 . Zbroj 275 i 406 je 681 .

Prvoga dana izrađeno je 250 pralina s punjenjem od višanja i 350 pralina s punjenjem od lješnjaka.

Zadatak 14.

Marta je na ispitu postigla 145 bodova. Ispit se sastojao od 25 zadataka, od kojih se za svaki točan odgovor dobivalo 10 , a za svaki netočan odgovor gubilo 5 bodova. Marta je odgovorila na sve zadatke. Koliko je točnih odgovora imala Marta?

Marta je točno riješila  zadataka, a netočno  zadataka.

Pomoć:

x je broj točno riješenih zadataka, a y broj netočno riješenih zadataka.

x + y = 25 10 x - 5 y = 145

null

Zadatak 15.

Ilustracija prikazuje crne siluete tenisača. Oni su u pokretu.

U jednom je teniskom klubu 45 polaznika i polaznica. Odnos broja polaznika i broja polaznica je 2 : 3 . Koliko je polaznica u tome klubu?

U klubu je  polaznica.

Pomoć:

x je broj polaznika, a y broj polaznica u klubu.

x + y = 45 x : y = 2 : 3

null
Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 16.

Na slici su prikazani parfemi. Oni su na polici i u raznim su bojama.

U tvornici parfema u jednom je danu napunjeno 960 muških i ženskih parfema. Drugi dan napunjen je jednak broj ženskih i muških parfema, gdje je 60 manje ženskih i jedna četvrtina više muških parfema nego prvoga dana. Koliko je ženskih, a koliko muških parfema napunjeno prvoga dana?

Nepoznat je broj muških i ženskih parfema napunjenih prvoga dana.

Označimo s x broj ženskih parfema, a s y broj muških parfema.

Poznato je da je zbroj x i y jednak 960 , a x umanjen za 60 jednak je y uvećanom za četvrtinu y , što zapisano jednadžbama glasi:

x + y = 960 x - 60 = 5 4 y

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par 560 , 400 .

Rješenje ima smisla, jer je moguće napuniti 560 ženskih i 400 muških parfema. Zbroj 560 i 400 je 960 . Ako 560 umanjimo za 60 , dobit ćemo 500 , kao i kad 400 uvećamo za 100 , što je četvrtina od 400 .

Prvoga dana napunjeno je 560 ženskih i 400 muških parfema.

Zadatak 17.

Turistički brodić plovi rijekom 50 km . Kad ide uzvodno, treba mu 5 sati, a kad ide nizvodno, trebaju mu 2 sata. Kolika je brzina brodića, a kolika rijeke?

Nepoznata je brzina brodića i brzina rijeke. Označimo s x brzinu brodića, a s y brzinu rijeke.

Razlika brzine brodića i brzine rijeke predstavlja uzvodnu brzinu brodića, a zbroj brzine brodića i brzine rijeke predstavlja nizvodnu brzinu brodića. Brzina je duljina puta (broj kilometara) podijeljena s vremenom (brojem sati).

Vrijedi:

x - y = 50 5 x + y = 50 2

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo x = 17.5 km/h , y = 7.5 km/h .

Brzina brodića je 17.5 km/h , a brzina rijeke 7.5 km/h .

Zadatak 18.

Na slici je prikazana cesta kroz brežuljkasto područje. Oko ceste je zelenilo, a na cesti cisterna. Ona je od aluminija i na njoj se preslikava okolina kao na ogledalu.

Vozač cisterne vozi lokalnom cestom brzinom od 50 km/h . Ako bi išao cestom na kojoj je dopušteno 80 km/h , stigao bi 3 sata ranije na istovar. Koliko je dug vozačev put i koliko mu vremena treba ako ide bržom cestom?


Nepoznato je vrijeme vožnje bržom cestom i duljina puta. Označimo s x vrijeme vožnje, a s y duljinu puta.

Duljina puta je brzina vožnje pomnožena s vremenom provedenim u vožnji. Vrijedi:

y = 50 ( x + 3 ) y = 80 x  

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo x = 5 sati, y = 400 km .

Vozačev put dug je 400 km , a ako ide bržom cestom, trebat će mu 5 sati.

Zadatak 19.

Ilsutracija prikazuje autobus. Autobus je bijeli sa zelenim crtama.

Lokalni autobus prema voznom redu ima određeni vremenski razmak od jedne do druge vožnje s istog kolodvora. Ako vozi brzinom od 50 km/h , stići će na kolodvor 5 minuta ranije, a ako vozi 55 km/h , stići će 10 minuta ranije. Izračunajte duljinu puta tog autobusa i dopušteni vremenski razmak između dviju vožnji.


Nepoznata je duljina puta autobusa i dopušteni vremenski razmak između dviju vožnji. Označimo s x duljinu puta, a s y vremenski razmak.

Duljina puta je umnožak brzine i vremena vožnje. Pri računanju, vrijeme koje je izraženo u minutama treba pretvoriti u sate, gdje je 5 minuta 5 60 sata, a 10 minuta je 10 60 sata.

Vrijedi:

y   =   50   ( x - 5 60 ) y   =   55   ( x   - 10 60 )

Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo x = 1 sat, y = 45.83 km .

Duljina puta je  45.83 km , a vremenski razmak između dviju vožnji je 1 sat.

Zatvori

Tehnologija u nastavi

Suvremena je nastava teško zamisliva bez tehnologije, pa tako i učenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.

Sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice moguće je riješiti uz pomoć suvremenijih kalkulatora, ali i uz pomoć računala. Dovoljno je upisati sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice u OneNote, jer OneNote ponudi rješenje uz popratni postupak. Isto tako, na internetu su dostupni i razni alati za računanje rješenja dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Jedan takav alat dostupan je ovdje. Sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice moguće je riješiti i uz pomoć alata dinamičke geometrije, primjerice uz pomoć GeoGebre, gdje se tome problemu može prići i s algebarske, ali i s geometrijske strane.

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice moguće je riješiti fotografiranjem sustava dviju linearnih jednadžbi s pomoću alata PhotoMath. Alat prepoznaje sustav dviju linearnih jednadžbi te nudi rješenje, a ako je potrebno - i postupak.

Ipak, nije otkriven ni jedan alat koji će umjesto vas pročitati zadatak, uvidjeti njegov smisao i potom prionuti na rješavanje.

Savjetujemo da pozorno pročitate zadatak, odgonetnete nepoznanice i pronađete njihovu vezu s poznatim elementima. Ispišite sustave linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, pokušajte ih samostalno riješiti, a potom rješenja provjerite s pomoću sugeriranih alata.

Zadatak 20.

Za kraj ove jedinice pripremili smo vam GeoGebrinu interakciju u kojem trebate riješiti 9 sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice u nestandardnom obliku kako biste otkrili zanimljivu sliku. Klikom na kvadratić pokraj zadatka odabirete zadatak.

Nakon što svedete sustav na standardni oblik, izaberite metodu kojom ćete ga riješiti. Odaberite metodu koja vam se čini pogodnija i brža za rješavanje dobivenog sustava u standardnom obliku.

Rješenja upišite u za to predviđene kvadratiće koji će se pojaviti ispod svakog sustava.

Povećaj ili smanji interakciju

Projekt

Podijelite se u skupine. Odaberite jedan problemski zadatak i riješite ga na zabavan način. Korake rješavanja snimite alatom WeVideo ili napravite animirani film alatom PowToon ili Animatron.

...i na kraju

Situacije u kojima su nam potrebni sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice susrećemo svaki dan. Možemo ih pronaći u svakom aspektu života.

Potrebno je shvatiti kontekst problema za koji tražimo rješenje, razumjeti koje su vrijednosti nepoznate, a koje poznate i uz pomoć njih napisati sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice  rješavaju se metodom supstitucije i metodom suprotnih koeficijenata. Dobro je provjeriti točnost i smislenost rješenja, a potom i napisati odgovor riječima.

Za kraj odigrajte još jednu igru sa sustavom linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i na taj način ponovite i utvrdite gradivo. Igru počinjete klikom na crveni gumb.