Matematika 7 - 1.2 Uređeni par

Parovi svagdje oko nas

Katkad se brojevima koristimo u parovima. Na primjer, da bismo pronašli svoje sjedalo na tribinama, potrebna su nam dva broja: broj reda i broj sjedala u tom redu. Pritom nam je vrlo važno koji broj označava broj reda, a koji broj sjedala. Kako biste nazvali parove brojeva kod kojih je važno na kojem je mjestu prvi, a na kojem drugi broj?

Par brojeva kod kojih se točno zna koji je prvi, a koji drugi član naziva se uređeni par brojeva. Uređeni par označavamo s $(a, b) .$ Broj $a$ nazivamo prvi član, a broj $b$ drugi član uređenog para.

Uređenim parom možemo odrediti položaj nekog objekta. Primjeri primjene uređenih parova su položaj sjedala u kinu, kazalištu ili na utakmici, položaj broda, zrakoplova ili mjesta na zemljopisnoj karti, položaj zgrade ili vojnika u računalnoj igri ili pak položaj figure u šahu.

Zanimljivost

Šah je vrlo stara društvena igra. Igraju je dva igrača na ploči kvadratnog oblika koja je podijeljena na $64$ polja. Postoji legenda o izumitelju šaha i broju zrna pšenice koje je zatražio kao nagradu, ali o tome više u osmom razredu.

Više o toj popularnoj igri možete saznati na: Šah klub e4 ili Šah uz školu.

U igri se figure pomiču po točno određenim pravilima, a položaj figura određuje se s pomoću uređenih parova. Primjerice $(C, 2)$ označava polje koje se nalazi na sjecištu stupca $C$ i retka $2 .$ Šah se može igrati na tradicionalnoj ploči, ali i na računalu. Šahom vježbamo osmišljavanje strategije, a ishod igre nije povezan sa srećom, nego sa strategijom i vještinom igrača. Vrlo spretni šahovski majstori igraju simultano na više ploča i s više igrača. U današnje je vrijeme šah uvršten u sportske igre, a organizira se i posebna, šahovska olimpijada.

Primjer 1.

Napišimo na papir sve uređene parove brojeva čiji su članovi brojevi $- 1$ ili $6 .$

Tražene uređene parove brojeva dobit ćemo tako da napišemo sve kombinacije zadanih brojeva, tako da jedan broj bude prvi član uređenog para, a drugi broj drugi član i obratno. Pritom ne smijemo zaboraviti uređene parove čiji su članovi jednaki: $(6, 6)$ i $(- 1, - 1) .$

Pregledno zapisujemo: $(- 1, - 1),$ $(- 1, 6)$ $,$ $(6, - 1)$ i $(6, 6) .$

Zadatak 1.

Napišite na papir sve uređene parove brojeva koji se mogu sastaviti od brojeva $- 2$ i $- 4 .$

Postoje četiri takva uređena para:

$(- 2, - 2),$ $(- 2, - 4),$

$(- 4, - 2),$ $(- 4, - 4) .$

Primjer 2.

Napišite na papir sve uređene parove brojeva koji se mogu sastaviti od brojeva $3,$ $- 5,$ $7 .$

Postoji devet takvih uređenih parova:

$(- 5, - 5), (- 5, 3), (- 5, 7),$

$(3, - 5), (3, 3), (3, 7),$

$(7, - 5), (7, 3)$ i $(7, 7) .$

Zadatak 2.

Napišite na papir sve uređene parove koji se mogu sastaviti od brojeva $12,$ $24,$ $36 .$

$(12, 12), (12, 24), (12, 36)$

$(24, 12), (24, 24), (24, 36)$

$(36, 12), (36, 24), (36, 36)$

Primjer 3.

Napišimo na papir sve uređene parove prirodnih brojeva kojima je drugi član jednoznamenkasti višekratnik broja $4,$ a prvi je član djelitelj drugog člana.

Najprije promotrimo uvjet za drugi član – drugi član treba biti jednoznamenkasti višekratnik broja $4 .$ To su brojevi $4$ i $8 .$ Prvi član treba biti djelitelj drugog člana i prirodni broj. Djelitelji broja $4$ su $1,$ $2$ i $4,$ a djelitelji broja $8$ su $1,$ $2,$ $4,$ i $8 .$

Zapišimo sad redom uređene parove: ako je drugi član jednak $4 :$ $(1, 4),$ $(2, 4),$ $(4, 4)$ $,$ ako je drugi član jednak $8 :$ $(1, 8),$ $(2, 8),$ $(4, 8),$ $(8, 8) .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Označite točno rješenje.

Kojem je od ponuđenih uređenih parova prvi član trokratnik drugoga člana, a drugi član najveći jednoznamenkasti broj?

(9, 3)

Pozorno pročitajte zadatak.

(27, 9)

(9, 27)

Pozorno pročitajte zadatak.

(3, 9)

Pozorno pročitajte zadatak.

null

Zadatak 4.

Napišite sve uređene parove prirodnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $x + y = 7 .$

$(1, 6),$ $(2, 5),$ $(3, 4),$ $(4, 3),$ $(5, 2),$ $(6, 1) .$

Zatvori

Primjer 4.

Šetnja gradom

Luna i Nikolina sastat će se ispred mjesta označena uređenim parom $(29, 8),$ prošetat će do mjesta označena uređenim parom $(20, 13)$ i ondje pojesti sladoled. Zatim razgledati mjesta označena uređenim parovima $(29, 17),$ $(36, 22),$ $(18, 23),$ $(23, 27)$ te na kraju mjesto označeno uređenim parom $(19, 30) .$

U kojem su gradu Luna i Nikolina?

Imenuj ustanovu ispred koje su se sastale i park pokraj te ustanove.

Na kojem su trgu pojeli sladoled?

Na karti pronađimo i imenujmo znamenitosti koje su posjetile.

Kojim je uređenim parom označena zagrebačka katedrala, a kojim crkva sv. Marka?

Pronađite na karti dva mjesta čiji uređeni parovi imaju jednake prve članove.

Pogledajte uređene parove pridružene Kamenitim vratima i Kuli Lotrščak, što imaju jednako, a što različito.

Luna i Nikolina nalaze se u gradu Zagrebu.
Našle su se ispred Arheološkog muzeja, pokraj kojega je park Zrinjevac.
Sladoled su pojele na Cvjetnom trgu.
Posjetile su spomenik banu Josipu Jelačiću, zagrebačku katedralu, Kulu Lotrščak, Kamenita vrata i crkvu sv. Marka.
Zagrebačka katedrala označena je uređenim parom $(36, 22),$ a crkva sv. Marka uređenim parom $(19, 30)$
Galerija Mala određena je uređenim parom $(29, 18),$ a Arheološki muzej s $(29, 2) .$ Ta dva uređena para imaju jednake prve članove.
Kamenita vrata su $(23, 27),$ a Kula Lotrščak $(18, 23) .$ Ta dva uređena para imaju jednak broj $23,$ ali za Kamenita vrata on je prvi član uređenog para, a za Kulu Lotršćak drugi član uređenog para. Prisjetimo se da je u uređenim parovima važno je li neki broj prvi ili drugi član.

Zadatak 5.

Put po Europi

Noa i Ivan putuju Europom. Krenuli su od mjesta označenog uređenim parom $(1, 2)$ autobusom do mjesta označenog uređenim parom $(3, 3),$ a zatim su zrakoplovom preletjeli do mjesta označenog uređenim parom $(5, 5) .$ Ondje ih je dočekao prijatelj i automobilom prevezao do mjesta označenog uređenim parom $(8, 6) .$ Autobusom su nastavili do mjesta označenog uređenim parom $(10, 5),$ gdje su unajmili automobil i prevezli se do mjesta označenog uređenim parom $(9, 4) .$ Odande su zrakoplovom stigli do mjesta označenog uređenim parom $(10, 4)$ pa su brodom otplovili do mjesta označenog uređenim parom $(13, 1) .$

U kojoj su državi počeli, a u kojoj završili putovanje?
Kroz koje države su prošli na putovanju?
U koje su države stigli autobusom, a u koje zrakoplovom?
U kojim se državama nalaze mjesta određena uređenim parovima čije su prvi članovi jednaki drugim članovima?
Pronađite na karti uređene parove koji imaju neke članove jednake pa razmislite je li riječ o istim mjestima.

Putovanje su počeli u Portugalu, a završili u Grčkoj.
Portugal, Španjolska, Francuska, Njemačka, Austrija, Italija, Hrvatska, Grčka.
Autobusom: Španjolska, Austrija; zrakoplovom: Francuska, Hrvatska.
Uređeni parovi kojima su prvi članovi jednaki drugim članovima su $(3, 3)$ i $(5, 5) .$ Uređeni par $(3, 3)$ označava mjesto u Španjolskoj, a $(5, 5)$ u Francuskoj.
Uređeni parovi $(10, 4)$ i $(10, 5)$ imaju jednake prve članove. Oni ne označavaju isto mjesto. $(10, 4)$ je u Hrvatskoj, a $(10, 5)$ u Sloveniji.

Uređeni parovi $(9, 4)$ i $(10, 4)$ imaju jednake druge članove. Oni ne označavaju isto mjesto. $(9, 4)$ je u Italiji, a $(10, 4)$ u Hrvatskoj.

Uređeni parovi $(5, 5)$ i $(10, 5)$ imaju jednake druge članove, pritom $(5, 5)$ određuje mjesto u Španjolskoj, a $(10, 5)$ u Sloveniji.

Jednakost uređenih parova

Primjer 5.

Učenici 7. a razreda s razrednicom posjećuju kazalište. Podijelili su ulaznice, no uznemirili su se pomislivši da oznake na nekim ulaznicama označuju ista mjesta u gledalištu. Na slici su ulaznice učenika koji su pomislili da imaju ista sjedala. Što mislite, imaju li pravo?

Nemaju pravo jer kad se pozornije pogleda, ulaznice koje imaju jednak prvi broj, broj reda, nemaju jednak drugi broj, broj sjedala u tom redu. Ulaznice koje imaju jednak drugi broj, broj sjedala, nemaju jednak prvi broj, broj reda.

Iz toga primjera možemo zaključiti kad su dva uređena para jednaka.

Dva uređena para su jednaka ako je prvi član prvog uređenog para jednak prvom članu drugog uređenog para i ako je drugi član prvog uređenog para jednak drugom članu drugog uređenog para.

Zadatak 6.

Dovucite parove na njihove odgovarajuće jednakosti.

$(2.3, 4.5)$	$(5, 0)$
$(3, - 2)$	$(3, - 2)$
$(5, 0)$	$(2.3, 4.5)$
$(x, y)$	$(x, y)$

Pomoć:

Pozorno pročitajte zadatak.

null

Primjer 6.

Odredimo nepoznati broj $x$ za koji vrijedi jednakost uređenih parova $(x, 5) = (6, 5) .$

Kako su drugi članovi obaju uređenih parova jednaki, tj. vrijedi $5 = 5,$ moramo odrediti $x$ tako da i prvi članovi uređenih parova budu jednaki. Iz toga uvjeta slijedi $x = 6 .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Dopunite tekst. Odgovore upišite u obliku cijelog broja.

U okvir upišite prirodni broj tako da parovi budu jednaki, tj. da vrijedi (

Pozorno pročitajte zadatak. Odgovor upišite u obliku cijelog broja.

, 3) = (12, 3) .

Pomoć:

Odgovor upišite na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 8.

Odredite nepoznati broj $y$ za koji vrijedi $(\begin{array}{l} 4, y \end{array}) = (\begin{array}{l} 4, 7 \end{array}) .$

$y = 7 .$

Zadatak 9.

Označite točan odgovor.

Za koji $b$ vrijedi jednakost?

$(5 + b, 9) = (4, 9)$

b = 2

Pogledajte uputu.

b = - 1

Pogledajte uputu.

b = 3

Pogledajte uputu.

b = - 3

Pogledajte uputu.

Pomoć:

Da bi dva uređena para bila jednaka moraju odgovarajući članovi biti međusobno jednaki.

Za prve članove postavimo jednadžbu: $5 + b = 4$

i kada ju riješimo dobijemo rješenje $b = - 1 .$

Drugi su članovi jednaki, oba su broj $9 .$

null

Zatvori

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Odredite nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost $(17 - x, 12) = (22, y + 5) .$

Prvi član prvog uređenog para mora biti jednak prvom članu drugog uređenog para. Iz toga dobijemo jednadžbu $17 - x = 22 .$ Kad riješimo tu jednadžbu, dobijemo prvo rješenje $x = - 5 .$

Drugi član prvog uređenog para mora biti jednak drugom članu drugog uređenog para. Iz toga dobijemo jednadžbu $12 = y + 5 .$ Kad riješimo tu jednadžbu, dobijemo drugo rješenje $y = 7 .$

Dakle, rješenja su: $x = - 5,$ $y = 7 .$

Zadatak 11.

Pronađite uređeni par kojemu je prvi član dvokratnik broja $3,$ a drugi je dvostruko manji od $8 .$

Taj je uređeni par ( , ).

Pomoć:

Pozorno pročitajte zadatak.

null

Zadatak 12.

Napišite na papir sve uređene parove cijelih brojeva kojima je umnožak prvog i drugog člana $24 .$

Ima li zadatak $15$ rješenja?

(1, 24),

(24, 1),

(- 1, - 24),

(- 24, - 1),

(2, 12),

(12, 2),

(- 2, - 12),

(- 12, - 2),

(3, 8),

(8, 3),

(- 3, - 8),

(- 8, - 3),

(4, 6),

(6, 4),

(- 6, - 4)

Pozorno pročitajte zadatak.

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Napišite na papir uređeni par kojemu je prvi član broj vaših cipela, a drugi član broj vaših godina.

Zadatak 14.

Napišite na papir uređeni par kojemu je prvi član vaša visina u milimetrima, a drugi član duljina vašeg dlana u milimetrima.

Zadatak 15.

Odredite nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost

(2 + x, 4) = (- 15, 6 - y)

.
Upišite točan odgovor.

x =

Pozorno pročitajte zadatak.

y =

Pozorno pročitajte zadatak.

Pomoć:

Odgovor upišite u brojčanom obliku na za to predviđeno mjesto.

null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Primjer 7.

Odredimo nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost

$\begin{array}{l} (2 (x + 4), - 6 (y - 4)) = \\ (- 16, 14) \end{array} .$

Pogledajte video s detaljnim objašnjenjenjem postupka rješavanja.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Odredite nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost

\begin{array}{l} (- 4 (2 x - 7) - 12 x, - 3 (y - 5) - 7) = \\ (- 12, 20) \end{array}

Upišite točan odgovor.

x =

Pozorno pročitajte zadatak.

y =

Pozorno pročitajte zadatak.

Pomoć:

Odgovor upišite u brojčanom obliku na za to predviđeno mjesto.

null

Za rješavanje sljedećih zadataka organizirajte se u skupine. Unutar skupine svatko treba riješiti jedan zadatak, a zatim ostalima objasnite kako ste dobili rješenje. Ponudite pomoć ostalima nakon što ste riješili svoj zadatak ili potražite pomoć ako vam zatreba.

Zadatak 17.

Odredite broj $a$ za koji vrijedi jednakost $(5, \frac{a + 4}{3}) = (5, 7) .$

Rješenje je $a = 17$ .

Zadatak 18.

Odredite $x$ za koji vrijedi jednakost $(\frac{1}{3} x - 1, - 5) = (- \frac{2}{3}, - 5) .$

$x = 1$

Zadatak 19.

Odredite nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost $(2 x, 7) = (6, \frac{3 y - 5}{4}) .$ Provjerite točnost rješenja tako da dobivene brojeve uvrstite u polaznu jednakost.

$x = 3, y = 11$

Zatvori

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 20.

Odredite nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost $(x + 5, 2 y) = (2 x - 5, 4 + 6 y) .$

$x = 10,$ $y = - 1$

Zadatak 21.

Odredite nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost $(\begin{array}{l} 4 x + 7, - 1 \end{array}) = (14 - 3 x, \frac{3 y - 5}{5}) .$

$x = 1,$ $y = 0 .$

Zadatak 22.

Odredite nepoznate elemente tako da vrijedi jednakost:

(\frac{2 (x + 1)}{3}, 7 y - \frac{4 y + 6}{2}) = (\begin{array}{l} x, 2 y \end{array}) .

Upišite odgovor u obliku cijelog broja.

x =

Pažljivo izračunajte.

y =

Pažljivo izračunajte.

Pomoć:

Jedna jednadžba je

\frac{2 (\begin{array}{l} x + 1 \end{array})}{3} = x

Druga jednadžba je

7 y - \frac{4 y + 6}{2} = 2 y

Rezultat upišite u brojčanom obliku na za to predviđeno mjesto.

Postupak:

Pogledajte video uz primjer.

Zadatak 23.

Odredite

x

y

za koje vrijedi jednakost

(5, 2 y - 4) = (\frac{x - 3}{2}, 3)

.
Rješenja upišite u obliku cijelog broja ili decimalnog broja s jednom decimalom.

x =

Izračunajte ponovno.

y =

Izračunajte ponovno.

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku cijelog ili decimalog broja s jednom decimalom na predviđeno mjesto.

null

Zatvori

Na početku...

Parovi svagdje oko nas

Zanimljivost

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Jednakost uređenih parova

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Zadatak 23.

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

1.3 Pravokutni koordinatni sustav s cjelobrojnim koordinatama