Matematika 7 - Aktivnosti za samostalno učenje

Riješite, provjerite, podijelite

Kroz početni kviz možete ponoviti osnovne pojmove povezane s linearnom funkcijom i njezinim grafom, a za uvježbavanje vam predlažemo nekoliko zadataka koje možete samostalno riješiti u bilježnici ili u nekom interaktivnom elementu. Zadnjih nekoliko zadataka je za one koji žele znati malo više, ali svi ih možete pokušati riješiti. Nakon što riješite zadatke, usporedite svoja rješenja s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili zamolite za pomoć ako vam je neki od zadataka težak.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadana je linearna funkcija $f (x) = a x + b,$ pri čemu je $a \neq 0 .$ Proučite ponuđene pojmove i spojite odgovarajuće.

argument	$f (x)$
vrijednost funkcije	$b$
odsječak na $y$ -osi	$a$
koeficijent smjera ili nagib	$x$

Argument linearne funkcije je

veličina.
Vrijednost funkcije je

veličina.
Graf linearne funkcije je

.

pravac

nezavisna

zavisna

Pomoć:

Vrijednost funkcije ovisi o argumentu i pravilu pridruživanja.
Odrediti linearne funkcije znači odrediti je li funkcija rastuća ili padajuća.

Pomoć:

Tok funkcije zamišljamo kao kretanje funkcije. Ako je za svaki sljedeći (veći) argument i vrijednost funkcije veća, funkcija raste. U suprotnom je funkcija padajuća.
Linearna je funkcija $f (x) = \frac{1}{5} x - 7 :$

rastuća

padajuća

konstantna.

Pomoć:

Tok funkcije određen je koeficijentom smjera. Ako je koeficijent smjera pozitivan broj, funkcija je rastuća.

Postupak:

Rastuća je jer je $a = \frac{1}{5} .$
Ako dva pravca imaju isti nagib, kažemo da su pravci .

Pomoć:

Proučite još jedanput jedinicu10.5. Tok linearne funkcije i istraživački aplet o nagibu pravca.
Koji je od ponuđenih pravaca usporedan s grafom linearne funkcije $f (x) = 2 x - 3 ?$

$y = - 2 x + 2$

$f (x) = 3 x - 2$

$f (x) = 2 x + 3$

Pomoć:

Usporedni pravci imaju isti koeficijent smjera ili nagib pravca.

Postupak:

Pravac čija je jednadžba $y = 2 x + 3$ jedini ima koeficijent smjera jednak zadanome, tj. $a = 2 .$
Poredajte jednadžbe pravca prema brzini pada pripadnih funkcija, počevši od one koja pada najbrže.
$y = - 5 x$

$y = - 0.5 x - 3$

$y = - x - 2$
Pomoć:

Gledajući grafove u koordinatnom sustavu u ravnini, pada najbrže onaj koji je nastrmiji u odnosu na os apscisa.
Koja od ponuđenih jednadžbi pripada pravcu koji je usporedan s osi $x ?$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2 x + 2$

Pomoć:

Pravac je usporedan s apscisom ako za svaki argument ima istu vrijednost funkcije, tj. vrijednost funkcije ne ovisi o odabiru broja $x .$

Zatvori

Projekt

Slika prikazuje termometar s dvije skale, °F i °C

Istražite temperaturne skale koje se, uz Celzijevu, i danas koriste u svijetu. Prikažite njihovu međusobnu ovisnost grafički, formulom i tablicom.

Zanimljivost

Prikazana je karikatura Pierre De Fermata

Pierre de Fermat (1601.-1665.), jedan od najznačajnijih francuskih matematičara prve polovine sedamnaestoga stoljeća, začetnik je - uz Descartesa - grane matematike koju nazivamo analitička geometrija.

Kolekcija zadataka

Računske zadatke riješite u bilježnici, a odgovore na teorijska pitanja pokušajte zapisati pazeći na pravilan matematički izražaj.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 2.

Za zagrijavanje riješite ove jednostavne zadatke i zabavite se otkrivanjem slike.

Zadatak 3.

Što zapravo znači odrediti eksplicitnu jednadžbu nekog pravca?

Odrediti eksplicitnu jednadžbu pravca znači zapisati jednadžbu pravca u obliku $y = a x + b,$ pri čemu moramo znati vrijednost koeficijenata $a$ i $b .$ Dakle, iz zadanih podataka moramo izračunati vrijednost koeficijenata (parametara).

Zadatak 4.

Odredite eksplicitnu jednadžbu pravca čiji je nagib jednak $3$ i koji prolazi točkom $T (- 2, 5) .$

Uvrstimo zadane vrijednosti u opći oblik eksplicitne jednadžbe pravca.

$x = - 2,$ $y = 5,$ $a = 3 \to y = a x + b$

$5 = 3 \cdot (- 2) + b$

$5 = - 6 + b$

$b = 11$

Jednadžba pravca glasi $y = 3 x + 11 .$

Zadatak 5.

Pridružite parove usporednih pravaca.

$y = 2 x - 5$	$y = - x + 5$
$y = - x + 4$	$y = 2 x + \frac{1}{3}$
$y = \frac{1}{3} x + 1$	$y = \frac{1}{3} x$

Pomoć:

Pravci su usporedni ako imaju jednake koeficijente smjera.

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Što znači da točka pripada nekom pravcu u koordinatnom sustavu?

Točka pripada pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu pravca, tj. ako u jednadžbu pravca $y = a x + b$ umjesto broja $x$ uvrstimo prvu koordinatu točke, a umjesto broja $y$ drugu koordinatu točke, dobit ćemo istinitu jednakost.

Zadatak 7.

Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkama $(1, 1)$ i $(- 1, 3) .$

$\begin{array}{l} (1, 1) & \to & 1 = a \cdot 1 + b & \to & a + b = 1 \\ (- 1, 3) & \to & 3 = a \cdot (- 1) + b & \to & \underline{- a + b = 3} \end{array}$

Rješenje je dobivenog sustava $a = - 1,$ $b = 2$ pa jednadžba pravca glasi $y = - x + 2 .$

Zadatak 8.

Zadane jednadžbe pridružite odgovarajućim pravcima.

Slika prikazuje tri koordinatna sustava u kojima je nacrtan po jedan pravac.

$y = - \frac{1}{3} x$

$y = - 3 x - 1$

$y = 3 x - 1$

Pomoć:

Osnovni kriteriji su: odsječak na osi $y,$ tok funkcije kojoj pravac pripada (rast ili pad) te nultočke.

null

Zadatak 9.

Graf linearne funkcije je pravac čija je jednadžba $y = a x + b .$ Skicirajte pravac koji siječe obje koordinatne osi i napišite koordinate sjecišta.

Slika prikazuje sjecišta pravca s koordinatnim osima

Sjecište s $x$ -osi $N (- \frac{b}{a}, 0)$ dobijemo iz jednadžbe $a x + b = 0$ (jer je za svaku točku na osi apscisa druga koordinata jednaka nuli).

Sjecište s $y$ -osi je $B (0, b)$ (jer je $b$ odsječak na osi ordinata).

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

U kojim točkama graf linearne funkcije $f (x) = \frac{3}{2} x - 1$ siječe koordinatne osi? Riješite zadatak grafički i računski.

Crtati možete u bilježnicu ili možete koristiti ponuđeni predložak.

Za vježbu, umjesto zadane linearne funkcije možete sami zadati novu linearnu funkciju.

Zadatak 11.

Dopunite tablicu.

Zadatak 12.

Zadanom pravcu odredite nagib i odsječak na osi ordinata.

Slika prikazuje graf funkcije y=4x+, a istaknut je i pravokutni trokut koji pomaže pri određivanju nagiba.

a = 4, b = - \frac{1}{2}

a = \frac{1}{4}, b = 2

a = 4, b = 2

a = - 4, b = - \frac{1}{2}

Pomoć:

Parametar $b$ ima značenje odsječka na osi ordinata, a nagib očitavamo iz istaknutog pravokutnog trokuta (duljina vertikalne katete podijeli se s duljinom horizontalne katete).

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Izračunajte površinu trokuta koji je omeđen koordinatnim osima i pravcem $y = \frac{1}{2} x - 2 .$

Predlažemo da rješenje provjerite koristeći se predloškom za crtanje pravaca i algebarskim prozorom prateći sljedeće upute:

Nacrtajte pravac unoseći jednadžbu pravca u polje za unos.
Alatom točka kliknite na vrhove dobivenog trokuta.
Alatom mnogokut označite vrhove trokuta $A,$ $B,$ $C$ pa opet $A .$
U algebarskom prozoru potražite pojam trokut i očitajte površinu (nisu naznačene mjerne jedinice).

Zadatak 14.

Napišite sustav linearnih jednadžbi koji:

ima jedno rješenje
nema rješenja
ima beskonačno mnogo rješenja.

Dani predložak može vam poslužiti za rješavanje ovog zadatka grafičkom metodom.

Rješenje ovog zadatka provjerite grafičkom metodom. U danom digitalnom predlošku nacrtajte pravce. Najjednostavnije ćete to učiniti izravnim upisivanjem jednadžbe u polje za unos.

Vaše je rješenje točno ako vrijedi:

pravci se sijeku
pravci su usporedni
pravci se podudaraju.

Zadatak 15.

Sestre blizanke, Ana i Sonja, željele bi kupiti novo prijenosno računalo koje košta nešto više od $3 000 kn .$ Dogovor s roditeljima je takav da će pola iznosa dati oni, a pola njih dvije ravnopravno. Za razliku od Sonje koja nema ništa, Ana ima ušteđevinu od $400 kn$ te su procijenile da će biti dovoljno da Sonja štedi $20 kn$ tjedno, a Ana $10 kn .$

Prikažite grafički ovisnost iznosa ušteđevine o broju proteklih tjedana.

Nakon koliko će tjedana imati ušteđen isti iznos? Hoće li to biti dovoljno za njihovu polovinu cijene računala?

Slika prikazuje dva pravca u koordinatnom sustavu koji se sijeku u točki (40,800)

Proučite sliku.

40

tjedana obje sestre imat će po

800 kn,

što je ukupno

1 600 kn,

a to je dovoljno za njihovu polovinu cijene prijenosnog računala.

Zatvori

Projekt

Istražite tarife za mobilne usluge kojima se koristite vi i vaši ukućani. Koje se od njih mogu prikazati linearnom funkcijom? Prikažite grafički ovisnost potrošnje o broju minuta razgovora. Analizirajte isplativost pojedine tarife ovisno o svojim navikama (više/manje minuta razgovora, više/manje SMS-poruka, više/manje mobilnih podataka...).

Kutak za znatiželjne

Istražite vezu između koeficijenata smjera međusobno okomitih pravaca.

Mijenjajte položaj pravaca micanjem istaknutih točaka i pratite zapis njihovih jednadžbi. Što zaključujete?

Zadatak 16.

Provjerite svoj zaključak rješavajući sljedeći zadatak.

Pravac koji je okomit na pravac zadan jednadžbom $y = 2 x - 3$ ima koeficijent smjera:

$- 2$

$\frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2}$

null

null
Umnožak vrijednosti koeficijenata smjera međusobno okomitih pravaca iznosi .

null

null
Koeficijenti smjera međusobno okomitih pravaca su brojevi.

null

null

Zanimljivost

Predlažemo da pokušate riješiti sljedeće zadatke s Državne mature:

Proučavanjem linearne funkcije i njezina grafa zakoračili ste u svijet analitičke geometrije. Vjerujemo i nadamo se da ćete se u njemu dobro snaći jer ste dobro upoznali i usvojili osnovne pojmove koji će vas pratiti pri upoznavanju nekih drugih funkcija. Sretno!

Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

Riješite, provjerite, podijelite

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Projekt

Zanimljivost

Kolekcija zadataka

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Projekt

Kutak za znatiželjne

Zadatak 16.

Zanimljivost

...i na kraju